Una canoa atraviesa un río

La corriente de anchura d, fluye hacia abajo con velocidad c, y la canoa se mueve con velocidad constante v sobre el agua. Establecemos un sistema de referencia con el origen en el punto de salida de la canoa (x=0, y=0) y los ejes apuntando horizontalmente y verticalmente.

Supongamos que la canoa se mueve sobre el agua apuntando hacia el punto P, de coordenadas (d,b), de modo que la línea que une la canoa con el punto P hace un ángulo θ que va cambiando a medida que la canoa se desplaza. Si la posición de la canoa es (x, y)

tanθ= yb dx

En un intervalo de tiempo dt, la canoa se desplaza horizontalmente dx=vcosθ·dt y verticalmente, dy=(vsinθ-c)dt. La ecuación diferencial de la trayectoria de la canoa es

dy dx = vsinθc vcosθ dy dx =tanθ c v 1+ tan 2 θ dy dx = yb dx c v 1+ ( yb dx ) 2

En general, la velocidad c de la corriente dependerá de la coordenada x. Por ejemplo, será más grande en el centro x=d/2 que en las orillas x=0 ó x=d. El perfil de velocidades de la corriente vendrá definido por una función f(x). La ecuación diferencial de la trayectoria de la canoa se escribe

dy dx = yb dx f(x) 1+ ( yb dx ) 2

Se resuelve, esta ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: la canoa parte del origen, x=0, y=0.

Para integrar la ecuación diferencial se hace siguiente cambio de variable

p= yb dx q=log( dx ) dx=exp(q)·dq dp= (dx)dy+(yb)dx (dx) 2 dy=(dp+p·dq)exp(q)

Obtenemos una ecuación diferencial de variables separadas p y q, que integramos

dp 1+ p 2 =f(q)·dq log( p+ 1+ p 2 )= f(q)·dq +C

donde C es una constante de integración que determinaremos a partir de las condiciones iniciales. Nos fijaremos en el primer miembro. Sea z el seno hiperbólico de x, z=sinhx

z= exp(x)exp(x) 2

Llamando y=exp(x), tenemos la ecuación de segundo grado y-1/y=2z, cuyas raíces son

y=z± z 2 +1 x=log( z+ z 2 +1 )

No hay logaritmos de números negativos, la raíz positiva de y es la única válida.

La solución de la ecuación diferencial se reduce a

p=sinh( f(q)·dq +C )

Deshaciendo los cambios de variable, obtenemos la ecuación de la trayectoria

y=( dx )sinh( f(q)·dq +C )+b

donde q=log(d-x)

La constante C se determina a partir de la condición inicial x=0, y=0, la canoa parte del origen

Desviación

En la ecuación de la trayectoria sustituimos x=d para calcular la desviación y de la canoa al llegar a la orilla opuesta

Tiempo de viaje

La conoa se desplaza horizontalmente d, con una velocidad variable vcosθ, empleando un tiempo t

t= 0 d dx v x = 0 d dx vcosθ = 1 v 0 d 1+ tan 2 θ dx= 1 v 0 d 1+ ( yb dx ) 2 dx= 1 v 0 d 1+ sinh 2 ( f(q)·dq +C ) dx= 1 v 0 d cosh( f(q)·dq +C ) dx

Ejemplos

Vamos a considerar distintos perfiles de la velocidad de la corriente f(x)

Velocidad de la corriente constante

En este caso f(x)=k

f(q)dq= k dx dx =klog(dx)=log (dx) k

La ecuación de la trayectoria es

y=(dx)sinh( log (dx) k +C )+b y= 1 2 (dx)( exp( log (dx) k +C )exp( log (dx) k C ) )+b y= 1 2 (dx)( (dx) k C 1 1 (dx) k C 1 )+b

La constante C1 se determina a partir de las condiciones iniciales, x=0, y=0

0= 1 2 d( d k C 1 1 d k C 1 )+b

Tomamos la raíz positiva de la ecuación de segundo grado en z=dk·C1

d k C 1 = b d + b 2 d 2 +1

Casos particulares

La velocidad de la corriente se incrementa linealmente

Vamos a considerar el caso de una variación lineal de la velocidad de la corriente. En la orilla x=0, la velocidad c=0 del agua es cero y en la orilla opuesta x=d es c=sv. La función f(x)=sx/d

f(q)dq= sx d dx dx = s d x+slog(dx)

La ecuación de la trayectoria es

y=(dx)sinh( s d x+log (dx) s +C )+b y= 1 2 (dx)( C 1 exp( s d x ) (dx) s 1 C 1 (dx) s exp( s d x ) )+b

La constante C1 se determina a partir de las condiciones iniciales, x=0, y=0

0= 1 2 d( d s C 1 1 d s C 1 )+b

Tomamos la raíz positiva de la ecuación de segundo grado en z=ds·C1

d s C 1 = b d + b 2 d 2 +1

Como caso particular interesante mencionamos que para s=1 y b=0, la canoa alcanza la orilla opuesta en la posición y=-d/(2e)

b=0;
d=1;
 
hold on
for s=[0.5,1,1.1,1.5,2]
    C1=(-b/d+sqrt(b^2/d^2+1))/d^s;
    y=@(x) (d-x).*(C1*((d-x).^s).*exp(s*x/d)-exp(-s*x/d)./((d-x).^s*C1))/2+b;
    fplot(y,[0,1],'displayName',num2str(s))
end
ylim([-0.5,0])
hold off
legend('-DynamicLegend','location','southwest')
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Canoa')

La velocidad de la corriente tiene un perfil parabólico

Una situación más realista se produce cuando en ambas orillas x=0 y x=d la velocidad de la corriente es nula c=0 y es máxima en el centro. Consideremos el siguiente perfil que no se menciona en el artículo citado en las referencias y sin embargo, la trayectoria se calcula de forma muy simple

f(x)=4 s d x(dx)

d=1;
hold on
for s=0.5:0.5:1.5
    y=@(x) 4*s*(x.*(d-x))/d;
    fplot(y,[0,1],'displayName',num2str(s))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','south')
xlabel('x')
ylabel('c/v')
title('Perfil de velocidades')

f(q)dq= 4 s d x(dx) dx dx =2 s d x 2

La ecuación de la trayectoria es

y=(dx)sinh( 2 s d x 2 +C )+b y= 1 2 (dx)( C 1 exp( 2 s d x 2 ) 1 C 1 exp( 2 s d x 2 ) )+b

La constante C1 se determina a partir de las condiciones iniciales, x=0,

0= 1 2 d( C 1 1 C 1 )+b

Tomamos la raíz positiva de la ecuación de segundo grado en C1

C 1 = b d + b 2 d 2 +1

b=0;
d=1;
 
hold on
for s=[0.5,1,1.1,1.5,2]
    C1=(-b/d+sqrt(b^2/d^2+1));
    y=@(x) (d-x).*(C1*exp(-2*s*x.^2/d)-exp(2*s*x.^2/d)/C1)/2+b;
    fplot(y,[0,1], 'displayName',num2str(s))
end
ylim([-1.5,0])
legend('-DynamicLegend','location','southwest')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Canoa')

Calculamos numéricamente el tiempo de viaje

b=0;
d=1;
%tiempo de viaje
for s=[0.5,1,1.1,1.5,2]
    C1=(-b/d+sqrt(b^2/d^2+1));
    f=@(x) (C1*exp(-2*s*x.^2/d)+exp(2*s*x.^2/d)/C1)/2;
    t=integral(f,0,d);
    disp([s,t])
end
    0.5000    1.1047
    1.0000    1.4813
    1.1000    1.6054
    1.5000    2.3633
    2.0000    4.3337

La velocidad de la corriente tiene el siguiente perfil

Otra situación realista se produce cuando en ambas orillas x=0 y x=d la velocidad de la corriente es nula c=0 y es máxima en el centro. Consideremos el perfil

f(x)= 2s d x(dx)

d=1;
hold on
for s=0.5:0.5:1.5
    y=@(x) 2*s*sqrt(x.*(d-x))/d;
    fplot(y,[0,1],'displayName',num2str(s))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','south')
xlabel('x')
ylabel('c/v')
title('Perfil de velocidades')

f(q)dq= 2s d x(dx) dx dx = 2s d x dx dx

Se hace el cambio de variable

x dx = t 2 dx=d 2t·dt ( 1+ t 2 ) 2 2s 2 t 2 dt ( 1+ t 2 ) 2 =2s( t 1+ t 2 arctant )= 2s d ( x(dx) darctan( x dx ) )

>> syms x d;
>> z=int(sqrt(x/(d-x)),x);
>> simplify(z)
ans =d*atan((x/(d - x))^(1/2)) - (d - x)*(x/(d - x))^(1/2)

La ecuación de la trayectoria es

y=(dx)sinh( 2s d ( x(dx) darctan( x dx ) )+C )+b

La constante C1 se determina a partir de las condiciones iniciales, x=0,

0= 1 2 d( expCexp(C) )+b

Tomamos la raíz positiva de la ecuación de segundo grado en z=exp(C)

expC= b d + b 2 d 2 +1

b=0;
d=1;
 
hold on
for s=[0.5,1,1.1,1.5,2]
    C=log(-b/d+sqrt(b^2/d^2+1));
    y=@(x) (d-x).*sinh(2*s*(sqrt(x.*(d-x))-d*atan(sqrt(x./(d-x))))/d+C)+b;
    fplot(y,[0,1],'displayName',num2str(s))
end
%ylim([-1,0])
hold off
legend('-DynamicLegend','location','south')
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Canoa')

Referencias

M J O'Shea. Crossing a river in a canoe -how complicated can it get?. Eur. J. Phys. 31 (2010) pp. 857-862