Dinamika

Talkak

Tanke higikor batek
tiro egiten du

Erorketa askea eta
ondorengo erreboteak

Pendulu biren 
arteko talkak

Aurrez-aurreko talkak
(dimentsio bakarrean)

Aurrez-aurreko
talka elastiko bi

Etengabeko talka
elastikoak 
karril batean

Aurrez-aurreko
talka bertikalak

Iraupen luzeko 
talka inelastikoa

Pendulu balistikoa

Momentu lineala
kontserbatzen ez den
pendulu balistikoa

Talka inelastikoa
malguki baten
gainean

Bala baten
abiadura neurtzea 

Bi dimentsiotako
talkak

Penduluen segida

Erreboteak plano horizontalean

Progresio geometrikoa

Erreboteak malda inklinatuan

Erreferentziak

Orri honetan aurkezten den adibidean, lehen bi edo hiru erreboteak aztertuta, ikasleari erreboteen adierazpen orokorra lortzeko aukera ematen zaio. Ariketa gisa progresio geometriko bat lortzen da, Matematikako lehen mailako ohizko ikasgaia.

Erreboteak plano horizontalean

Pilota batek errebotea egiten duenean horma baten kontra, abiaduraren osagai perpendikularra gutxitu egiten da, eta demagun osagai paraleloa ez dela aldatzen. vx=ux vy= -e·uy

Ondorengo erreboteen altuerak

Demagun pilota bat erortzen uzten dela, hasieran h altueratik. Kalkula ditzagun ondorengo erreboteen altuerak:

1.-Lehen errebotea

Pilota erortzean bere energia kontserbatzen denez, pilotaren abiadura kalkula daiteke justu zoruaren kontra talka egitera doan unean:

Talkan ordea ez da energia kontserbatzen, eta pilotaren abiadura justu talkaren ondoren hau da (modulua): v₁=e·u₁

Orduan pilota gorantz abiatzen da, v₁ abiaduraz eta atzematen duen altuera maximoari dei diezaiogun h₁ . Berriz ere, energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz:

2.-Bigarren errebotea

Berriz ere erorketan, energia kontserbatzen denez, kalkulatzen da pilotaren abiadura justu zoruaren kontra talka egin aurretik:

Orduan pilotaren abiadura justu talkaren ondoren: v₂=e·u₂

Gero pilota gorantz abiatzen da, v₂ abiaduraz eta atzematen duen altuera maximoari dei diezaiogun h₂. Berriz ere, energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz:

3.-n-garren errebotea

Aurreko ekuazioen itxurak aztertuta, hona hemen n-garren errebotearen ondoren, pilotak atzematen duen altuera maximoa:

h_n=e²ⁿ·h

Pilotak galdutako energia

1. Lehen talkan pilotak honako energia galtzen du:

2. Bigarrenean honako energia galtzen du:

3. Eta n-garren talkan orduan:

Pilotak galdutako energia osoa, n erreboteren ondoren, energia-galeren batura da, ΔE₁+ ΔE₂+ ΔE₃+…. ΔE_n . Bere hasierako energia osoa mgh da eta osorik galduko du infinitu errebote burutu ondoren. Egiazta dezagun hori progresio geometrikoaren terminoen batura kalkulatzen. Progresioaren arrazoia e² da eta lehen terminoa ΔE₁.

Pilota gelditu arte iragandako denbora.

1. Pilota h altueratik askatzen bada, eta pausagunetik abiatuta, hona hemen lurrera iristeko iragaten den denbora:

2. Pilotak errebotea egin, eta berriz ere h₁ altueraraino igotzen da. Gero berriro erortzen da lurrera. Igo eta jaisteko denbora hau da:

3. Pilotak berriro errebotea eta berriro gora, h₂ altueraraino. Gero berriro lurrera. Horretarako iragandako denbora:

Infinitu errebote burutu arte iragaten den denbora totala kalkulatzeko gehitu behar dira, t₀ eta progresio geometrikoaren infinitu terminoak. Progresioaren arrazoia e da eta lehen terminoa 2t₀e.

Pilota pausagunetik abiatu beharrean, hasieran v_x abiadura horizontala badu, orduan infinitu erreboteen ondoren horizontalki desplazatuko da, honako distantzia:

x=v_x·t_∞

Itzultze koefizientea (e) eta grabitatearen azelerazioa (g) neurtzea:

Errebote biren artean pilotak airean pasatzen duen denbora hau da (t_n):

Ekuazio horretan logaritmoak hartuta:

ln t_n=n·lne+ln(2t₀)

Eta (ln tn) grafikoki adierazten bada n-ren menpe zuzen bat lortzen da. Zuzen horren malda e da, izan ere itzultze koefizientea, eta ardatz bertikala mozten du ln(2t0) puntuan.

Zuzenak ardatz bertikala non mozten duen neurtzen badugu  2t₀  lortzen dugu.

Eta hasierako h altuera ezaguna bada, hortik grabitatearen g azelerazioa kalkula daiteke.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke

• Talkaren itzultze koefizientea, e, desplazamendu barrari saguaz eragiten.
• Hasierako altuera finkotzat hartu du programa interaktiboak: h=3 m

Hasi botoia sakatu.

Adibidea:

Idatz dezagun itzultze koefizientetzat e=0.90.

1. Kalkula bedi esaterako, pilotak atzematen duen altuera maximoa hirugarren errebotearen ondoren.

h₃=e^2·3h        h₃=1.59 m

2. Eta altuera horretara iristeko iragandako denbora:

t=t₀+t₁+t₂+t₃/2= t₀+2t₀e+2t₀e²+t₀e³=t₀(1+2e+2e²+e³)=4.03 s.

Hemen t₀=0.78 s lehen erorketaren iraupena da, alegia 3 metroko altueratik askatzen den unetik lurrera iristen den arte.

3. Partikularen energia hirugarren errebotearen ondoren:

Energia galerak, ΔE , lehen, bigarren eta hirugarren erreboteen ondoren:

ΔE=(e²-1)mgh+e²(e²-1)mgh+e⁴(e²-1)mgh=mgh (e²-1)(1+e²+e⁴)= -13.78·m J

Beraz, amaierako energia E_f=mgh+ΔE=15.62·m J

Leihatilaren ezkerreko aldean, barra-diagrama batez, pilotaren energia erakusten da. Talka kontsekutibo biren artean energia kontserbatu egiten da baina energia zinetikoa (urdina) eta energia potentziala (gorria) elkar aldatzen dira pilota gorantz edo beherantz bidaiatzen ari denean. Pilotaren hasierako energia totala lauki beltz batez adierazten da, eta talka bakoitzaren ondoren duen energia marra beltz batez, horrela talka bakoitzean galdutako energia agerian geratzen da.

Progresio geometrikoa

Progresio bat geometrikoa da, segida batean n-garren terminoa lortzen bada n-1 terminoa r kantitate konstante batez bidertuta, eta orduan r progresio geometrikoaren arrazoia da:

a₀=a
a₁=a·r
a₂=a·r²
a₃=a·r³
………..
aⁿ=a·rⁿ

Progresio geometriko baten n lehen terminoen batura

S_n=a₀+a₀·r+ a₀·r²+…+a₀·rⁿ
S_n+1=a₀+a₀·r+ a₀·r²+… +a₀·rⁿ+a₀·rⁿ⁺¹

Biderka dezagun lehen ekuazioa r bider eta gero egin dezagun kenketa terminoz termino, bigarren ekuazioa ken lehena:

S_n+1-r·S_n = a₀

Baina  S_n+1=S_n+a₀·rⁿ⁺¹, orduan S_n bakan daiteke, alegia progresio geometrikoaren lehen n terminoen batura:

Baldin r bat baino txikiagoa bada, orduan progresio geometrikoaren infinitu terminoen batura hau da:

Erreboteak malda inklinatuan

Honako honetan pilota bat erortzen uzten da, bertikalki h₀ altueratik, plano inklinatu baten gainean. Planoaren malda θ da.

Pilotaren mugimenduaren atalak aztertuko ditugu:

Har dezagun erreferentzia sistema honela: X ardatza plano inklinatuaren norabidean eta Y ardatza planoarekiko perpendikularra.

Lehen atala: erorketa

Pilota erortzen uzten da, bertikalki eta h₀ altueratik, pausagunetik abiatuta. Hona hemen pilotaren hasierako posizioa:

x₀= -h₀·sinθ,
y₀= h₀·cosθ

Hona hemen azelerazioaren osagaiak:

a_x=g·sinθ
a_y= -g·cosθ

Pilota zuzen mugitzen da eta bertikalaren norabidean, beraz, ardatz bietan higidura zuzen eta uniformeki azeleratua du. Abiaduraren osagaiak denboraren menpe hauek dira:

v_x= g·sinθ·t
v_y= -g·cosθ·t

Eta pilotaren posizioa:

Bere ibilbidea honako zuzena da:  y= -x/tanθ

Eta pilota jatorrira iristen da (x=0, y=0) honako aldiunean:

Jatorriraino iristean honako abiadura du:

v_x= g·sinθ·t₀
v_y= -g·cosθ·t₀

Bigarren atala

Pilotak errebotea burutzen du: Abiaduraren X osagaia ez da aldatzen: v0x=vx Abiaduraren Y osagaiak noranzkoa aldatzen du eta bere modulua gutxitzen da:  v0y= -e·vy

Pilota jatorritik abiatzen da (x₀=0, y₀=0 posiziotik) t₀ aldiunean, eta hasierako abiadura:

v_0x= g·sinθ·t₀
v_0y= e·g·cosθ·t₀

Abiaduraren osagaiak denboraren menpe adieraz daitezke:

v_x=v_0x+ g·sinθ·(t-t₀)
v_y=v_0y-g·cosθ·(t-t₀)

Eta pilotaren posizioa:

Pilotak planoa jotzen du y=0 denean, dei diezaiogun aldiune horri t₁:

Eta pilotak planoa jotzen du x₁ posizioan:

Abiaduraren osagaiak une horretan:

v_x=g·t₀·(1+2e)·sinθ
v_y=-e·g·t₀·cosθ

Hirugarren atala

Pilotak errebotea burutzen du, bigarrena:

• Abiaduraren X osagaia ez da aldatzen, v_1x=v_x

• Abiaduraren Y osagaiak noranzkoa aldatzen du, eta modulua: v_1y= -e·v_y

Pilota, errebotearen ondoren abiatzen da honako posiziotik: x₁, y₁=0 , eta honako abiadura du t₁ aldiune horretan:

v_1x= g·t₀·(1+2e)·sinθ
v_1y=e²·g·t₀·cosθ

Abiaduraren osagaiak denboraren menpe adieraz daitezke:

v_x=v_1x+ g·sinθ·(t-t₁)
v_y=v_1y-g·cosθ·(t-t₁)

Hona hemen pilotaren posizioa:

Ondoren, pilota planora iristen da y=0 denean, dei diezaiogun aldiune horri t₂.

Eta planoa jotzen du x₂ posizioan:

Abiaduraren osagaiak une horretan:

v_x=g·t₀·(1+2e+2e²)·sinθ
v_y=-e²·g·t₀·cosθ

Laugarren etapa

Pilotak errebotea burutzen du, hirugarrena:

• Abiaduraren X osagaia ez da aldatzen: v_2x=v_x

• Abiaduraren Y osagaiak noranzkoa aldatzen du eta modulua, v_2y= -e·v_y

Pilota abiatzen da x₂, y₂=0, posiziotik, t₂ aldiunean honako abiaduraz

v_2x= g·t₀·(1+2e+2e²)·sinθ
v_2y=e³·g·t₀·cosθ

Abiaduraren osagaiak denboraren menpe honakoak dira:

v_x=v_2x+ g·sinθ·(t-t₂)
v_y=v_2y-g·cosθ·(t-t₂)

Eta pilotaren posizioa

Pilotak hurren aldiz planoa jotzen du y=0 denean, dei diezaiogun aldiune horri t₃.

Eta planoa jotzen du x₃ posizioan:

Abiaduraren osagaiak une horretan:

v_x=g·t₀·(1+2e+2e²+2e³)·sinθ
v_y=-e³·g·t₀·cosθ

Bosgarren atala

Pilotak errebotea burutzen du, laugarrena:

• Abiaduraren X osagaia ez da aldatzen: v_3x=v_x

• Abiaduraren Y osagaiak noranzkoa aldatzen du eta modulua, v_3y= -e·v_y

Pilota abiatzen da x₃, y₃=0, posiziotik, t₃ aldiunean, honako abiaduraz:

v_3x= g·t₀·(1+2e+2e²+2e³)·sinθ
v_3y=e⁴·g·t₀·cosθ

Pilotaren abiaduraren osagaiak denboraren menpe idatz daitezke:

v_x=v_3x+ g·sinθ·(t-t₃)
v_y=v_3y-g·cosθ·(t-t₃)

Eta pilotaren posizioa:

Pilotak hurren aldiz planoa jotzen du y=0 denean, dei diezaiogun aldiune horri t₄.

Eta planoa jotzen du x₄ posizioan:

Abiaduraren osagaiak une horretan:

v_x=g·t₀·(1+2e+2e²+2e³+2e⁴)·sinθ
v_y=-e⁴·g·t₀·cosθ

n-garren atala

n-garren atala amaitzerakoan pilotaren posizioa hau da:

Eta aldiunea:

Abiaduraren osagaiak aldiune horretan:

Errebote asko burutu ondoren (n→∞)

Honako erlazioa ordezkatuz

alegia, progresio geometriko baten infinitu terminoen batura (lehen terminoa a₀=1 bada eta arrazoia e<1) hau da:

Eta balio hori (t_∞) lehen lortutako bera da, alegia erreboteak plano horizontalean.

Abiaduraren osagaiak honako balioetara jotzen dute:

Eta honako erlazioa kontutan izanda:

Erlazio horren demostrazioa ez da ebidentea, eta horregatik alboko koadroan erakusten da Java lengoaian idatzitako programa bat, serie horren zenbakizko balioa lortzeko, alegia  e<1 eta n handia denean, baina finitua.

Errebote kontsekutiboen posizioak limite bat du malda inklinatuan: x_∞

public class Serie {
	static double e=0.8;
public static void main(String[] args) {
	int n=200;
	double suma=0.0;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		suma+=i*(potencia(e, i)+potencia(e, (2*n+1-i)));
	}
	System.out.println(suma);
}
static double potencia(double x, int i){
	double pot=1.0;
	for(int j=1; j<=i; j++){
		pot*=x;
	}
	return pot;
}
}

Ondorengo grafikoak erakusten du pilotaren abiaduraren Y osagaia, atal bakoitzaren amaieran (justu errebote bakoitzaren aurretik). Ikus daiteke v_y zerorantz jotzen duela t→t_∞ jotzen duenean.

Ondorengo grafikoak erakusten du pilotaren abiaduraren X osagaia, atal bakoitzaren amaieran (justu errebote bakoitzaren aurretik). Ikus daiteke v_x balio finitu batera jotzen duela t→t_∞ jotzen duenean.

Ondorengo grafikoak erakusten du pilotaren posizioaren x_i osagaia, atal bakoitzaren amaieran (justu errebotearen posizioa). Ikus daiteke x ez dela mugagabe hazten, baizik eta balio finitu baterantz jotzen duela t→t_∞ jotzen duenean.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Malda inklinatuaren θ angelua, gradutan,  desplazamendu barrari saguaz eragiten.
• Erreboteen itzultze-koefizientea, e, desplazamendu barrari saguaz eragiten.
• Pilota askatzen den altuera, h₀, laukian idatziz.

Hasi botoia sakatu.

Pilotaren erreboteak ikusten dira plano inklinatuaren gainean.

Leihatilaren goiko aldean honako datuak erakusten dira idatziz: pilotaren posizioaren eta abiaduraren x eta y osagaiak, denboraren menpe, X ardatza plano inklinatuaren norabidean hartuta eta Y ardatza plano inklinatuarekiko perpendikular.

Gelditu eta pausoka botoiak erabil daitezke justu erreboteak zehaztasunez behatzeko, alegia, t_i aldiuneak, x_i posizioak eta v_i abiadurak aurkitzeko.