Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (II)

Hondar-fluxua

Hondar-depositua
mugitzen

Hondar-erlojua

Presio atmosferikoak
eragiten duen indarra

Tren-bagoi bat
euriaz betetzen

Soka bat mahaiaren
ertzean irristatzen

Kate bat nola
mugitzen den (I)

Kate bat nola
mugitzen den (II)

Kate baten mutur
askea erortzen

Eskegita dagoen
  kate bat erortzen

Euri-tanta bat
nola erortzen den

Lehen atalaren amaiera eta bigarren atalaren hasiera

Higiduraren bigarren atala

Bigarren atalaren amaiera

Saiakuntza

Erreferentzia

Demagun kate bat iltze finko batean eskegita. Erortzen denean, bere erorketak bi atal ditu: lehena, iltzearekin kontaktuan dagoenean, eta bigarrena iltzearekin kontaktua galtzen duenean. Harrigarria dirudien arren, iltzearekin kontaktua galtzen duenean, kateak oraindik dauka zati bat ezkerraldean. Bigarren atal horretan katea bi partikulako multzo gisa aztertuko dugu. Bigarren atal hori jadanik aztertu da lehenago Kapitulu honetako beste orri batzuetan, baina oraingoan bi partikulen arteko barne-indarra ezezaguna da.

Katearen higiduraren bi ataletan energia kontserbatzen dela suposatuko dugu.

Higiduraren lehen atala

Demagun kateak L luzera duela eta ρ dentsitatea luzera unitateko. Katea iltze finko batean eskegitzen da irudiak erakusten duen bezala.

Har dezagun altueren jatorria (erreferentzia) katearen bi muturrek duten posizioan, justu katea erditik tolestuta dagoenean, ezkerreko irudiak erakusten duen bezala. Posizio horretan katea orekan egongo da, baina oreka ezegonkorrean.

Energiaren kontserbazio printzipioa

Katearen bi zatien masa-zentroak puntu urdin batez adierazten dira, eta hasieran L/4 altueran daude biak. Katea pausagunean badago, posizio horretan katearen energia hau da:

Ondoren, katea mugitzen bada, bi muturrak desplazatuko dira (x), bata gora eta bestea behera, eskumako irudiak erakusten duen bezala. Une horretan katearen energia hau da:

Energiaren kontserbazioa aplikatuz, katearen abiadura adieraz daiteke bere posizioaren menpe:

Higiduraren ekuazioak

Katearen ezkerreko aldeak indar bi jasaten ditu: Pisua: ρ(L/2-x)g Goitik tiratzen dion tentsioa: T . Hortaz, ezkerreko aldearen higidura-ekuazioa:

Katearen eskumako aldeak ere indar bi jasaten ditu:

• Pisua: ρ(L/2+x)g

• Goitik tiratzen dion tentsioa: T .

Hortaz, eskumako aldearen higidura-ekuazioa:

Bi ekuazioak batuz, T indar ezezaguna eliminatzen da eta honako ekuazioa geratzen da:

Ekuazio diferentzial horren ekuazio karakteristikoak bi erro ditu, biak errealak:

A eta B koefizienteak kalkulatzen dira hasierako baldintzetatik.

Katea hasieran oreka ezegonkorreko egoeran eta pausagunean badago ez da mugituko, horrela segituko du perturbazioren batek mugiarazten duen arte. Mugitzen hasteko, mutur bat igo eta bestea jaitsi behar da x₀ distantzia. Hala bada, hasierako baldintzak honela ordezka daitezke:

t=0 aldiunean, katearen mutur biak desplazatuta daude x₀ altuera eta katearen abiadura v₀ da:

Baldintza horiek ordezkatzen baditugu soluzioan, alegia x(t) ekuazioan, erraz kalkulatzen dira A eta B. Izan ere: A=x₀ eta B=0. Hortaz:

Azken adierazpen hori, alegia v(x), energiaren kontserbazioa aplikatuz lortu den bera da.

Iltzeak kateari egiten dion indarra

Katea iltzean tolestu egiten da, eta justu dt denbora-tarte txiki batean katearen zati txiki bat (dx, irudian urdinez adierazi dena), ezkerreko aldetik eskumako aldera pasatzen da. Elementu horren masa ρ·dx da eta bere momentu linealak aldaketa du: hasieran (ρ·dx)·v eta amaieran (ρ·dx)(-v).

Beraz, elementu horren momentu linealaren aldaketa hau da: dp= -2(ρ·dx)v. Aldaketa hori gertatzen da dt denbora-tartean, beraz, aldaketa hori eragiteko behar den indarra hau da:

Iltzearekin kontaktuan dagoen kate-zatiak hiru indar jasaten ditu:

• Iltzeak egiten duen F indarra.

• Katearen ezkerreko aldeak egiten dion T tentsioa.

• Katearen eskumako aldeak egiten dion T tentsioa.

F-2T= -2ρv²

Katearen bi aldeen higidura-ekuazio bien kenketa eginez, T kalkula daiteke:

Honezkero, azelerazioa zein abiadura ezagunak direnez (d²x/dt² eta dx/dt), iltzeak egiten duen F indarra kalkula daiteke:

Ohar bedi badela posizio bat, iltzeak egiten duen F indarra anulatzen dena:

Ez da begi-bistakoa baina, kateak eta iltzeak kontaktua galtzen dute katearen ezker muturra iltzera iritsi aurretik  (pentsa zitekeen x= L*0.5  izango zela, baina emaitza da L*0.35).

Une horretatik aurrera, kateak oraindik bi atal ditu iltzearen alde banatan, ezkerrekoa gorantz mugitzen eta eskumakoa beherantz, baina kateak jadanik ez du iltzea ukitzen eta libre eroriko da grabitatearen azelerazio konstanteaz.

Lehen atalaren amaiera eta bigarren atalaren hasiera

Katearen higiduraren lehen atala amaitzen da iltzearen indarra anulatzen denean. Dei diezaiogun aldiune horri t₁ :

Une horretan katearen abiadura hauxe da:

Orokorrean, masa zentroaren posizioa:

Beraz, masa zentroaren posizioa lehen atala amaitzean,: x_mz=L/8

Eta masa-zentroaren abiadura orokorrean:

Beraz masa-zentroaren abiadura lehen atala amaitzean:

Katearen energia totala konstantea da, eta hasierako balioa mantentzen du uneoro:

Higiduraren bigarren atala

Atal honetan katea aske "erortzen" ari da nahiz eta ezkerreko aldea gorantz eta eskumakoa beherantz mugitzen ari diren. Kate osoaren ordez, kontsideratuko dugu bi partikula direla, grabitatearen eraginpean erortzen eta bien arteko barne-indarra ezezaguna dela.

Katearen masa-zentroaren higidura

Katearen masa-zentroa partikula bakar bat bezala mugitzen da, mL masa dauka eta indar bakar bat jasaten du, pisua.

Badakigu, bigarren atala hastean, masa-zentroaren posizioa eta abiadura honakoak direla:

Orduan, masa-zentroaren posizioa eta abiadura honela adieraz daitezke t denboraren menpe (denboraren jatorria bigarren atalaren hasieran kokatu da):

Katearen bi aldeen higidura

Kontsidera dezagun, kate osoaren ordez, bi partikula direla eta lor dezagun partikula bakoitzaren higidura-ekuazioa. Bi partikula horiek elkarri eragiten dioten barne-indarra ezezaguna denez, energiaren kontserbazio printzipioa erabiliko dugu: Bitarteko aldiune batean, katearen ezker muturra x2 altuera desplazatu da gorantz eta eskuin muturra x1 beherantz (jadanik ez dute iltzea ukitzen). Idatz dezagun masa-zentroaren posizioa x2 eta x1 distantzien menpe:

Masa-zentroaren abiadura ere adieraz daiteke bi atalen abiaduren menpe: v₁=dx₁/dt eta v₂=dx₂/dt.

Egiazta daiteke, masa-zentroaren posizioa denborarekiko deribatuz (x_mz) adierazpen hau bera ere lortzen dela: v_mz=dx_mz/dt

Partikula-multzoaren energia

Orokorrean, partikula-multzo baten energia zinetikoa bi zatitan adieraz daiteke: batetik, masa-zentroaren energia zinetikoa, eta bestetik partikulen energia zinetiko erlatiboa masa-zentroarekiko.

Kalkula ditzagun katearen alde bien abiadura erlatiboak masa-zentroarekiko.

Katearen energia zinetikoa honela adieraz daiteke:

Eta katearen energia potentziala, bi aldeen masa-zentroen energia potentzialen batura:

E_p=(ρL)gx_mz

Energia totala konstantea da eta hasierako balioa mantentzen du:

E_k+E_p=ρgL²/4

Ordezka ditzagun energia totalaren adierazpenean, masa-zentroaren posizioa eta abiaduraren adierazpenak (x_mz eta v_mz) t denboraren menpe:

Sinplifikazioak egin ondoren honela idatz daiteke:

Aldaketa bat egiten, z=x₁+x₂ eta  v=dz/dt=v₁+v₂, ondoko ekuazio diferentziala lortzen da:

Eta  ekuazio diferentzial horretan beste aldagai-aldaketa bat egiten  bada:  z=L·sinθ

Integra daiteke:

Higiduraren bigarren atala hasten denean t=0 da, eta posizioa:

Beraz, θ angeluaren menpeko integral horren behe-muturra honakoa da: θ₀=π/4

Integral hori (cos²θ) ez da berehalakoa baina honako erlazio trigonometrikoa erabiliz (cos²θ=(1+cos2θ)/2) eta zatika integratuz, hona hemen emaitza:

Ekuazio hori transzendentea da. Lehenik, t aldiunea ezagutu behar da, eta hortik θ angelua lor daiteke prozedura numerikoez, esaterako, erdiko puntuaren prozeduraz, eta azkenik kalkulatzen da z=x₁+x₂=L·sinθ .

Horrela, z ezagutzen bada denboraren menpe eta masa-zentroaren posizioa ere ezagutzen bada denboraren menpe  (x_mz), azkenik kalkula daitezke katearen bi muturren posizioak, x₁ eta x₂, denboraren menpe.

Idatz ditzagun x₁ eta x₂ adierazita z eta x_mz-ren menpe:

Katearen bi atalen abiadurak ere (v₁ eta v₂) idatz daitezke v_mz-ren menpe eta z-ren denborarekiko deribatuaren menpe (v=dz/dt).

Hortik bakan daitezke v₁ eta v₂ bi ekuaziodun sistematik:

Bigarren atalaren amaiera

Bigaren atala amaitzen da, katearen ezkerraldea guztiz amaitzen denean, alegia, kate osoa eskumako aldera pasatu denean. Orduan,  z=x1+x2=L.

Lehengo ekuazioetan ordezkatzen bada z=L, orduan angelua θ=π/2 eta denbora bakan daiteke (t₂) ekuazio transzendentean:

Masa-zentroaren posizioa amaieran:

Hona hemen katearen bi muturren posizioak amaieran (kontuan izan kateak ez duela jadanik iltzea ukitzen):

Egiazta daiteke: x₁+x₂=L

Baina katearen ezkerreko muturra iltzea baino gorago dago:

x₂-L/2=0.033·L

Kalkula ditzagun katearen bi aldeen abiadurak amaieran:

Lehenik, masa-zentroaren abiadura amaieran:

Bigarren etapa amaitzean z=L, eta katearen eskumako aldearen abiadura hau da:

Baina, v abiadurak (dz/dt) infinitura jotzen du z-k L-rantz  jotzen duenean. Ezkerraldeko luzerak (eta masak) zerora jotzen dute eta bere abiadurak ordea infiniturantz.

Saiakuntza

Katearen luzera eta dentsitate lineala finkoak dira: L=1 eta ρ=1.

Katearen muturrak hasieran pixka bat desplazatzen dira mugitzen hasteko: x₀=0.01 eta horrek hasierako abiadura ematen dio kateari:

Hasi botoia sakatu.

Behatzen da:

• Katearen mutur bien desplazamenduak: x₁ eta x₂.

• Iltzeak kateari egiten dion F indarra, mugimenduaren lehen atalean, urdin koloreko gezi batez adierazita. Denbora iragaten den heinean F indarra gutxituz doa.

• Masa-zentroaren posizioa, x_mz , puntu urdin batez.

• Applet-aren eskumako aldean tarta-itxurako diagrama batek, lau zatirekin adierazten ditu: katearen bi aldeen energia zinetikoak eta potentzialak.

Leihatilaren goiko aldean idatziz erakusten dira zenbakizko balioak:

• Katearen ezkerreko aldearen desplazamendua, x_ezk

• Katearen eskumako aldearen desplazamendua, x_esk

• Katearen ezkerreko aldearen abiadura, v_ezk

• Katearen eskumako aldearen abiadura, v_esk

• Katearen energia totala, konstantea.

Behatzen da, mugimenduaren lehen atalean, katearen bi muturren posizioak eta abiadurak berdinak direla (eta kontrakoak) baina gero, bigarren atala hastean, abiadurak eta posizioak ezberdinak dira, gero eta gehiago, ezkerreko aldea iltzetik aldendu delako.