Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (II)

Hondar-fluxua

Hondar-depositua
mugitzen

Hondar-erlojua

Presio atmosferikoak
eragiten duen indarra

Tren-bagoi bat
euriaz betetzen

Soka bat mahaiaren
ertzean irristatzen

Kate bat nola
mugitzen den (I)

Kate bat nola
mugitzen den (II)

Kate baten mutur
askea erortzen

Eskegita dagoen
kate bat erortzen

Euri-tanta bat
nola erortzen den

Sokak jasaten dituen indarrak mahaiaren ertzean

Saiakuntza

Erreferentziak

Demagun kate bat edo soka bat mahai baten gainean dagoela, baina sokaren zati bat mahaiaren ertzean behera eskegita duela. Eskegita dagoen zatiak soka osoari tiratzen dio, eta mahaitik erori egiten da. Adibide hori masa aldakorreko sistema tipikoa da.

Higiduraren ekuazioa

Demagun soka uniforme bat, l luzeraduna eta ρ dentsitate lineala duena. Irudiak erakusten duen bezala, mahaiaren gainean dago baina zati bat eskegita dauka. Demagun marruskadurarik gabe irrista dezakeela mahaiaren gainean.

Aldiune batean, eskegita dagoen zatiak x luzera du, eta beraz, mahai gainean dagoen zatiak l-x luzera. Mahai gainean dagoen zatiari mahaiak berak eusten dio (erreakzio normala), eta zati bertikalaren pisuak kate osoari eragiten dio. Newton-en bigarren legea honela idatz daiteke:

Soka homogeneoa bada, bere higidura-ekuazioa ρ dentsitatearen independentea da.

Eta hona hemen ekuazio diferentzialaren soluzioa:

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik determinatu behar dira. Esaterako, demagun t=0 aldiunean x=x₀ eta v=0, alegia eskegitako zatiak x₀ luzera duela eta pausagunean dagoela. Egoera horretan askatu egiten da:

Energiaren balantzea

Har dezagun energia potentzialaren jatorria (E_p=0) justu mahaiaren gainean.

Hasieran (t=0) soka pausagunean dago, beraz ez du energia zinetikorik. Sokaren energia potentzialerako bere masa zentroaren (m.z.) posizioa hartu behar da kontutan, baina soilik eskegita dagoen zatiaren masa zentroa, beste zatiaren altuera nulua baita. Eskegita dagoen zatiaren masa ρx₀ da eta bere altuera –x₀/2

Ondoren, t aldiune batean, sokaren energia totala bi terminoz osatzen da:

• Soka osoaren energia zinetikoa, E_k : bere masa ρl eta bere abiadura v.

• Eskegita dagoen zatiaren energia potentziala, alegia bere m.z.-rena: bere masa ρx da eta altuera –x/2

Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz:

Lehenago lortu diren adierazpenak ordezkatuz, x(t) eta v(t), eta honako baldintza kontutan hartuta, sinh²z-cosh²z= -1, energia kontserbatzen dela egiaztatzen da.

Eta energiaren ekuazioa denborarekiko deribatuz:

Berriz ere higiduraren ekuazioa lortzen da.

Adibidea

Demagun x₀=0.1 eta l=1.0

• Sokaren muturra mahaiaren ertzeraino iristeko (x=1.0) tardatzen duen denbora:

Eta sokaren abiadura une horretan:

v=3.11 m/s

• Eta bitarteko aldiune batean: t=0.5 s.

Hona hemen eskegita dagoen zatiaren luzera eta sokaren abiadura:

Une horretako energia potentziala:

E_p= -0.25²·9.8/2= -0.305 J

Eta energia zinetikoa

E_k=1.0·0.72²/2=0.256 J

Energia totala:

E=E_p+E_k= -0.049 J

Hain zuzen hasierako energia potentzialaren berdina:

E_p=-0.1²·9.8/2= -0.049 J

Sokak jasaten dituen indarrak mahaiaren ertzean

Aurreko atalean, higiduraren ekuazioa deduzitu da sinplifikazio handi bat eginez: sokak, bere erpinean, 90º angelua osatzen duela onartu dugu. Baina soka mugitzen ari denean, nola liteke mahai horizontalaren gainean doan zati batek bere abiadura horizontal osoa galtzea, eta bat batean, erpinera iristean, abiadura hori osorik bertikal bilakatzea? Soka zati horrek halako abiadura-aldaketa jasateko eta instante nulu batean, azelerazio infinitua izan beharko luke, eta hori ez da erreala. Benetako arazoa are konplikatuagoa da, erreferentzietan aipatutako bigarren artikuluan azaltzen den bezala.

Arazoa bi dimentsiotakoa dela onartzen badugu, Newton-en bigarren legea honela idazten da:

• F kanpo-indar erresultantea da.

• p momentu lineala da, soka osatzen duten zati guztien momentu lineal totala.

p momentu linealak bi osagai ditu:

• X ardatzean, p_x= -ρ(l-x)·v

• Eta Y ardatzean, p_y= ρx·v

Eta kanpo indarren F erresultantea:

• Zati bertikalak x luzera duenez, hona hemen bere pisua: ρgx. Mahai gainean dagoen zatiak (l-x luzeraduna) bi indar jasaten ditu: pisua eta mahaiaren erreakzioa, baina berdinak eta aurkakoak dira.

• Mahaiaren erpinak ere sokari indarra egiten dio: F_x eta F_y , oraingoz ezezagunak.

Orduan Newton-en bigarren legea bi osagaietan idatzita:

Dimentsio bakarreko higiduraren ekuaziotik azelerazioa bakan daiteke, d²x/dt², eta energiaren kontserbaziotik abiadura bakan daiteke, dx/dt.

Orduan F_x eta F_y berridatz daitezke x-en menpe.

• t=0 aldiunean, soka mugitzen hasten denean, x=x₀, F_x>0 ateratzen da, alegia, eskumarantz doa.

• Amaieran, x=l, soka aske geratzen denean, F_x<0 ateratzen da, alegia ezkerrerantz.

Tartean, badago x posizio bat F_x=0 betetzen dena:

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Hasieran, t=0 aldiunean, sokak duen eskegitako zatia, alegia x₀ , desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• Sokaren luzera finkotzat hartu da: l=1 m

Hasi botoia sakatu.

Soka mugitzen ikusten da.

Leihatilan uneoro honako datuak erakusten dira: t denbora, x (sokak eskegita duen zatiaren luzera), v, sokaren abiadura eta f (F_x+F_y), mahaiaren erpinak sokari egiten dion indarra. Izan ere, indar horrek ematen dio sokari L baten forma.

Bektoreen bitartez erakusten dira sokak jasaten dituen indarrak (mahai gainean dagoen zatiak jasaten dituenak izan ezik: pisua eta mahaiaren erreakzioa, berdinak eta aurkakoak direlako).

Leihatilaren ezkerraldean barra-diagrama batek energiaren aldaketak erakusten ditu:

• Energia potentziala (negatiboa) urdinez adierazten da, jatorriaren azpitik.

• Energia zinetikoa (positiboa) gorriz adierazten da, jatorriaren gainetik.