Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (II)

Hondar-fluxua

Hondar-depositua
mugitzen

Hondar-erlojua

Presio atmosferikoak
eragiten duen indarra

Tren-bagoi bat
euriaz betetzen

Soka bat mahaiaren
ertzean irristatzen

Kate bat nola
mugitzen den (I)

Kate bat nola
  mugitzen den (II)

Kate baten mutur
askea erortzen

Eskegita dagoen
kate bat erortzen

Euri-tanta bat
nola erortzen den

Katea beherantz mugitzen

Energiaren balantzea

Katearen itzultze-posizioak, v=0

Saiakuntza

Zoruak kateari egiten dion indarra, beheranzkoan

Erreferentzia

Orri honetan ere, lurrean pilatuta dagoen katearen mugimendua aztertzen da, baina oraingoan, katearen muturra hari batez lotuta dago, polea batean zehar pasatzen da eta pisu bat dauka eskegita, irudiak erakusten duen bezala (bai hariak eta bai poleak masa arbuiagarria dute).

Katearen dentsitate linealari ρ deitzen badiogu, orduan, oreka-posizioan, eskegita dagoen blokearen pisua eta zutik dagoen kate-zatiaren pisua (ρa) berdinak dira.

Hasierako posizioan, katea erabat pilatuta dago lurrean, x=0, eta pausagunean, v=0. Blokeak kateari gorantz tiratzen dionez, mugitzen hasten da,  baina altuera maximo bateraino iristean gelditzen da. Bitarteko posizio batean, katearen muturrak x altuera du, irudiak erakusten duen bezala:

Katea gorantz mugitzen

Blokeak bi indar jasaten ditu: Beherantz, pisua, ρag Gorantz, hariaren tentsioa, T.

Hortaz, blokearen higidura-ekuazioa:

Kateak bi indar jasaten ditu: Beherantz, zutik dagoen kate-zatiaren pisua: ρxg, eta zati horren masa-zentroan aplikatzen dena. Gorantz, hariaren tentsioa, T. Polearen eta hariaren masak arbuiagarriak badira tentsio hau eta blokeak jasaten duena berdinak dira.

Katearen higidura-ekuazioa idazteko, indarraren definizioa erabil dezagun: F=dp/dt, eta p da, mugitzen ari den kate-zatiaren momentu lineala.

Ekuazio bietatik T elimina daiteke:

                (1)

Katearen v abiadura adieraz daiteke, t denboraren menpe adierazi beharrean, x altueraren menpe:

Eta ekuazio diferentzial osoa bidertu daiteke bider (a+x) eta hona hemen emaitza:

Aldagaia aldatzen badugu: z²=(a+x)²ˇv²

Integra daiteke:

Eta aldaketa desegiten:

Hasierako posizioa x₀=0 bada, eta pausagunetik abiatzen bada: v₀=0.

Katearen muturra gorantz mugituko da eta blokea beherantz abiadura berdinarekin, baina azkenean, une batez, gelditu egiten dira, honako posizio maximoan:

Eta gero katea beherantz abiatuko da.

Higiduraren ekuazioa (v>0)

Katearen muturraren altuera kalkulatzeko denboraren menpe, (1) ekuazio diferentziala ebatz daiteke prozedura numerikoen bitartez:

Eta hasierako baldintzak, lehengo berdinak: t=0, x=0, dx/dt=0.

Katea beherantz mugitzen

Beheranzkoan (v<0), blokearen higidura-ekuazioa honela idatz daiteke:

Erreferentzian aipatzen den artikuluaren arabera, katea beherantz mugitzen ari denean, zoruak katea geldiarazteko indar gehigarri bat egin behar du, izan ere, kate-begiek abiadura osorik galtzen dute zorua ukitzean.

Denbora-tarte batean (dt), kate-zati batek (dm) zoruaren kontra talka egiten du inelastikoki, eta zeraman v abiadura osorik galtzen du.

Momentu lineal galera hori vˇdm da, eta dt denbora-tartean gertatzen da, hortaz, zoruak gorantz egindako indarra honela idatz daiteke:

 F_s= vdm/dt=ρv²

Badago adibide bat, "erortzen ari den kateari zoruak egiten dion indarra" atalean.

Hona hemen katearen higidura-ekuazioa beherantz mugitzen ari denean (v<0):

Lehen bezala, ekuazio biko sistematik T elimina daiteke:

          (2)

Eta aurreko atalean bezala v abiadura adieraz daiteke, t-ren menpe adierazi beharrean, x-en menpe, alegia, katearen altueraren menpe:

Eta integra daiteke, hasierako baldintza hauek ezarrita: x₀, v=v₀

Integral hori berehalakoa da:

Beheranzkoan, katea abiatzen da honako posiziotik:  eta pausagunetik, v₀=0.

Abiadura hori berriz ere nulua bilakatzen da, v=0, honako posizio minimo honetan: x_d=0.412ˇa. Posizio hori kalkulatzeko honako ekuazio transzendentea ebatzi behar da:

Higiduraren ekuazioa (v<0)

Katearen x altuera kalkulatzeko baina t denboraren menpe adierazita, (2) ekuazio diferentziala integratu behar da, baina prozedura numerikoez egin behar da:

Eta hasierako baldintzak: t=t₀, , dx/dt=0.

Energiaren balantzea

Energiaren balantzea egiteko, konpara ditzagun hasierako egoera (katea lurrean osorik eta geldi dagoenenean) eta amaierako egoera (katearen x luzeradun zatia zutik dagoenean). Irudiak erakusten ditu egoera biak:

Hasieran, katea lurrean osorik eta geldi dagoenenean, multzoaren energia blokearena da:

E₀=ρagh

Eta katearen x luzeradun zatia zutik jarri denean:

• Blokearen energia potentziala: ρag(h-x)

• Zutik dagoen kate-zatiaren energia potentziala (masa zentroarena): ρxgˇx/2=ρgx²/2

• Blokearen energia zinetikoa: ρav²/2

• Katearen energia zinetikoa: ρxv²/2

Amaierako energia osoa lau terminoen batura da:

Eta energia-aldaketa denboraren menpe adierazteko:

• Katea gorantz mugitzen ari denean (1)

Sinplifikatuz, honako adierazpena lortzen da:

Multzo osoaren energia totala gutxitzen ari da denboran zehar, abiaduraren kuboaren proportzionalki.

• Katea beherantz mugitzen ari denean (2)

eta hortaz,

Oraingoan abiadura negatiboa denez, v<0, multzo osoaren energia totala ere gutxitzen ari da denboran zehar, abiaduraren kuboaren proportzionalki, alegia, goranzkoan duen erritmo berdinaz.

Kalkula dezagun zenbat energia galtzen den katea gorantz mugitzen denean hasierako posiziotik (x=0) berriro goiko posizio maximoan gelditzen den arte:. Posizio bietan sistema osoa geldi dago: v=0.

Eta kalkula dezagun zenbat energia galtzen den katea beherantz mugitzen denean hasierako posiziotik () berriro gelditzen den arte: x_d=0.412ˇa.

Katearen itzultze-posizioak, v=0

• Katea gorantz mugitzen ari denean:

Katearen abiadura honela adierazten da posizioaren menpe (eta blokearena berdin):

Hasierako posizioan v₀=0 eta amaierako posizioan ere bai: v=0. Dei diezaiegun hasierako posizioari x₀=x_d (down) eta amaierako posizioari: x=x_u (up). Ezagutzen bada beheko itzultze-posizioa, x_d, goikoa kalkula daiteke: x_u ekuazio kubiko hori ebazten:

Hemen z=x/a eta z₀=x_d/a

Esaterako, katea pausagunetik abiatzen bada, v₀=0 , eta hasierako posizioa, x_d=0, orduan gorantz mugitzen da honako posizioa atzematen duen arte:

• Katea beherantz mugitzen ari denean:

Beheranzkoan, katearen abiadura honela adierazten da posizioaren menpe:

Hasierako posizioan, abiadura nulua da, v₀=0,  eta amaierako posizioan ere bai: v=0. Dei diezaiogun hasierako posizioari x₀=x_u, eta amaierakoari x=x_d. Hasierakoa ezagutzen bada (x_u) amaierakoa kalkula daiteke (x_d) ondoko ekuazio transzendentea ebatziz:

Eta hemen z=x/a eta z₀=x_u/a

Esaterako, katea abiatzen bada  posiziotik eta beherantz, orduan berriro geldituko da honako posizioan: x_d=0.412ˇa.

Ondorengo taulan eta irudian erakusten da, katea gora eta behera oszilatzen ari denean, zein posiziotan gelditzen den (itzultze-posizioak)  (x_d/a eta x_u/a).

xd/a xu/a 0.0 1.732 0.412 1.489 0.580 1.368 0.673 1.295 0.732 1.246 0.773 1.211 0.803 1.185 0.826 1.165 0.844 1.149

Bai goiko itzultze-posizioak eta baita behekoak ere z=1 posiziorantz jotzen dute, horixe baita oreka-posizioa. Izan ere, posizio horretan blokearen pisua eta zutik dagoen kate-zatiarena (a luzeraduna) berdinak baitira (ikus bedi orri honetako hasierako irudia).

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Blokearen masa (kilogramotan, m), desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• Katearen dentsitate lineala (luzera unitateko masa) finkotzat hartu da: ρ=1 kg/m.

Hasi botoia sakatu.

Ikusten da, blokea eta katea, polean zehar lotuta, gora eta behera mugitzen direla etengabe. Idatziz erakusten dira, eskumako aldean, denbora eta abiadura, eta katearen goiko muturraren ondoan, bere posizioa.

Leihatilaren ezkerraldean, erregelan, itzultze-posizioak markatuta geratzen dira marratxo gorri batez, alegia sistema osoa gelditzen den uneetako posizioak (v=0). Denbora luzea pasatzen utzita oreka posiziorantz jotzen du, izan ere, katearen a luzerak blokearen pisu bera izateko a=m/ρ (eta ρ=1).

Leihatilaren eskumako aldean, tarta-itxurako diagrama batean, sistemaren energia adierazten da kateari eta blokeari dagozkion energiak bereiztuz:

• Blokearen energia potentziala, urdinez.

• Katearen masa-zentroaren energia potentziala, gorriz.

• Blokearen energia zinetikoa urdin argiz.

• Katearen energia zinetikoa arrosa kolorez.

• Sistema osoa gora eta behera oszilatzen ari dela, energia galtzen ari da, eta galdutako energia beltzez adierazten da.

Zoruak kateari egiten dion indarra, beheranzkoan.

Zoruak kateari egiten dion indarraren jatorria ulertu aurretik, egin dezagun beste ariketa bat:

Demagun metrailadore batek 600 bala disparatzen dituela minuturo. Jaurtitako balen abiadura 500 m/s da eta bakoitzaren masa 40g. Kalkula bedi zein indar egin beharko den metrailadoreari eusteko.

Goiko irudiak erakusten du metrailadoreak egiten duen indar instantaneoa, alegia baletako bakoitza jaurtitzen duenean. Indarra bat batean handitzen da, baina iraupen laburra du, eta behin eta berriz errepikatzen da. Azpian, batezbesteko indarra erakusten da, <F>, segidan N bala jaurtitzean.

Bala bakoitzari emandako bulkada (edo inpultsoa) justu bere momentu linealaren aldaketa da (kurbaren azpiko azalera).

N bala jaurtitzen direnean, momentu linealaren aldaketa osoa bulkada totala da.

Hortik batezbesteko indarra bakan daiteke: <F>

Demagun orain katearen kasua, eta demagun kate-begiak oso txikiak direla (masa jarraituaren hurbilketa). Katearen masa-dentsitatea luzera unitateko ρ da, eta demagun katearen abiadura v dela une batean.

Denbora tarte txiki  batean, dt, zoruaren kontra jotzen duen masa honela idatz daiteke: ρˇvˇdt eta masa hori v abiadura izatetik geldi egotera pasatzen da denbora horretan. Momentu linealaren aldaketa honela idatz daiteke: dp=(ρˇvˇdt)ˇv. Eta zoruak egin dion indarraren bulkada Fˇdt da.

Fˇdt=dp hortaz F=ρv²

Erreferentzia

Davis A. Error in the vibrating chain problem. Am. J. Phys. 20 (2) February 1952, pp. 112-114