Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (II)

Hondar-fluxua

Hondar-depositua
mugitzen

Hondar-erlojua

Presio atmosferikoak
eragiten duen indarra

Tren-bagoi bat
euriaz betetzen

Soka bat mahaiaren
ertzean irristatzen

Kate bat nola
mugitzen den (I)

Kate bat nola
mugitzen den (II)

Kate baten mutur
askea erortzen

Eskegita dagoen
kate bat erortzen

Euri-tanta bat
 nola erortzen den

Higiduraren ekuazioak

Prozedura numerikoa

Saiakuntza

Erreferentzia

Euri-tanta esferiko bat, erortzen ari denean, tantatxo ñimiñoen hodei bat zeharkatzen du. Tantatxo ñimiñoak puntualtzat hartuko ditugu, pausagunean daude eta talka egitean itsatsita geratzen zaizkio, beraz tantaren masa handituz joango da. Demagun tantak hasieran, t=0 aldiunean, m0 masa duela, x0 altueran dagoela eta v0 abiadura duela. Kalkula dezagun, denboraren menpe, tantak izango dituen x posizioa eta v abiadura.

Tantaren masa

Tanta esferikoak, bidean aurkitzen dituen tantatxoak zurgatzen ditu, orduan bere masa handitzen joango da bere sekzioaren eta abiaduraren arabera:

• πr² tanta esferikoaren sekzioa da (azalera),

• ρ_n hodeiaren dentsitatea,

• v tantaren abiadura,

• m tantaren masa eta ρ_a uraren dentsitatea, m= dentsitatea·bolumena =ρ_a·(4/3)πr³

Bil ditzagun konstante guztiak, k proportzionaltasun konstante batean:

Orokorrean, tantaren masa-handitzea honela adieraz daiteke denboraren menpe (α koefiziente bat asmatuko dugu):

Eta abiadura berridatz daiteke: v=dx/dt

Ekuazio diferentzial horretan denbora elimina daiteke eta integratu, honako hasierako baldintzekin: x=0, m=m₀

Ekuazio horrek tantaren m masa adierazten du bere x posizioaren arabera.

Higiduraren ekuazioak

Tantak indar bakar bat jasaten du, pisua: mg. Kasu hau, masa aldakorrekoa denez, Newton-en bigarren legea honela idatz daiteke:

Grabitaterik gabe: g=0

Kasurik sinpleena aztertuko dugu lehenik: grabitaterik gabekoa. Kasu hau izan liteke, espazioan barrena hauts espaziala zeharkatzen duen gorputz bat.

Kanpoko indarra nulua denez, momentu lineal totala kontserbatzen da, beraz, masa handitzean abiadura gutxitzen joango da.

m₀v₀=mv

m(x) ordezkatu denez, integratzen da:

Eta x posizioa adieraz daiteke t denboraren menpe.

Kalkula dezagun ondoren, v abiadura t denboraren menpe:

Esaterako, α=2/3 bada, hasieran deduzitu den bezala, honela adieraz daitezke m masa x posizioaren menpe, eta x posizioa eta v abiadura t denboraren menpe:

Grabitatearekin, g≠0

Hona hemen, ebatzi beharreko ekuazioak:

Berridatz ditzagun:

Orduan, lehengo ekuazioak honela berridazten dira:

Orokorrean, tantaren azelerazioa ez da konstantea, dv/dt , baina izan liteke honelako baldintza beteko balitz:

eta horko c konstante bat da.

Kasu orokorrean, ekuazioetatik elimina daiteke m-ren deribatua, eta lehen ordenako ekuazio diferentzial bat geratzen da v-ren menpe:

Denborarekiko deriba daiteke:

Ekuazio diferentzial horrek ez dauka soluzio analitikorik, baina prozedura numerikoez integra daiteke.

Bestalde, azelerazioa konstantea izango da parentesi arteko terminoa nulua denean:

Baldin α=2/3, azelerazioa konstantea izango da g grabitatearen zazpirena denean (1/7):

Prozedura numerikoa

Posiziorako ekuazio diferentziala bigarren ordenakoa da, eta prozedura numerikoez ebatz daiteke, esaterako Runge-Kutta metodoa:

Hona hasierako baldintzak: t=0, v=0, m=m₀

Tantaren hasierako masa lor daiteke (m₀ gramotan) bidertuz, uraren dentsitatea (1.0 g/cm³) bider esferaren erradioa (cm-tan):

Eta orduan k proportzionaltasun konstantea hau da:

Hodeiaren dentsitatea ezberdina izan daiteke baina hitzarmenez hauta daiteke, ρ_n≈10^-6 g/cm³ , eta orduan k konstantea ere magnitude-ordena berekoa izango da: 10^-6.

Grabitatearen azelerazioa, g=980 cm/s².

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Tantaren hasierako erradioa, r₀ , milimetrotan, desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• k parametroa, alegia, proportzionaltasun konstantea, desplazamendu barrari saguaz eragiten, baina honako tartearen barruan: 0.1·10^-6 -tik  9.0·10^-6-raino.

Hasi botoia sakatu.

Leihatilaren ezkerraldean tanta zirkulu urdin batez adierazten da eta bertikalki erortzen ikusten da.

Erdiko grafikoak adierazten du, tantaren azelerazioa, dv/dt, denboraren menpe, eta egiaztatzen da, denbora iragan ahala, azelerazioak lehen aipaturiko balio limite konstantera jotzen duela: g/7=1.4 m/s².

Eskumako aldean, tanta ikusten da hodeia osatzen duten partikulatxoz inguratuta, eta bere tamaina handitzen doala ere ikusten da partikula ñimiñoak zurgatzen dituen heinean.