Kate bat nola mugitzen den,

indar konstante batek gorantz tiratzen dionean

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (II)
Hondar-fluxua
Hondar-depositua
mugitzen
Hondar-erlojua

Presio atmosferikoak
eragiten duen indarra
Tren-bagoi bat
euriaz betetzen
Soka bat mahaiaren
ertzean irristatzen
marca.gif (847 bytes)Kate bat nola
  mugitzen den (I)
Kate bat nola
mugitzen den (II)
Kate baten mutur
askea erortzen
Eskegita dagoen
kate bat erortzen
Euri-tanta bat
nola erortzen den
Oreka

Gorantz mugitzen

Beherantz mugitzen

Saiakuntza

Erreferentzia

 

Demagun kate bat lurrean pilatuta dagoela. Katea argala da, idealki malgua eta ρ dentsitatea du luzera unitateko. Katearen mutur batetik gorantz tiraka egiten dugu F indar konstante batez, esaterako, mutur hori globo batean lotuta.

Katea mugitzen denean, zati bat bertikalki mugitzen da, eta beste zatiak oraindik lurrean pilatuta eta geldi segitzen du. Altueraren erreferentzia (x=0) lurrean bertan hartuko dugu, katearen muturraren posizioa x>0 da, eta v abiadura du.

 

Oreka

Katea orekan egoteko, aplikatzen zaion F indarra eta zutik dagoen kate-zatiaren pisua berdinak izan behar dira. Demagun kate-zatiaren luzera orekan xe dela.

F=ρgxe

Katearen muturraren hasierako altuerari x0 deituko diogu. Hasieran katea kokatuko dugu x0<xe posizio batean, beraz, gorantz mugitzen hasiko da. Ondoren, katearen mugimendu osoa aztertuko dugu, bai goranzkoan eta baita beheranzkoan ere.

 

Gorantz mugitzen (v>0)

Katearen momentu linealaren deribatua denborarekiko, indar erresultantea da:

p da katearen momentu lineala: p=(ρx)v

Ekuazio diferentzial hori prozedura numerikoekin ebatzi behar da, eta hasierako baldintzak ezarri: t=0, x=x0, v=dx/dt=0.

  • Baldin x<xe bada, orduan katearen pisua (ρgx) aplikatutako F indarra baino txikiagoa da, beraz, katearen abiadura handituko da.

  • Baldin x>xe, orduan katearen pisua (ρgx) aplikatutako F indarra baino handiagoa da, beraz, katearen abiadura motelduko da.

  • Katearen abiadura nulua egiten denean (itzulera-posizioa, x1) goranzko higidura amaitu eta beheranzkoa hasten da.

Lehen itzulera-posizioa nola kalkulatu, x1.

Higiduraren ekuazio diferentziala honela berridatziz:

Eta "katearen-erregela" matematikoa aplikatuz: dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)

Integra daiteke:

Baina hasierako abiadura nulua bada, v0=0, eta amaierako abiadura, goiko itzulera-posizioan (x=x1) ere nulua denez, v=0, honako ekuazio kubikoa geratzen da:

Ekuazio kubiko horren soluzioetako bat, x0 da, izan ere, hasierako posizioa:

Bigarren graduko ekuazioa geratzen da. Soluzio bi ditu: bata negatiboa eta bestea positiboa. Dei diezaiogun positiboari x1.

Eta hemen xe=F/(ρg) oreka posizioa da.

Goiko lehen itzulera-posizioan (x1) katea gelditu eta beherantz abiatuko da.

 

Beherantz mugitzen (v<0)

Beheranzko mugimendua oso bestelakoa da: goranzko F indarra eta pisuaz gain, lurrak ere goranzko indarra egiten du (irudian Fs). Denbora-tarte batean katearen zati batek lurra jotzen du eta geldi geratzen da.

Demagun dt denbora-tartean katearen dm masadun zatiak v abiadura galtzen duela lurraren kontra inelastikoki talka egitean. Kate-zatiaren momentu linealaren aldaketa hau da: vdm.

Beraz, lurrak zati horri gorantz egin dion indarra, Fs= vdm/dt=ρv2

Mugitzen ari den kate-zati osoaren momentu linealaren deribatua denborarekiko, indar erresultantearen berdina da:

Eta ekuazio diferentzial hori ebatz daiteke:

Hasierako baldintzak honakoak: t1, x=x1, v=dx/dt=0.

  • Baldin x>xe bada, orduan katearen pisua (ρgx) aplikatutako F indarra baino handiagoa da, beraz, katearen abiadura handituko da.

  • Baldin x<xe, orduan katearen pisua (ρgx) aplikatutako F indarra baino txikiagoa da, beraz, katearen abiadura motelduko da.

  • Katearen abiadura nulua egiten denean (itzulera-posizioa, x2) beheranzko higidura amaitu eta goranzkoa hasten da.

 

Kasu berezia.

Goranzko indarrik gabe, F=0, katea aske erortzen da. Orduan mutur askearen abiadura honela idatz daiteke: v= -gt.

Kasu horretan, lurrak egiten duen indarra katearen begiak geldiarazteko:

Fs= vdm/dt= ρv2= ρg2t2

Demagun kate osoaren luzera L dela, x=L posiziotik askatzen dugula, eta pausagunetik, v=0. Bitarteko t aldiune batean muturraren posizioa x da eta, beraz, L-x luzeradun zatia lurrean dago geldi jadanik.

Lurraren N erreakzioak bi atal ditu:

  • Geldi dagoen L-x luzeradun kate-zatiari eusteko, zati horren pisua.

  • Erortzen ari diren kate-begiei Fs indarra egiten die geldiarazteko.

M, katearen masa osoa da: M=ρL.

Eta muturra lurreraino iristen denean: x=0.

N=3Mg

Katea balantza baten gainean erortzen uzten badugu, azken unean balantzak neurtutako indarra 3Mg izango da.

Laburbilduz: katea erabat jasota dagoenean eta beheko muturrak balantza justu ukitzen duenean, balantzak neurtutako indarra nulua da. Katearen muturra balantzaraino iristen den unean, balantzak neurtutako indarra katearen pisua hiru bider da. Ondoren, katea geldi geratzen denean, balantzak neurtutako indarra justu katearen pisua da.

 

Bigarren itzulera-posizioa nola kalkulatu: x2.

Idatz dezagun higiduraren ekuazio diferentziala modu honetan:

Eta integra dezagun:

Beheko itzulera-posizioan, x2, katearen muturraren abiadura nulua da: v=0.

Hemen, xe=F/(ρg) oreka-posizioa da.

Ekuazio hori transzendentea da eta gainera, x2 kalkulatzeko, x1 ezaguna izan behar da.

Bigarren itzulera-posizioan (x2) katea gelditu eta gorantz abiatuko da, eta horrela behin eta berriz.

Katearen muturrak oszilazio indargetua jarraitzen du, alegia, gora eta behera oszilatzen du behin eta berriz baina anplitudea gutxitzen, eta azkenean, oreka posizioan gelditzen da, xe.

 

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

  • Katearen muturraren hasierako altuera: x0<xe, desplazamendu barrari saguaz eragiten.

  • Oreka-posizioaren altuera finkotzat hartu da: xe=0.5 m

Hasi botoia sakatu.

Katea mugitzen ikusten da: bere muturrak gora eta behera oszilatzen du.

Kateak jasaten dituen indarrak erakusten dira:

  • Zutik dagoen kate-zatiaren pisua.

  • Gorantz globo batek aplikatutako F indar konstantea.

  • Beheranzko mugimenduan, zoruak kateari egiten dion Fs indarra, baina txikia da aurreko biekin konparatuta.

Leihatilaren ezkerreko aldean, erregelaren gainean, itzultze-posizioak adierazten dira marra gorri batez: x0, x1, x2,

Katearen muturraren x posizioa grafikoki adierazten da t denboraren menpe.

 

Erreferentziak

Sima V., Podolsky J., Buquoy's problem. Eur. J. Phys. 26 (2005) pp. 1037-1045

van den Berg W. H. Force exerted by a falling chain. The Physics Teacher, 36, January 1998, pp. 44-45