Dinamika

Masa aldakorreko
sistemak (II)

Hondar-fluxua

Hondar-depositua
mugitzen

Hondar-erlojua

Presio atmosferikoak 
eragiten duen indarra

Tren-bagoi bat
euriaz betetzen

Soka bat mahaiaren
ertzean irristatzen 

Kate bat nola
mugitzen den (I)

Kate bat nola
mugitzen den (II)

Kate baten mutur
askea erortzen

Eskegita dagoen
kate bat erortzen

Euri-tanta bat
nola erortzen den

Hondar-erloju zilindrikoa

Hondar-erloju konikoa

Saiakuntza

Erreferentzia

	Ohizko hondar-erlojuak bi ontzi izaten ditu, gutxi gora behera konikoak eta erpinetik komunikatuta zulo zilindriko baten bitartez. Erdiko zulotik hondarra pasatzen da gaineko ontzitik azpiko ontzira. Erlojua balantza baten gainean kokatzen bada, pisu-diferentzia detektatzen du erlojua geldi dagoenean eta martxan dabilenean.
	Hondarra, gaineko ontzitik azpikora pasatzen ari denean, erlojuaren masa-zentroa beherantz desplazatzen ari da. Bere azelerazioa beherantz da, ac, eta beraz, erlojuak jasaten duen indar erresultantea beherantz izan behar da. Hori gertatzeko, balantzaren N erreakzio normala erlojuaren mg pisua baino txikiagoa izan behar da. Izan ere, balantzak N neurtzen du.
	Hala ere, esperimentu hau gauzatzean, ikusten da balantzak neurtzen duen N erreakzioa mg pisua baino handiagoa ateratzen dela, uste genuena baina alderantziz. Izan ere, masa-zentroa beherantz mugitzen ari da, baina ac goranzko azelerazioa du, dezelerazioa alegia.

Deskribapena

Ezkerreko irudiak hondar-erlojua erakusten du. Gaineko ontziko hondarraren gainazalak y₂ altuera du eta azpiko ontziko hondarrak y₁. Bi ontzien arteko zuloa a altueran dago, eta hondarraren dentsitatea ρ da.

Eskumako irudiak erakusten du erlazionatuta daudela hondarraren altuera, y, eta hondarraren gainazalaren sekzioa, A(y). Azpiko ontzian y handituz A gutxitzen da baina gaineko ontzian alderantziz.

Erlojuaren masa-zentroaren posizioa, Y_c, honela kalkulatzen da:

M da erlojuaren masa totala eta C konstante bat, masa finkoa adierazten duena, alegia mugitzen ez den masa, besteak beste, beirazko ontzien hormak edota erortzen ari den hondar-zutabea.

Masa zentroaren abiadura kalkulatzeko (v_c) denborarekiko deribatu behar da:

Bestalde, hondar-fluxua (f) definitzen da, gaineko ontzitik irteten ari den masa denbora unitateko, edota azpiko ontzian sartzen ari den masa denbora unitateko.

Orduan masa zentroaren abiadura modu errazean adieraz daiteke:

Mv_c=f.(y₁-y₂)

Eta y₁<y₂ denez, masa-zentroaren abiadura beherantz da (negatiboa, uste genuen bezala).

Berriz ere denborarekiko deribatuz, masa zentroaren azelerazioa lor daiteke:

Baina hondar-fluxua konstantea da (soilik zuloaren azaleraren menpekoa) eta beraz, bigarren terminoa nulua da, eta lehenengoan deribatuak ordezka daitezke fluxuaren definizioaz.

Koka dezagun hondar-erlojua balantza elektroniko baten gainean. Demagun balantzak pisu ezberdina neurtzen duela erlojua geldi dagoenean (Mg) eta martxan dabilenean (N). Dei diezaiogun diferentzia horri ΔF.

     (1)

Adierazpen hori ikusita, ΔF>0, alegia N handiagoa da Mg baino. Hortaz, erlojua martxan dabilenean balantzak neurtzen duen pisua handiagoa da erlojua geldi dagoenean baino. Masa zentroa beherantz mugitzen ari da baina bere azelerazioa gorantz da.

Arrazoiketa honetan kontutan hartu da soilik, hondar-erlojuaren erdialdeko funtzionamendua, alegia ez dugu aintzat hartu erlojua abiatzen den aldiunea ezta amaitzen den unea.

Hondar-erloju zilindrikoa

Erlojuaren ontzi biak zilindrikoak dira, biak R erradiodunak eta L luzeradunak. Bitarteko zuloan zehar hondarra pasatzen ari da erritmo konstanteaz, alegia f=kte (kg/s).

Masa zentroaren posizioa

Ontzi bietako hondarraren masa-zentroak kalkula daitezke, eta erortzen ari den hondar-zutabea arbuiatuko dugu, konstantea delako. Irudian, masa-zentroak puntu gorriez erakusten dira.

Azpiko zatiaren masa: πR2y1 (izatez bolumena da baina homogeneoa denez...) Azpiko zatiaren masa-zentroaren posizioa: y1/2 Gaineko zatiaren bolumena: πR2(y2-a) Gaineko zatiaren masa-zentroaren posizioa: (y2+a)/2

Hortaz, erloju osoaren masa-zentroa:

Masa-zentroaren abiadura

Masa-zentroaren posizioa denborarekiko deribatuz abiadura lortzen da:

Hemen f ordezkatu da, alegia hondar-fluxua:

Masa-zentroaren azelerazioa

Masa-zentroaren abiadura denborarekiko deribatuz azelerazioa lortzen da:

Ohar bedi masa-zentroaren azelerazioa konstantea dela.

Emaitza hori egiazta daiteke (1) formulaz baliatuz:

Erloju zilindrikoaren kasuan: A(y₁)=A(y₂)=πR²

Eta hondarraren masa: M=ρ πR²L

Orduan:

Hondar-erloju konikoa

Hondar-erloju koniko batek ontzi koniko bi ditu, biak berdinak (R erradioa eta H altuera) eta erpinetik elkartuta daude zulo batez, irudiak erakusten duen bezala. Masa-zentroaren posizioa Gaineko ontziko hondarrak kono oso baten itxura du, buruz behera, r erradioa eta (H-h) altuera. Azpiko ontziko hondarrak, ordea, kono-zati baten itxura du R erradioa oinarrian eta h altuera.

• Kono baten masa-zentroa nola kalkulatu (eta kono-zati batena).

Konoak simetria zilindrikoa duenez bere ardatzaren inguruan, masa zentroa ardatz horretan bertan egon behar da, baina bere altuera kalkulatu behar da: y_c honela:

Integral hori egin ahal izateko x eta y erlazionatu behar dira:

Integrala berehalakoa da:

Izendatzailea, hain zuzen, h altuerako kono-zatiaren bolumena da.

Baldin h=H orduan kono osoaren masa-zentroa lortzen da (R erradioa eta H altuera):

Izendatzailea, hain zuzen, kono osoaren bolumena da: πR²H/3

Kalkula ditzagun bada, erloju konikoaren bi zatien masa-zentroak. Gaineko zatia kono osoa da erpina beherantz duena, eta azpiko zatia kono-zati bat. Masa-zentro biak kalkulatuko ditugu erpinarekiko.

• Gaineko ontzian dagoen hondarra: (H-h) altueradun kono osoa.

Konoaren erradioa r da, idatz dezagun h-ren menpe:

Orduan konoaren bolumena:

Masa-zentroaren posizioa da oinarritik (H-h)/4 altuerara, edota erpinetik y₁=3(H-h)/4 altuerara.

• Azpiko kono-zatiaren masa-zentroa:

Lehen kalkulatu dugunez, oinarritik y_c altuerara dago, edota erpinetik –(H-y_c) altuerara. Hortaz bere posizioa hau da: y₂= -H+y_c :

Kono-zatiaren bolumena ere lehen kalkulatu da: V₂

• Beraz, bi atalek osatutako erlojuaren masa-zentroaren posizioa hau da:

V=V₁+V₂ bolumen totala da, hau da, R erradiodun eta H altueradun kono osoaren bolumena (V=πR²H/3) erraz egiazta daitekeenez. Beraz,

Masa-zentroaren abiadura

Masa zentroaren posizioa denborarekiko deribatuz abiadura lortzen da, baina h-ren deribatuaren menpe geratzen da:

Eta fluxua ere idatz daiteke h-ren deribatuaren menpe:

Beraz masa zentroaren abiadura idatz daiteke hondar-fluxuaren menpe: 

Masa-zentroaren azelerazioa.

Masa zentroaren abiadura denborarekiko deribatuz bere azelerazioa lortzen da:

Ikusten denez, masa-zentroaren azelerazioa positiboa da, eta infiniturantz jotzen du, h→H jotzen duenean, alegia, gaineko hondarra agortzen den unean.

Emaitza hori ere egiazta daiteke (1) adierazpenaz baliatuz:

Baina erloju koniko batean:

eta hortaz:

Hondarraren masa totala hau da:

Eta orduan masa-zentroaren azelerazioa:

Azpiko kono-zatiaren altuera

Hondar-fluxua, f , konstantea da, eta t denbora iragan ondoren honako bolumena pasatu da zulotik: V=f·t/ρ. Une horretan azpiko kono-zatiaren altuera h da. Lehen kalkulatu dugu kono-zati baten bolumena:

Orduan, konoaren oinarriaren erradioa ezagutuz (R) eta bere altuera (H), kono-zatiaren h altuera kalkulatzeko t aldiune jakin batean, horko ekuazio kubikoa ebatzi behar da:

Ondorengo programa interaktiboak ekuazio hori prozedura numerikoez ebazten du.

Adibidea

• Konoaren oinarriaren erradioa: R=0.5 m

• Konoaren altuera: H=0.5 m

• Hondarraren dentsitatea: ρ=2500 kg/m³

• Hondar-fluxua: f=0.13 kg/s

Une batean, azpiko kono-zatiaren h altuera 0.20 m da. Kalkula bedi zein t aldiunetan gertatzen den, zein den masa-zentroaren posizioa une horretan, eta balantzak erakusten duen indar-diferentzia: ΔF=Ma_c.

• Aldiunea: t

Kalkula dezagun kono-zatiaren bolumena, h=0.2 m-ko altuera duenean.

Kono-zati horretan dagoen hondarraren masa: m=ρ·V=2500·0.103=256.6 kg

Baina hondar-fluxua konstantea denez: f=dm/dt=0.13 kg/s,

m=f·t,  eta beraz,   t=1974 s.

• Masa-zentroaren posizioa:

• Balantzak neurtzen duen indarra:

Emaitza hori ikusita, ikusten da oso efektu txikia dela, eta esperimentalki neurtu ahal izateko, zehaztasun handiko eta pisu handiak neurtzeko gai den balantza bat behar da (ikus bedi erreferentzian aipatzen den artikulua).

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Konoaren erradioa oinarrian (R) zentimetrotan, desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• Hondar-fluxua, f (kg/s-tan), desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• Konoaren altuera finkotzat hartu da: H=0.5 m

• Eta hondarraren dentsitatea ere hitzarmenez finkotzat hartu da: ρ=2500 kg/m³.

Hasi botoia sakatu.

Hondarra erortzen hasten da eta azpian dagoen balantzak (horiak) pisua neurtzen du.

• Erlojua geldi dagoenean, bere pisua Mg da.

• Erlojua martxan dabilenean, bere pisua pixka bat handixeagoa da: N.

Hona hemen diferentzia: ΔF=N-Mg=Ma_c

Balantzak diferentzia hori neurtzen du soilik, hasieran, hondar-erlojua geldi dagoenean, balantza elektronikoa kalibratu delako: ΔF=0. Ondoren, balantzaren neurketa handitzen doa eta infiniturantz jotzen du justu gaineko ontzia husten den unetxoan.

Erlojuaren masa-zentroa, puntu gorri batez adierazita, jaisten doa erlojua martxan dagoen bitartean.