Kepler-en legeak

Grabitazioaren
legearen aurkikuntza 

Indar zentrala eta
kontserbakorra

Ibilbidearen ekuazioa

Ekuazioen soluzio
numerikoa

Ibilbide hiperbolikoak

Transferentziazko orbita

Martitzera joan eta etorri

Ibilbide espirala

Ontzi espazial bat
Jupiterrera bidaltzea

Energia bereko orbitak

Jaurtigai baten ibilbidea (I)

Jaurtigai baten ibilbidea (II)

Higidura erlatiboa

Orbitan dagoen satelitea
Lurrerantz erortzen

Planeten eraztunak

Indar zentral bat
eta perturbazio bat

Euler-en problema

Bidaia bat ilargira

Gorputzen arteko erakarpen-indarra

Gorputz biren arteko erakarpen-indarrak bien zentroak lotzen dituen norabidea du, eta bien masak M eta m badira, hona hemen indarraren moduluaren adierazpena:

G, grabitazio unibertsalaren konstantea da G=6.67·10^-11 Nm²/kg², eta r gorputzen zentroen arteko distantzia.

Grabitatearen azelerazioa Eremu grabitatorioaren intentsitatea, g, edota grabitatearen azelerazioa deritzo, P puntu batean kokatuta, planetaren zentrotik r distantziara, gorputz batek jasaten duen indarra masa unitateko.

Indar zentrala

Eguzkia eta planeta baten arteko erakarpen indarra, zentrala da eta kontserbakorra. Nukleo atomiko baten eta alfa-partikula baten arteko aldarapen-indarra ere zentrala eta kontserbakorra da. Atal honetan lehena aztertuko dugu, eta bigarrena dispertsioaren fenomenoa aztertzen dugunerako utziko dugu, oso garrantzitsua izan baitzen atomoen egitura deskubritu zenean.

Indar bat zentrala da, F, posizio bektorearekiko, r-rekiko, paraleloa denean. Orduan indar horren momentua erakarpen zentroarekiko M=r´F=0, nulua da. Eta partikula bati eragiten dion indar totalaren momentua nulua bada, orduan partikularen momentu angeluarra konstantea da (momentu angeluarraren teorema):

Momentu angeluarra (bektore) konstantea da, bai modulua, bai norabidea eta baita noranzkoa ere.

Partikula baten momentu angeluarra, L , posizio-bektorearen eta momentu linealaren biderkadura bektoriala da, L=r´mv, eta bere norabidea bi bektoreen artean osatzen duten planoarekiko perpendikularra da.

Eta L bektorearen norabidea konstantea denez, orduan r eta v norabide konstante horrekiko plano perpendikular batean egongo dira biak. Beraz, partikularen ibilbidea L-rekiko perpendikularra den planoan egon behar da.

r eta v bektoreak biak elkarren paraleloak badira, orduan L=0, eta higiduraren norabidea jatorritik pasatzen da. Partikularen higidura zuzena izango da baina azelerazioa ez da konstantea.

 Indar kontserbakorra

Demagun partikula bat, m masaduna, irudiko A posiziotik B posizioraino mugitzen dela, M masadun gorputz finko baten inguruetan.

Kalkula dezagun M gorputzak m partikulari eragiten dion F grabitate-indarrak egiten duen lana:

Lan infinitesimala, definizioz, F indarraren eta dl desplazamendu-bektorearen arteko biderketa eskalarra da, eta desplazamendu bektorea ibilbidearekiko tangentea da.

 dW=F·dl= F·dl·cos(180-θ)= -F·dl·cosθ= -F·dr.

hemen, dr partikularen desplazamendu infinitesimala da, baina norabide erradialean.

Lan totala kalkulatzeko lan infinitesimalak integratu behar dira, hasierako A posiziotik amaierako B posizioraino, eta bi puntu horien distantziak erakarpen-zentroraino r_A eta r_B dira hurrenez hurren.

Ikus daiteke W, lana, hasierako eta amaierako posizioen menpekoa dela, baina ez dela partikulak deskribatutako ibilbidearen menpekoa. Beraz, gorputz finkoak partikulari egiten dion F indarra kontserbakorra da. Hona hemen indar horren energia potentzialaren adierazpena:

Energia potentzialaren "zero" maila, komeni den tokian aukeratu da, alegia distantzia infinituan: r=∞, E_p=0

Erakarpen-indar hori kontserbakorra izateak esan nahi du, partikularen energia totala (zinetikoa gehi potentziala) konstantea dela ibilbideko edozein tokitan.

Erorketa askea altuera handietatik

Kasu sinpleena da, partikularen momentu angeluarra nulua denean, L=0, ibilbidea zuzena delako eta orduan nahikoa da energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatzea.

Zinematikaren kapituluan gorputzen erorketa aztertzen da, baina erorketaren altuera txikia da Lurraren erradioarekin konparatuta: h<<R .  Han, partikularen v abiadura eta erorketaren t iraupena kalkulatzen dira honelako ekuazioekin:

h=gt²/2
v=gt

Eta g grabitatearen azelerazioa da, baina konstantetzat hartzen da.

Hemen aztertuko dugu, partikulak gainazalera iritsi arte duen mugimendua, baina oso altuera handietatik abiatuta r>>R:

Erakarpen indarra bera, lurraren zentrorainoko r distantziaren menpekoa denez, partikularen azelerazioa ez da konstantea izango, aldakorra baizik. Hala ere, energiaren kontserbazioa aplikatuz, partikularen abiadura kalkula daiteke lurraren gainazalera iristen den aldiunean.

Lurraren gainazalera iristeko behar duen denbora kalkulatzea konplikatuagoa da. Idatz dezagun abiadura: v= -dr/dt, izan ere, zeinu negatiboarekin, r gutxituz doalako denboran zehar, eta abiadura handituz:

Integral hori ebazteko, lehenik aldagai adimentsional baten menpe berridatzi da: r=x·r₀. Eta aldagaia honela aldatuz:

Zatika integra daiteke:

Integrakizunaren goi eta behe mugak berridatzi behar dira:

Hortaz, partikulak lurraren gainazaleraino iristeko behar duen t denbora hau da:

1 adibidea:

Gorputz bat erortzen uzten da h=20000 km-ko altueratik. Kalkula bitez zein abiaduraz iritsiko den lurraren gainazaleraino eta erorketaren iraupena. Hona hemen datuak:

• Lurraren erradioa: R=6.37·10⁶ m

• Lurraren Masa: M=5.98·10²⁴ kg

• Konstantea: G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz, partikularen abiadura kalkulatzen da lurraren gainazalera iristen denean, eta emaitza: v=9746 m/s.

Eta erorketaren iraupena:  r₀=R+h=26.37·10⁶ m, x=R/r₀=0.24  beraz, iraupena: t=7120 s

Demagun partikula altuera txikiagotik erortzen uzten dela: h=20 km, eta konpara ditzagun emaitzak azelerazio konstantedun higiduraz eta altuera handiko erorketaren dinamikaz. Lehenik, azelerazio konstantedun higiduraz:

h=gt²/2

hemen g=9.83 m/s² grabitatearen azelerazioa da Lurraren gainazalean, eta konstantetzat hartzen da lehen kasuan. Hortaz:

t=63.8 s, eta abiadura v=627 m/s.

Bigarrenik, altuera handiko erorketaren dinamikaz:

r₀=R+h=6.39·10⁶ m, x=R/r₀=0.997  beraz, iraupena: t=64.0 s

Energiaren kontserbazioaren printzipioak honako emaitza ematen du: v=626 m/s.

Altuera txikien kasuan emaitzak ez dira hain ezberdinak.

2 adibidea:

Lurra eguzkiaren inguruan biraka ari da, eta bere orbita gutxi gora behera zirkularra da. Demagun bat batean Lurra gelditu egiten dela: beraz, Eguzkirantz erortzen hasiko da norabide erradialetik. Kalkula bedi zenbat denbora tardatuko duen Lurrak eguzkiaren gainazaleraino iritsi arte: datuak.

• Eguzkiaren masa: M=1.98·10³⁰ kg

• Eguzkiaren erradioa: R=6.96·10⁸ m

• Lurraren orbitaren erradioa: r₀=149.6·10⁹ m

• Grabitazioaren konstantea G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Hemen x=R/r₀=0.00465, beraz iraupena,  t=5.59·10⁶ s=64.7 egun.

Energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz, Lurraren abiadura lortzen da, Eguzkiaren gainazaleraino iristen den aldiunean: v=614601 m/s

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Eroriko den partikularen hasierako altuera kilometrotan, Lurraren gainazaletik neurtuta.

Hasi botoia sakatu.

Partikularen erorketa behatzen da, eta programa interaktiboak uneoro honako datuak idatziz erakusten ditu:

• Partikularen altuera kilometrotan Lurraren gainazalarekiko.
• Partikularen abiadura, m/s-tan