En esta página se van a aplicar las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado al movimiento de caída de los cuerpos bajo la aceleración constante de la gravedad.

Para describir un movimiento se han de seguir los siguientes pasos:

1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y el eje a lo largo del cual tiene lugar el movimiento
2. El valor y signo de la aceleración
3. El valor y el signo de la velocidad inicial
4. La posición inicial del móvil
5. Escribir las ecuaciones del movimiento
6. A partir de los datos, despejar las incógnitas

Un cuerpo es lanzado desde el techo de un edificio de altura x₀ con velocidad v₀, determinar las ecuaciones del movimiento, la altura máxima y el tiempo que tarda el cuerpo en alcanzar el origen situado en el suelo.

En primer lugar, establecemos el origen y la dirección del movimiento, el eje X. Después, los valores de la posición inicial y los valores y signos de la velocidad inicial, y de la aceleración, tal como se indica en la figura. Resultando las siguientes ecuaciones del movimiento.

${\displaystyle \begin{array}{l}a=-g\\ v=v_0+a\cdot t\\ x=x_{\text{0}}+v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\end{array}}$

Cuando alcanza la altura máxima, la velocidad del móvil es cero. De la ecuación de la velocidad, se obtiene el tiempo que transcurre desde que se lanza hasta que llega a dicha posición. El tiempo transcurrido se sustituye en la ecuación de la posición, obteniéndose la máxima altura que alcanza el móvil medida desde el suelo.

${\displaystyle t=\frac{v_0}{g}x=x_0+\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}}$

El tiempo que tarda en llegar al suelo, se obtiene a partir de la ecuación de la posición, poniendo x=0, resolviendo una ecuación de segundo grado.

${\displaystyle x_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2=0}$

Nota: como podrá comprobar el lector, la solución del problema es independiente de la situación del origen. Si colocamos el origen en el punto de lanzamiento, la posición inicial x₀ es cero, pero el suelo se encuentra en la posición -x₀ respecto de dicho origen, resultando la misma ecuación. La altura máxima se calcula ahora desde el techo del edificio, no desde el origen.

Problema

Se lanza un cuerpo hacia arriba, en dirección vertical, con velocidad inicial de 98 m/s desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Tomar g=9.8 m/s². Hallar:

• La máxima altura que alcanza el cuerpo medida desde el suelo
• El tiempo que transcurre hasta que llega al suelo.
• La velocidad al llegar al suelo

Primero se dibuja el eje X, se establece el origen O en el suelo y se dibujan los vectores velocidad inicial y aceleración de la gravedad.

Ecuaciones del movimiento

a=-9.8
v=98+(-9.8)t
x=100+98·t+½(-9.8)t²

Máxima altura que alcanza, v=0, t=10 s, x=590 m

Tiempo que tarda en llegar al suelo x=0, t=20.97 s v=-107.54 m/s

>> t=(98+sqrt(98^2+4*100*4.9))/(2*4.9)
t =   20.9731
>> v=98-9.8*t
v = -107.5360

Alternativamente, utilizando Math Symbolic de MATLAB

>> syms t;
>> tf=solve(100+98*t-4.9*t^2)
tf = 10 - (10*59^(1/2))/7
 (10*59^(1/2))/7 + 10
>> double(tf)
ans =   -0.9731
   20.9731
>> v=98-9.8*tf(2)
v =-14*59^(1/2)
>> double(v)
ans = -107.5360

Actividades

Vamos a practicar el movimiento de la caída de los cuerpos mediante un programa interactivo. Se proponen un conjunto de ejercicios sencillos para practicar con el programa interactivo, se pueden resolver primero numéricamente y después comprobar su respuesta en dicho programa.

1. Se deja caer un objeto desde un edificio de 300 m de altura, calcular la velocidad y el tiempo que tarda en llegar al suelo.
2. Se lanza un objeto, situado inicialmente en el origen, hacia arriba con una velocidad de 60 m/s, calcular la máxima altura que alcanza.
3. Se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s, desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Calcúlese la máxima altura sobre el suelo y la velocidad con que retorna al mismo.
4. Se lanza un objeto hacia abajo, con velocidad inicial de 10 m/s, desde una altura de 300 m. Calcular la velocidad con que llega al suelo.

Se introduce en los controles:

• la posición inicial x₀
• la velocidad inicial v₀

Se pulsa el botón titulado Nuevo. Se detiene || la animación cuando se está próximo a alcanzar la máxima altura. Se avanza paso a paso >| hasta alcanzarla v≈0 y se anota la altura x. Se reanuda la animación pulsando ►. Cuando se está próximo a llegar al suelo, se pulsa el botón pausa ||, y se avanza paso a paso >| hasta alcanzar x≈0, se anota el valor de la velocidad v y el tiempo t

En la parte superior, aparecen los datos del tiempo t, velocidad v y posición x, de la partícula. Una flecha de color rojo, inica la velocidad y su signo (positiva cuando apunta hacia arriba y negativa hacia abajo).