Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (II)

Hondar-fluxua

Hondar-depositua
mugitzen

Hondar-erlojua

Presio atmosferikoak
eragiten duen indarra

Tren-bagoi bat
euriaz betetzen

Soka bat mahaiaren
ertzean irristatzen 

Kate bat nola
mugitzen den (I)

Kate bat nola
mugitzen den (II)

Kate baten mutur
askea erortzen

Eskegita dagoen
kate bat erortzen

Euri-tanta bat
nola erortzen den

Indarrak aplikatzen.

Saiakuntza

Erreferentzia

Fisika orokorreko ikastaroetan, indarraren definizioarekin batera, F=dp/dt, sarritan erakusten da adibide gisa, tren-bagoi bat mugitzen eta aldi berean euriaren eraginez bagoia urez betetzen doa, beraz, bere masa handitzen.

Indarrik aplikatu gabe

Demagun honelako ariketa:

Tren-bagoi batek sabaia irekita du eta trenbide horizontal batean zehar mugitzen ari da v₀ abiaduraz. Euria bertikalki erortzen da eta bagoia urez betetzen hasten da, alegia bagoiaren masa handituz doa erritmo konstanteaz: f  (kg/s). Bagoiaren hasierako masa ezagututa (m₀), kalkula bedi:

• Bagoiaren masa, m, denboraren menpe.

• Bagoiaren abiadura, v, denboraren menpe.

• Azelerazioa, a.

• Bagoiaren posizioa, x, denboraren menpe, jatorritik abiatzen bada.

• Zein F indarrez bultzatu behar da bagoia, v₀ abiadura konstanteaz mugi dadin.

Ariketa hori ebazteko honako urratsak jarrai ditzagun:

• Bagoiaren masa:

Bagoiaren masa denboraren menpe adieraz daiteke, f erritmoa ezagututa:

m=m₀+f·t

• Bagoiaren abiadura:

Bagoiak jasaten duen indar erresultantea nulua denez, F=0, bere momentu lineala konstantea izan behar da:

F=dp/dt,    baldin F=0, orduan  p=kte

Baina bagoiaren masa handituz doanez, bere abiadura gutxituz joango da. Momentu linealaren kontserbazioa idatziz:

m₀·v₀=(m₀+f·t)·v

Badago antzeko beste ariketa bat: demagun  gorputz bat, m₀ masaduna, v₀ abiaduraz desplazatzen ari dela. Halako batean, gorputz txikiago batekin talka egiten du inelastikoki. Beste gorputzaren masa Δm da eta pausagunean dago. Talkaren ondoren, biak itsatsita geratzen dira eta v₁ abiaduraz desplazatzen dira:

mv₀=(m+Δm)v₁

Ondoren, gorputz erresultanteak beste gorputz txiki batekin talka egiten du. Beste gorputzaren masa ere Δm da eta pausagunean dago. Talkaren ondoren itsatsita geratzen dira eta v₂ abiaduraz.

m₀v₀=(m₀+Δm)v₁=(m₀+2Δm)v₂.

Zenbait talkaren ondoren, demagun n izan direla, gorputz erresultantearen masa hau da: m₀+n·Δm, eta hona hemen bere abiadura:

Bagoia eta euriarekin lortu dugun adierazpenean, bagoiaren masa-handitzea f·t terminoaz adierazten da. Honakoan ordea, gorputz bat talka inelastikoak jasaten, masa-handitzea n·Δm terminoaz adierazten da.

• Bagoiaren azelerazioa:

Bagoiak indarrik jasaten ez duen arren bere azelerazioa ez da nulua.

• Bagoiaren posizioa:

Abiaduraren adierazpena denborarekiko integratuz bagoiaren x posizioa lortzen da denboraren menpe adierazita:

• Bagoiaren abiadura konstantea izan dadin:

Bagoiaren m masa handituz doanez, bere v abiadura gutxituz doa. Abiadura konstante mantentzeko (v₀) bultzatu egin beharko da, kalkula dezagun zein indarrez:

Indarra aplikatzen

Atal honetan ariketa bera aztertuko dugu, alegia bagoia trenbide horizontalean zehar mugitzen, baina tren-makina batek indar konstanteaz tiratu egiten dio eta gainera marruskadura ere jasaten du. Bagoiaren hasierako masa m₀ da, hasierako abiadura v₀, bere masa handituz doa euriaren eraginez, baina erritmo konstanteaz: f (kg/s). Makinak tiratu egiten dio F indar konstanteaz eta marruskadura-koefizientea μ da.

• Bagoiaren masa, denboraren menpe: m=m₀+f·t

• Bagoiaren abiadura v da, eta momentu lineala: p=(m₀+f·t)v

Bagoiak jasaten dituen indarrak:

• Bagoiaren pisua: (m₀+f·t)g

• Zoruaren erreakzioa, N, pisuaren berdina da baina aurkakoa: N=(m₀+f·t)g

• Tren-makinak bagoiari egiten dion tirakada: F , konstantea. 

• Marruskadura-indarra: F_r=μ·N= μ·(m₀+f·t)g. Marruskadura indarra ez da konstantea, bagoiaren masarekin batera handituz doalako.

Bagoiaren higidura-ekuazioa:

Hasieran, t=0 aldiunean, bagoiak v₀ abiadura du eta ardatz koordenatuaren jatorrian dago: x=0.

p=p₀+(F -μm₀g)t -μfg·t²/2

• Bagoiaren v abiadura, t-ren menpe adierazita:

Abiadura anulatuko da, zenbatzailea anulatzen bada, alegia honako t aldiunean:

Bagoia pausagunetik abiatzen bada, v₀=0, hona hemen gelditu arte iragaten den denbora:

Denbora hori positiboa izateko (bagoia mugitzeko) nahitaez baldintza hau bete behar da: F> μm₀g. (Makinaren tirakadak  hasierako marruskadura gainditu behar du).

• Bagoiaren posizioa:

Hona hemen bagoiaren x posizioa denboraren menpe adierazita:

Horko integral hori ebazteko, lehenik zenbatzailea zatitu izendatzaileaz, eta ondoren hondarraren zatidura idatzi behar da. Hona hemen emaitza:

Kasu bereziak:

• Baldin F=0 eta μ=0, orduan

• Baldin F≠0, eta μ=0, orduan

Bagoiaren v abiadura konstante bilakatzen da, eta v₀-ren berdina, F=f·v₀  denean, eta orduan posizioa denboraren menpe honela idatz daiteke: x=v₀·t.

Adibideak

1 adibidea:

Demagun F=0, eta μ=0

•  f=0.7 kg/s

• v₀=0.1 m/s

• m₀=50 kg

Bagoiaren abiadura esaterako t=50 s aldiunean:

2 adibidea:

Demagun μ=0

•  f=0.7 kg/s

• v₀=0.1 m/s

• m₀=50 kg

Abiadura konstantea izateko, v₀ , orduan indarra honakoa izan behar da: F=f·v₀=0.7·0.1=0. 07 N

F indarra, hori baino txikiagoa bada, bagoia motelduz joango da, gelditu arte, aldiz, hori baino handiagoa bada azeleratuz joango da.

3 adibidea:

Demagun μ=0.1

•  f=0.7 kg/s

• v₀=0 m/s

• m₀=50 kg

Har dezagun F indarra, hasierako marruskadura baino handiagoa: μm₀g= 0.1·50·9.8=49 N

Esaterako: F=60 N

Bagoia pausagunetik abiatzen da, azeleratuz doa, abiadura maximo bat atzematen du, eta ondoren dezeleratuz doa guztiz gelditzen den arte. Guztiz gelditu arte iragaten den denbora:

Denbora horretan bagoia desplazatu den distantzia:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Bagoiaren hasierako abiadura, v₀, dagokion laukian idatziz, m/s-tan.

• Makinak bagoiari tiraka eragiten dion F indarra, dagokion laukian idatziz, Newton-etan.

• Bagoiaren masa-hazkundea, f, alegia euriak eragiten dion Fluxua, (kg/s-tan) desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Marruskadura-koefizientea, μ, dagokion laukian idatziz.

• Bagoiaren hasierako masa finkoa hartu da hitzarmenez: m₀=50 kg.

Hasi botoia sakatu.

Bagoia mugitzen ikusten da. Indarraren laukian zero utzi bada, bagoia bakarrik ikusten da, baina indar positiboa idatzi bada, orduan makina ere ikusten da bagoitik tiraka.

Bagoiaren masa handituz doa, euria ari delako, eta bertan adierazten da idatziz. Euria ere puntu urdinekin adierazten da.