Erorketa askea eta ondorengo erreboteak

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Dinamika

Talkak
Tanke higikor batek
tiro egiten du
marca.gif (847 bytes)Erorketa askea eta
ondorengo erreboteak
Pendulu biren 
arteko talkak
Aurrez-aurreko talkak
(dimentsio bakarrean)
Aurrez-aurreko
talka elastiko bi
Etengabeko talka
elastikoak 
karril batean
Aurrez-aurreko
talka bertikalak
Iraupen luzeko 
talka inelastikoa
Pendulu balistikoa
Momentu lineala
kontserbatzen ez den
pendulu balistikoa
Talka inelastikoa
malguki baten
gainean
Bala baten
abiadura neurtzea 
Bi dimentsiotako
talkak
Penduluen segida

Erreboteak plano horizontalean

Progresio geometrikoa

Erreboteak malda inklinatuan

Erreferentziak

 

Orri honetan aurkezten den adibidean, lehen bi edo hiru erreboteak aztertuta, ikasleari erreboteen adierazpen orokorra lortzeko aukera ematen zaio. Ariketa gisa progresio geometriko bat lortzen da, Matematikako lehen mailako ohizko ikasgaia.

Erreboteak plano horizontalean

Balon7.gif (2174 bytes)

Pilota batek errebotea egiten duenean horma baten kontra, abiaduraren osagai perpendikularra gutxitu egiten da, eta demagun osagai paraleloa ez dela aldatzen.

vx=ux
vy= -e·uy

 

Ondorengo erreboteen altuerak

Demagun pilota bat erortzen uzten dela, hasieran h altueratik. Kalkula ditzagun ondorengo erreboteen altuerak:

1.-Lehen errebotea

Pilota erortzean bere energia kontserbatzen denez, pilotaren abiadura kalkula daiteke justu zoruaren kontra talka egitera doan unean:

 

Talkan ordea ez da energia kontserbatzen, eta pilotaren abiadura justu talkaren ondoren hau da (modulua): v1=e·u1

Orduan pilota gorantz abiatzen da, v1 abiaduraz eta atzematen duen altuera maximoari dei diezaiogun h1 . Berriz ere, energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz:

2.-Bigarren errebotea

Berriz ere erorketan, energia kontserbatzen denez, kalkulatzen da pilotaren abiadura justu zoruaren kontra talka egin aurretik:

Orduan pilotaren abiadura justu talkaren ondoren: v2=e·u2

Gero pilota gorantz abiatzen da, v2 abiaduraz eta atzematen duen altuera maximoari dei diezaiogun h2. Berriz ere, energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz:

3.-n-garren errebotea

Aurreko ekuazioen itxurak aztertuta, hona hemen n-garren errebotearen ondoren, pilotak atzematen duen altuera maximoa:

hn=e2n·h

 

Pilotak galdutako energia

  1. Lehen talkan pilotak honako energia galtzen du:

  1. Bigarrenean honako energia galtzen du:

  1. Eta n-garren talkan orduan:

Pilotak galdutako energia osoa, n erreboteren ondoren, energia-galeren batura da, ΔE1+ ΔE2+ ΔE3+…. ΔEn . Bere hasierako energia osoa mgh da eta osorik galduko du infinitu errebote burutu ondoren. Egiazta dezagun hori progresio geometrikoaren terminoen batura kalkulatzen. Progresioaren arrazoia e2 da eta lehen terminoa ΔE1.

Pilota gelditu arte iragandako denbora.

  1. Pilota h altueratik askatzen bada, eta pausagunetik abiatuta, hona hemen lurrera iristeko iragaten den denbora:

  1. Pilotak errebotea egin, eta berriz ere h1 altueraraino igotzen da. Gero berriro erortzen da lurrera. Igo eta jaisteko denbora hau da:

  1. Pilotak berriro errebotea eta berriro gora, h2 altueraraino. Gero berriro lurrera. Horretarako iragandako denbora:

Infinitu errebote burutu arte iragaten den denbora totala kalkulatzeko gehitu behar dira, t0 eta progresio geometrikoaren infinitu terminoak. Progresioaren arrazoia e da eta lehen terminoa 2t0e.

Pilota pausagunetik abiatu beharrean, hasieran vx abiadura horizontala badu, orduan infinitu erreboteen ondoren horizontalki desplazatuko da, honako distantzia:

x=vx·t

Itzultze koefizientea (e) eta grabitatearen azelerazioa (g) neurtzea:

Errebote biren artean pilotak airean pasatzen duen denbora hau da (tn):

Ekuazio horretan logaritmoak hartuta:

ln tn=n·lne+ln(2t0)

Eta (ln tn) grafikoki adierazten bada n-ren menpe zuzen bat lortzen da. Zuzen horren malda e da, izan ere itzultze koefizientea, eta ardatz bertikala mozten du ln(2t0) puntuan.

Zuzenak ardatz bertikala non mozten duen neurtzen badugu  2tlortzen dugu.

Eta hasierako h altuera ezaguna bada, hortik grabitatearen g azelerazioa kalkula daiteke.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke

  • Talkaren itzultze koefizientea, e, desplazamendu barrari saguaz eragiten.
  • Hasierako altuera finkotzat hartu du programa interaktiboak: h=3 m

Hasi botoia sakatu.

Adibidea:

Idatz dezagun itzultze koefizientetzat e=0.90.

  1. Kalkula bedi esaterako, pilotak atzematen duen altuera maximoa hirugarren errebotearen ondoren.

h3=e2·3h        h3=1.59 m

  1. Eta altuera horretara iristeko iragandako denbora:

t=t0+t1+t2+t3/2= t0+2t0e+2t0e2+t0e3=t0(1+2e+2e2+e3)=4.03 s.

Hemen t0=0.78 s lehen erorketaren iraupena da, alegia 3 metroko altueratik askatzen den unetik lurrera iristen den arte.

  1. Partikularen energia hirugarren errebotearen ondoren:

Energia galerak, ΔE , lehen, bigarren eta hirugarren erreboteen ondoren:

ΔE=(e2-1)mgh+e2(e2-1)mgh+e4(e2-1)mgh=mgh (e2-1)(1+e2+e4)= -13.78·m J

Beraz, amaierako energia Ef=mghE=15.62·m J

Leihatilaren ezkerreko aldean, barra-diagrama batez, pilotaren energia erakusten da. Talka kontsekutibo biren artean energia kontserbatu egiten da baina energia zinetikoa (urdina) eta energia potentziala (gorria) elkar aldatzen dira pilota gorantz edo beherantz bidaiatzen ari denean. Pilotaren hasierako energia totala lauki beltz batez adierazten da, eta talka bakoitzaren ondoren duen energia marra beltz batez, horrela talka bakoitzean galdutako energia agerian geratzen da.

RestitucionApplet1aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                              

 

Progresio geometrikoa

Progresio bat geometrikoa da, segida batean n-garren terminoa lortzen bada n-1 terminoa r kantitate konstante batez bidertuta, eta orduan r progresio geometrikoaren arrazoia da:

a0=a
a1=a·r
a2=a·r
2
a3=a·r3
………..
an=a·rn

Progresio geometriko baten n lehen terminoen batura

Sn=a0+a0·r+ a0·r2+…+a0·rn
Sn+1=a0+a0·r+ a0·r2+… +a0·rn+a0·rn+1

Biderka dezagun lehen ekuazioa r bider eta gero egin dezagun kenketa terminoz termino, bigarren ekuazioa ken lehena:

Sn+1-r·Sn = a0

Baina  Sn+1=Sn+a0·rn+1, orduan Sn bakan daiteke, alegia progresio geometrikoaren lehen n terminoen batura:

 

Baldin r bat baino txikiagoa bada, orduan progresio geometrikoaren infinitu terminoen batura hau da:

 

Erreboteak malda inklinatuan

Honako honetan pilota bat erortzen uzten da, bertikalki h0 altueratik, plano inklinatu baten gainean. Planoaren malda θ da.

Pilotaren mugimenduaren atalak aztertuko ditugu:

Har dezagun erreferentzia sistema honela: X ardatza plano inklinatuaren norabidean eta Y ardatza planoarekiko perpendikularra.

Lehen atala: erorketa

Pilota erortzen uzten da, bertikalki eta h0 altueratik, pausagunetik abiatuta. Hona hemen pilotaren hasierako posizioa:

x0= -h0·sinθ,
y0
= h0·cosθ

Hona hemen azelerazioaren osagaiak:

ax=g·sinθ
ay
= -g·cosθ

Pilota zuzen mugitzen da eta bertikalaren norabidean, beraz, ardatz bietan higidura zuzen eta uniformeki azeleratua du. Abiaduraren osagaiak denboraren menpe hauek dira:

vx= g·sinθ·t
vy
= -g·cosθ·t

Eta pilotaren posizioa:

Bere ibilbidea honako zuzena da:  y= -x/tanθ

Eta pilota jatorrira iristen da (x=0, y=0) honako aldiunean:

Jatorriraino iristean honako abiadura du:

vx= g·sinθ·t0
vy
= -g·cosθ·t0

Bigarren atala

Pilotak errebotea burutzen du:

  • Abiaduraren X osagaia ez da aldatzen: v0x=vx

  • Abiaduraren Y osagaiak noranzkoa aldatzen du eta bere modulua gutxitzen da:

 v0y= -e·vy

 

Pilota jatorritik abiatzen da (x0=0, y0=0 posiziotik) t0 aldiunean, eta hasierako abiadura:

v0x= g·sinθ·t0
v0y
= e·g·cosθ·t0

Abiaduraren osagaiak denboraren menpe adieraz daitezke:

vx=v0x+ g·sinθ·(t-t0)
vy
=v0y-g·cosθ·(t-t0)

Eta pilotaren posizioa:

Pilotak planoa jotzen du y=0 denean, dei diezaiogun aldiune horri t1:

Eta pilotak planoa jotzen du x1 posizioan:

Abiaduraren osagaiak une horretan:

vx=g·t0·(1+2e)·sinθ
vy=-e·g·t0
·cosθ

Hirugarren atala

Pilotak errebotea burutzen du, bigarrena:

  • Abiaduraren X osagaia ez da aldatzen, v1x=vx

  • Abiaduraren Y osagaiak noranzkoa aldatzen du, eta modulua: v1y= -e·vy

Pilota, errebotearen ondoren abiatzen da honako posiziotik: x1, y1=0 , eta honako abiadura du t1 aldiune horretan:

v1x= g·t0·(1+2e)·sinθ
v1y
=e2·g·t0·cosθ

Abiaduraren osagaiak denboraren menpe adieraz daitezke:

vx=v1x+ g·sinθ·(t-t1)
vy
=v1y-g·cosθ·(t-t1)

Hona hemen pilotaren posizioa:

Ondoren, pilota planora iristen da y=0 denean, dei diezaiogun aldiune horri t2.

Eta planoa jotzen du x2 posizioan:

Abiaduraren osagaiak une horretan:

vx=g·t0·(1+2e+2e2)·sinθ
vy=-e2·g·t0
·cosθ

Laugarren etapa

Pilotak errebotea burutzen du, hirugarrena:

  • Abiaduraren X osagaia ez da aldatzen: v2x=vx

  • Abiaduraren Y osagaiak noranzkoa aldatzen du eta modulua, v2y= -e·vy

Pilota abiatzen da x2, y2=0, posiziotik, t2 aldiunean honako abiaduraz

v2x= g·t0·(1+2e+2e2)·sinθ
v2y
=e3·g·t0·cosθ

Abiaduraren osagaiak denboraren menpe honakoak dira:

vx=v2x+ g·sinθ·(t-t2)
vy
=v2y-g·cosθ·(t-t2)

Eta pilotaren posizioa

Pilotak hurren aldiz planoa jotzen du y=0 denean, dei diezaiogun aldiune horri t3.

Eta planoa jotzen du x3 posizioan:

Abiaduraren osagaiak une horretan:

vx=g·t0·(1+2e+2e2+2e3)·sinθ
vy=-e3·g·t0
·cosθ

Bosgarren atala

Pilotak errebotea burutzen du, laugarrena:

  • Abiaduraren X osagaia ez da aldatzen: v3x=vx

  • Abiaduraren Y osagaiak noranzkoa aldatzen du eta modulua, v3y= -e·vy

Pilota abiatzen da x3, y3=0, posiziotik, t3 aldiunean, honako abiaduraz:

v3x= g·t0·(1+2e+2e2+2e3)·sinθ
v3y
=e4·g·t0·cosθ

Pilotaren abiaduraren osagaiak denboraren menpe idatz daitezke:

vx=v3x+ g·sinθ·(t-t3)
vy
=v3y-g·cosθ·(t-t3)

Eta pilotaren posizioa:

Pilotak hurren aldiz planoa jotzen du y=0 denean, dei diezaiogun aldiune horri t4.

Eta planoa jotzen du x4 posizioan:

Abiaduraren osagaiak une horretan:

vx=g·t0·(1+2e+2e2+2e3+2e4)·sinθ
vy=-e4·g·t0
·cosθ

n-garren atala

n-garren atala amaitzerakoan pilotaren posizioa hau da:

Eta aldiunea:

Abiaduraren osagaiak aldiune horretan:

Errebote asko burutu ondoren (n→∞)

Honako erlazioa ordezkatuz

alegia, progresio geometriko baten infinitu terminoen batura (lehen terminoa a0=1 bada eta arrazoia e<1) hau da:

Eta balio hori (t) lehen lortutako bera da, alegia erreboteak plano horizontalean.

Abiaduraren osagaiak honako balioetara jotzen dute:

Eta honako erlazioa kontutan izanda:

Erlazio horren demostrazioa ez da ebidentea, eta horregatik alboko koadroan erakusten da Java lengoaian idatzitako programa bat, serie horren zenbakizko balioa lortzeko, alegia  e<1 eta n handia denean, baina finitua.

Errebote kontsekutiboen posizioak limite bat du malda inklinatuan: x

public class Serie {
	static double e=0.8;
public static void main(String[] args) {
	int n=200;
	double suma=0.0;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		suma+=i*(potencia(e, i)+potencia(e, (2*n+1-i)));
	}
	System.out.println(suma);
}
static double potencia(double x, int i){
	double pot=1.0;
	for(int j=1; j<=i; j++){
		pot*=x;
	}
	return pot;
}
}

Ondorengo grafikoak erakusten du pilotaren abiaduraren Y osagaia, atal bakoitzaren amaieran (justu errebote bakoitzaren aurretik). Ikus daiteke vy zerorantz jotzen duela tt jotzen duenean.

Ondorengo grafikoak erakusten du pilotaren abiaduraren X osagaia, atal bakoitzaren amaieran (justu errebote bakoitzaren aurretik). Ikus daiteke vx balio finitu batera jotzen duela tt jotzen duenean.

Ondorengo grafikoak erakusten du pilotaren posizioaren xi osagaia, atal bakoitzaren amaieran (justu errebotearen posizioa). Ikus daiteke x ez dela mugagabe hazten, baizik eta balio finitu baterantz jotzen duela tt jotzen duenean.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

  • Malda inklinatuaren θ angelua, gradutan,  desplazamendu barrari saguaz eragiten.
  • Erreboteen itzultze-koefizientea, e, desplazamendu barrari saguaz eragiten.
  • Pilota askatzen den altuera, h0, laukian idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Pilotaren erreboteak ikusten dira plano inklinatuaren gainean.

Leihatilaren goiko aldean honako datuak erakusten dira idatziz: pilotaren posizioaren eta abiaduraren x eta y osagaiak, denboraren menpe, X ardatza plano inklinatuaren norabidean hartuta eta Y ardatza plano inklinatuarekiko perpendikular.

Gelditu eta pausoka botoiak erabil daitezke justu erreboteak zehaztasunez behatzeko, alegia, ti aldiuneak, xi posizioak eta vi abiadurak aurkitzeko.

RestitucionApplet1aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Erreferentziak

Bernstein A. D. Listening to the coefficient of restitution. Am. J. Phys. 45 (1) January 1977, pp. 41-44

Physics challenges for teachers and students. Solutions to October 2004. The Physics Teacher, 42 (2004) pp. S2