Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (II)

Hondar-fluxua

Hondar depositua
  mugitzen

Hondar-erlojua

Presio atmosferikoak 
eragiten duen indarra

Tren-bagoi bat
euriaz betetzen

Soka bat mahaiaren
ertzean irristatzen 

Kate bat nola
mugitzen den (I)

Kate bat nola
mugitzen den (II)

Kate baten mutur
askea erortzen

Eskegita dagoen
kate bat erortzen

Euri-tanta bat
nola erortzen den

Hondar-depositua, indar aldakor baten eraginpean

Erreferentzia

Demagun hondar-depositu bat hondarrez beteta dagoela eta azpian zulo bat duela. Azter dezagun nola mugitzen den depositua bi kasu ezberdinetan:

• Lehenik, depositua pista horizontal batean zehar mugitzen da, marruskadurarik gabe eta indar konstante baten eraginpean.

• Ondoren, pista horizontalean zehar mugitzen da, baina marruskaduraz eta indar aldakor baten eraginpean.

Aurreko orrian aztertu da nolakoa den "hondar-fluxua", depositua finko dagoenean. Honako orrian, depositua horizontalki mugitzen egon arren, suposatuko da hondar-fluxu bertikala ez dela ezertan aldatzen.

Hondar depositua, indar konstante baten eraginpean

Ondorengo irudiak depositu bat adierazten du, zilindrikoa, R erradioduna, eta azpialdean r erradiodun zuloa duena:

Deposituaren masa denboraren menpe

Depositu hutsaren masa M da eta hasieran hondarrez beteta dago h₀ altueraraino. Hortaz, deposituaren masa totala hasieran:

m₀=M+ρ·πR²·h₀

Eta hemen ρ da, hondarraren dentsitatea.

Lehenagoko orrian, zuloan zeharreko "hondar-fluxua" kalkulatu da, f=dm/dt , eta "frogatu" da konstantea dela, alegia, ez dela aldatzen deposituaren h sakonerarekin. Horregatik, deposituaren masa denborarekin linealki doa gutxitzen, eta t denboraren menpe honela adieraz daiteke:

m=m₀ -f·t

edota,

m=M+ρ·πR²·h

hemen

Depositua guztiz husten denean, h=0. Dei diezaiogun aldiune horri t_m:

Deposituaren mugimendua

Newton-en bigarren legea dimentsio bakarrean honela adierazten da:

p da, multzo osoaren momentu lineala, eta F multzoa jasaten ari den indar erresultantea. Multzoaren masa denboran zehar aldakorra denez, kontu handiz definitu behar da p , momentu lineala, eta aintzat hartu behar da jaurtitako masa ere, kohetearen formulazioan ikusi genuen bezalaxe. Berriro errepikatuko dugu kohetearen higidura-ekuazioaren formulazioa:

Deposituak t aldiunean m masa du eta v abiadura darama. Hortaz, bere momentu lineala:

p(t)=mv

Eta ondorengo aldiunean, alegia t+Δt

• Deposituaren masa m-Δμ, eta bere abiadura v+Δv.
• Egotzitako hondarraren masa, Δμ da, eta bere abiadura  –u deposituarekiko edo  –u+ v lurrarekiko.

Orduan multzo osoaren momentu lineal totala ondorengo aldiune horretan, hau da:

p(t+Δt)=(m-Δμ)(v+Δv)+ Δμ(–u+ v)

Eta momentu linealaren aldakuntza bi aldiuneen artean (t eta t+Δt)

Δp= p(t+Δt) - p(t)=m·Δv- u·Δμ-Δv·Δμ

Limitean, denbora tartea txikia denean, Δt→0

Baina multzoaren masa totala, M, konstantea da, alegia deposituaren masa, m, gehi egotzitako hondarrarena, μ. Hau da, M=μ+m, eta beraz,  dμ+dm=0. Deposituaren masa gutxitzen bada (dm) egotzitako hondarraren masa neurri berean handituko da: dμ=−dm.

Eta hondarraren jaurtitze-abiadura, u, nulua bada deposituarekiko (perpendikularki askatzen delako), orduan higiduraren ekuazioa honela idatz daiteke:

Adierazpen hori eta masa konstantedun kasua berdinak dira, baina kasu honetako ezberdintasuna sakona da, m masa denboraren menpe aldakorra da. Adierazpen horrek ere ba du antza bultzada konstanteko kohetearekin, eta han F=u·D , jaurtitako gasek koheteari ematen dioten bultzada zen.

Gure kasura etorriz, F indar konstante bat da, kanpotik aplikatutakoa, eta masa honela ordezka daiteke:

Demagun depositua hasieran v₀ abiaduraz mugitzen ari dela, t=0 aldiunean, eta justu une horretan zuloa irekitzen dela:

Berriro integratzen bada denborarekiko deposituaren x posizioa lor daiteke denboraren menpe baina, integral hori egiteko, gogora dezagun:

hona hemen emaitza:

Deposituko hondarra agortzen denean (t_m) bere masa konstantea izango da:  m=m₀-f·t_m eta hortik aurrera bere azelerazioa konstantea izango da:

Alegia, higidura zuzen eta uniformeki azeleratua. Hona hemen higiduraren ekuazioak:

v=v₁+a(t-t_m)
x=x₁+v₁·(t-t_m)+a(t-t_m)²/2

Adierazpen horietako x₁ eta v₁ dira, deposituaren posizioa eta abiadura justu hondarra agortzen den aldiunean (t_m).

Kanpo indarrik ez bada aplikatzen

Kanpo indarrik aplikatu ezean, pentsa liteke deposituaren masa gutxitzen ari denez, abiadura handitzen joango dela, baina arrazonamendu hori oker dago, egotzitako hondarrak ere baduelako momentu lineala. Higidura ekuazioari erreparatuz, F=0 baldin bada, (m₀-f·t) parentesiak ez du zertan zero izan behar, orduan deposituaren abiadura konstantea da, eta hasierakoaren berdina:  v₀.

Energiak

Deposituaren energia zinetikoa hasieran:

Eta ondorengo t aldiune batean:

Egotzitako hondarraren energia zinetikoa (hasieratik t aldiunea arte):

Gogoan izan egotzitako hondar-zatiaren abiadura deposituarekiko nulua dela eta beraz lurrarekiko v.

Eta F indar konstanteak egindako lana:

F·x

Egiazta daiteke, indar konstante horrek egindako lana eta energia zinetikoaren aldakuntza berdinak direla, depositua eta egotzitako hondarra aintzat hartzen badira.

Egiaztatzeko, honako integralak erabili behar dira:

Adibidea

• Depositu hutsaren masa: M=50 kg.

• Hondarraren hasierako altuera: h₀=45 cm

• Hondar-fluxua: f=0.76 kg/s.

• Indarra: F=0.7 N

• Depositu zilindrikoaren erradioa: R=10 cm

• Hondarraren dentsitatea: ρ=2500 kg/m³

• Deposituaren hasierako abiadura: v₀=0.1 m/s

Deposituaren hasierako masa, hondarrez beteta:

m₀=M+ρ·πR²·h₀

m₀=50+2500·π·0.1²·0.45=85.3 kg

Erabat hustu arte iragaten den denbora:

Guztiz hustu den aldiunean (t_m=46.5 s) deposituaren masa M=50 kg, da eta une horretan daraman abiadura:

Deposituaren x posizioa une horretan:

Une horretatik aurrera, depositu hutsa azelerazio konstanteaz mugituko da, aplikatutako indar konstantearen eraginez:

v=0.59+0.014(t-46.5)
x=15.08+0.59(t-46.5)+0.014(t-46.5)²/2

Saiakuntza

Berria botoia sakatu.

• Deposituko hondarraren hasierako altuera finkatzeko, gezi gorria saguaz desplazatu gorago edo beherago.

• Fluxua hauta daiteke (kg/s-tan) saguaz desplazamendu-barrari eragiten: f=dm/dt.

• Deposituaren pisua hutsik ere hauta daiteke, alegia M, kg-tan, dagokion laukian idatziz.

• Deposituari tiraka ari zaion Indarra dagokion laukian idatz daiteke, Newton-etan.

Programa interaktiboak zenbait datu finkotzat hartzen ditu:

• Depositu zilindrikoaren erradioa: R=10 cm

• Hondarraren dentsitatea: ρ=2500 kg/m³

• Deposituaren hasierako abiadura: v₀=0.1 m/s

Hasi botoia sakatu.

Deposituaren azpiko zuloa ireki eta hondarra erortzen hasten da, fluxu konstanteaz, f. Deposituaren masa gutxituz doa, eta aldi berean  indar bat ari zaio tiraka. Horregatik bere abiadura handituz doa.

Depositua guztiz husten denean, bere masa ez da gehiago aldatzen eta, aplikatutako indarra konstantea denez, azelerazio konstanteaz mugitzen segitzen du.

Beste esperimentu bat abiatzeko, berria botoia sakatu eta berriro aukera daitezke, deposituaren pisua hutsik, hondarraren hasierako altuera edo tiraka ari den indar konstantea. Ondoren Hasi botoia klikatu.

Hondar-depositua, indar aldakor baten eraginpean

Ondorengo irudiak erakusten duen sistema aztertuko da. Hondar-deposituak zulotik hondarra galtzen du, fluxu konstanteaz, eta, aldi berean, mugitzen ari da mahai horizontalean zehar. Mahaiaren eta deposituaren artean badago marruskadurarik. Soka batek tiraka egiten dio deposituari eskumarantz, polea batean zehar pasatzen da eta beste muturrean M masa konstantea eskegita dauka. Eskegita dagoen blokearen M masa konstantea izan arren, sokaren tentsioa ez da konstantea, multzoaren a azelerazioa konstantea ez bada.

Higiduraren ekuazioak

Azter ditzagun deposituak eta blokeak jasaten dituzten indarrak. Polearen inertzia-momentua arbuiatuko dugu.

Hona hemen deposituaren higidura-ekuazioa:

T -μN=ma
N=mg

Eta eskegita dagoen blokearen higidura ekuazioa:

Mg -T=Ma

Lehen atala: deposituaren masa gutxitzen ari da.

Deposituaren masa gutxitzen ari da erritmo konstanteaz. Denboraren menpe adierazita:

m=m₀ -f·t

Hemen, m₀ hasierako masa totala da (depositu hutsa gehi hondarra), eta f , zulotik irteten ari den hondar-fluxu konstantea.

Ekuazio sistema horretatik T eliminatuz (egiazta daiteke T ez dela konstantea):

Eta integratuz,

Integrakizuna errazago integra daiteke honela berridazten bada:

Zenbait eragiketa burutu ondoren honako adierazpena lortzen da:

Abiadura denborarekiko integratuz, deposituaren x posizioa lor daiteke denboraren menpe, baina integrala egiteko gogoan izan:

Hona emaitza:

Bigaren atala: deposituaren masa konstantea da.

Hondarra agortzen denean, t_m aldiunea, deposituaren masa ez da gehiago aldatuko:

m=m₀ -f·t_m

Aurrerantzean, deposituaren azelerazioa konstantea da (eta blokearena), beraz higidura zuzen eta uniformeki azeleratua du:

Abiadura denboraren menpe:

v=v₀+a·(t-t_m)

Eta deposituaren posizioa:

x=x₀+v₀(t-t_m)+a(t-t_m)²/2

Hemen, x₀ eta v₀ dira, deposituaren posizioa eta abiadura, justu hondar guztia agortu denean, alegia t_m aldiunean.

Adibidea

• Hondarraren hasierako masa: 1 kg

• Hondar-fluxua: f=0.8 kg/s

• Marruskadura koefizientea: μ=0.5

• Blokearen masa: M=1 kg.

Deposituaren hasierako masa totala da, depositu hutsarena gehi daraman hondarrarena. Deposituaren masatzat hitzarmenez hartu da hondarraren hasierako masaren %10.

• Deposituaren hasierako masa (m₀) =1.1· hondarraren hasierako masa

Beraz, deposituaren hasierako masa: m₀=1.1·1=1.1 kg

Depositua guztiz hustuko da honako aldiunean: t_m=1.0/0.8=1.25 s.

Aldiune horretan deposituaren abiadura hau da:

Eta deposituaren posizioa:

Guztiz hustu den unetik aurrera, azelerazio konstanteaz mugitzen segituko du:

Hona hemen higiduraren ekuazioak:

v=5.76 +8.46·(t-1.25)
x=2.80+5.76 (t-1.25)+8.46(t-1.25)²/2

Esaterako, t=1.6 s aldiunean (guztiz hustuta), deposituaren posizioa hau da: x=5.33 m, eta abiadura: v=8.72 m/s

Eta esaterako, depositua iristen da x=4.0 m. posizioraino, t=1.43 s aldiunean, eta v=7.31 m/s-ko abiaduraz.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Hondarraren masa hasieran, (kg-tan) dagokion laukian idatziz.

• Hondar-fluxua, f (kg/s-tan),  dagokion laukian idatziz.

• Plano horizontalaren eta deposituaren arteko marruskadura-koefizientea, μ , dagokion laukian idatziz.

• Eskegita dagoen blokearen masa, M, finkotzat hartu da: M=1 kg.

Hasi botoia sakatu.

Hondar-deposituaren hasierako masa da, depositu hutsarena gehi hondarrarena, baina deposituaren masatzat hartu da hondarraren hasierako masaren %10.

• Deposituaren hasierako masa totala (m₀) =1.1· hondarraren hasierako masa.

• Deposituaren amaierako masa = depositu hutsaren masa =0.1 · hondarraren hasierako masa.

Programa interaktiboa ez da abiatzen marruskadura ez bada gainditzen, alegia μ·m₀>M. Kasu horretan, μ marruskadura-koefizientea jaitsi behar da.