Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (II)

Hondar-fluxua

Hondar-depositua
mugitzen

Hondar-erlojua

Presio atmosferikoak
eragiten duen indarra

Tren-bagoi bat
euriaz betetzen

Soka bat mahaiaren
ertzean irristatzen

Kate bat nola
mugitzen den (I)

Kate bat nola
mugitzen den (II)

Kate baten mutur
  askea erortzen

Eskegita dagoen
kate bat erortzen

Euri-tanta bat
nola erortzen den

Higiduraren ekuazioak

Saiakuntza

Erreferentzia

Demagun kate bat, bi muturretatik eskegita dagoena eta bi muturrak elkartuta dituena. Halako batean, mutur bat aske uzten da eta erortzen hasten da. Orri honetan zehazki aztertzen da katea nola erortzen den. Katearen luzera L da eta dentsitate lineala ρ.

Energiaren kontserbazio printzipioa

Hasieran, katea erditik tolestuta dago eta zati bien luzerak berdinak dira: L/2. Ondoren, bi zatien luzerak aldatuz doaz, bata luzatzen eta bestea laburtzen. Ezkerreko irudiak bi zatien masa-zentroak erakusten ditu, puntu urdin banarekin. Hasieran, masa-zentro bien posizioa bera da: L/4, muturren hasierako posiziotik behera neurtuta. Une horretan, t=0, katearen energia potentziala honela idatz daiteke:

Mutur bat askatu ondoren, x altuera jaisten da t denboran. Une horretan, irudiak erakusten duenez, ezkerreko zatiak (L+x)/2  luzera du eta eskumakoak ordea (L-x)/2. Ezkerreko zatia pausagunean dago baina eskumakoa berriz, mugitzen ari da: dx/dt abiadura du. Beraz, une horretan, katearen energia honela idatz daiteke:

Baina energia kontserbatzen denez, abiadura kalkula daiteke: dx/dt.

Abiaduraren adierazpena denborarekiko integratuz, x adieraz daiteke denboraren menpe, alegia, mutur askearen posizioa.

Aldagaia aldatzen bada:

x=L·sin²φ

Integral eliptikoak dira, lehen eta bigarren klasekoak:

Integral eliptikoen menpe idatzita, mutur askearen posizioa (x) denboraren menpeko funtzio inplizitua da:

Integral eliptikoak taulatan kalkulatuta daude: ikus bedi esaterako Cálculo Integral. Puig Adam, Biblioteca Matemática Argitaletxea, 1972, 71 eta 72 orrialdeetan.

Eta katearen mutur askea beheraino iristeko tardatzen duen denbora totala kalkulatzeko, x=L, θ=π/2 , lehen eta bigarren klaseko integral eliptikoak ebatzi behar dira:

Beheko applet-ean egiazta daitekeenez, eskumako gaiak hauxe balio du: 0.84721.

Bestalde, partikula aske batek, L distantzia erortzeko tardatzen duen denbora hau izaten da: .

Ekuazio osoa berridatz daiteke, t₀ erabiliz: t/t₀ = 0.84721.

Edota, t =0.8472·t₀

Beraz, katearen muturrak beheraino iristeko tardatzen duen t denbora, partikula aske batek, L distantzia erortzeko tardatzen duen t₀ denbora baino txikiagoa da.

Hortik ateratzen da esaterako, L=1m-ko luzeradun kate batek erditik tolestuta eta askatzean, beheraino erortzeko tardatuko duen denbora: t=0.383 s da, alegia, katearen eskumako aldearen azelerazioa grabitatea bera baino handiagoa da.

Ondorengo applet-ak, katearen mutur askearen posizioa emanda (x/L), posizio horretaraino iristeko denbora kalkulatzen du (t/t₀), horretarako integral eliptiko bien kenketa kalkulatzen du soilik.

Programak, katearen x/L posizioa emanda, t/t₀ aldiunea kalkulatzen du.

Integral eliptikoak numerikoki kalkulatzeko, honako liburua erabili da: Numerical Recipes in C, 6.11 Atala: "Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions". Eta gero C lengoaiatik Java lengoaiara egokitu da.

Higiduraren ekuazioak

Katearen eskumako aldeak jasaten dituen indarrak bi dira: pisua eta T₂ indarra, biak beherantz. Izan ere, horregatik da bere azelerazioa g grabitatea baino handiagoa. Higiduraren ekuazioa honela idatz daiteke:

Katearen ezkerreko aldea geldi dago, baina hiru indar jasaten ditu:

• Euskarri finkoak egiten dion indarra: T₀

• Bere azpitik jasaten duen indarra: T₁

• Pisua

T₁ eta T₂ berdinak dira, ezkerreko aldearen beheko muturra eta eskumako aldearen beheko muturra mutur bera direlako, eta katearen tentsioa funtzio jarraitua izan behar da.

Katearen mutur askea dx distantzia jaisten denean, kate-zati bat eskumako aldetik ezkerreko aldera pasatzen da: kate-zati horren luzera dx/2 da, eta bere abiadura aldatu egiten da v-tik 0-ra (eta  v=dx/dt). Beraz, bere momentu lineala ere aldatu da: dp=ρ(dx/2)v. Kate-zati hori geldiarazteko dt denbora-tartean goranzko indar bat behar da katearen beherengo puntuan, alegia zati biak elkartzen diren puntuan.

Hortaz, mutur askearen higiduraren ekuazio diferentziala honela idatz daiteke:

Ekuazio diferentzial hori prozedura numerikoez ebatzi behar da, eta hasierako baldintzak ezarri behar dira: t=0 aldiunean, katearen mutur askearen posizioa x=0 da, eta pausagunetik abiatzen da, dx/dt=0.

Euskarri finkoak kateari egiten dion indarra honela idatz daiteke:

Aurreko atalean, energiaren kontserbazioa aplikatuz, abiadura adieraztea lortua dugu: dx/dt. Hango emaitza ordezka daiteke eta honakoa lortu:

Ondoko grafikoak adierazten du euskarri finkoaren indarra, T₀/(ρgL) aldagaia, x/L aldagaiaren menpe. Bertan ikusten da, x→L  jotzen duenean T₀→∞  jotzen duela.

Saiakuntza

• Katearen luzera finkoa da, L=1.0 eta bere dentsitate lineala ere bai: ρ=1.0 kg/m.

Hasi botoia sakatu.

Katea erortzen ikusten da eta uneoro honako datuak idatziz erakusten dira: denbora, t, mutur askearen posizioa, x, eta abiadura, v=dx/dt.

Tarta-itxurako diagrama batek energia kontserbatzen dela erakusten du, alegia, energia potentziala erabat bilakatzen dela energia zinetiko. Energia potentziala urdinez adierazten da eta energia zinetikoa gorriz.

Grafikoak erakusten du, euskarri finkoak kateari eragiten dion T₀ indarra t denboraren menpe.