Concepto de derivada e integral definida

Velocidad en un instante

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Δx=x'-x en el intervalo de tiempo Δt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

<v>= x'x t't = Δx Δt

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Δt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Δt tiende a cero.

Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t <v> m/s
3 46 25 1 25
2.1 23.05 2.05 0.1 20.5
2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.05
2.001 21.020005 0.020005 0.001 20.005
2.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005
... ... ... ... ...
  0 20

Como apreciamos en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

>> format long
>> t0=2;
>> x0=5*t0^2+1;
>> t=t0+1./10.^(0:5);
>> x=5*t.^2+1;
>> vm=(x-x0)./(t-t0)
vm =
  25.000000000000000  
  20.499999999999989  
  20.049999999999883  
  20.004999999999811  
  20.000499999988079  
  20.000050000004137

Ahora, calculamos la velocidad en cualquier instante t

<v>= 10t·Δt+5·Δ t 2 Δt =10t+5·Δt

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

v= lim Δt0 <v>= lim Δt0 ( 10t+5Δt )=10tm/s

La velocidad en un instante t se calcula directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

x=5 t 2 +1m v= dx dt =10tm/s

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Desplazamiento de un móvil

Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t.  En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente

 

  1. Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es Δx=35·10=350 m

  2. Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos:

    • el de la izquierda tiene un área de (7.5·60)/2=225 
    • el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25.
    • El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200 m

  3. En otros casos, calculamos el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura

  4. En el instante ti-1 la velocidad del móvil es vi-1, en el instante ti la velocidad del móvil es vi. La velocidad media <vi> en el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es

    < v i >= v( t i )+v( t i1 ) 2

    El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es aproximadamente el área del rectángulo <vi>·Δti. El desplazamiento total x-x0 entre el instante inicial t0, y el instante final t=tn es, aproximadamente

    x x 0 i=1 n < v i >Δ t i

    donde n es el número de intervalos

    Si v=-t2+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t0=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale

    x-x0≈(27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8)·1=577.5 m

    n=10;  %divisiones, cambiar a 20
    t=linspace(0,10,n+1);
    tt=t+10/(2*n);
    tt=tt(1:end-1);
    v=-tt.^2+14*tt+21;
    area=sum(v)*10/n;  %area de los rectángulos
    hold on
    bar(tt,v,1,'c')
    
    %representación gráfica de la función v(t)
    t=linspace(0,10,100);
    v=-t.^2+14*t+21;
    plot(t,v,'r')
    text(0.25,60,num2str(area))
    ylim([0 max(v)+5])
    xlim([-0.5,10.5])
    title('Integral definida')
    xlabel('t')
    ylabel('v')
    hold off	

  5. Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t0, t) es muy grande. En el límite, Δti→0

  6. x x 0 = t 0 t v·dt

    Si v=-t2+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t0=0 y t=10 s vale

    x x 0 = 0 10 ( t 2 +14t+21)·dt = t 3 3 +7 t 2 +21t | 0 10 = 1730 3 m