Dinamika

Lana eta energia

Lana eta energia

Pendulu sinplea

Malguki elastikoa (I)

Malguki elastikoa (II)

Malguki elastikoa (III)

Partikula bat, goma 
baten muturrean

Lana eta energia
(pista kiribila)

Pendulu konikoa

Oreka eta
egonkortasuna (I)

Oreka eta
egonkortasuna (II)

Oreka eta
egonkortasuna (III)

Oreka eta
egonkortasuna (IV)

Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)

Esferaerdi baten
gainetik irristatzen

Esferaerdi baten
barrutik irristatzen

Eskiatzaile bi lehian

Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)

Parabola baten
gainetik irristatzen

Marruskadurarekin

Energiaren balantzea

Higiduraren ekuazio diferentziala

Saiakuntza

Marruskaduraren koefiziente zinetikoa neurtzen

Erreferentzia

Integral eliptikoa

Orri honetan partikula baten higidura aztertuko da esferaerdi baten barrutik irristatzen. Adibide honekin laborategiko praktika bat plantea daiteke marruskadura zinetikoaren koefizientea neurtzeko.

Marruskadurarik gabe

Esferaerdiaren erradioa R da. Partikula bat esferaerdiaren barruan pausagunean askatzen bada, beherantz abiatuko da, abiadura handituz, energia potentziala energia zinetiko bilakatzen doan heinean.

Hasieran, pausagunean, bere posizio angeluarra  –θ₀ da, eta energiaren kontserbazioaren printzipioa aplikatuz bere abiadura kalkula daiteke, θ posizioan dagoenean:

baina v=Rdθ/dt  da, eta ordezkatuz lehen ordenako ekuazio diferentziala lortzen da:

Antzeko adierazpena lortu zen bestelako kasu bi hauetan: hagaxka inklinatu batek erortzen tardatzen duen denbora, eta pendulu konposatuaren periodoa edozein anplituderekin.

Angelu bikoitzaren kosinuaren formula ordezkatuz: cos2A=cos²A-sin²A, eta sin²A+cos²A=1 erlazioa, honela berridazten da:

Hemen ordezkapen bi egin daitezke:

Eta lortzen da:

Beraz partikulak tardatzen duen denbora osoa kalkulatzeko, θ=0 posiziotik, (φ=0) θ₀ posizioraino (φ=π/2) honako lehen motako integral eliptiko osoa da:

Eta partikula –θ₀ posiziotik eta pausagunetik abiatzen bada, +θ₀ posiziora tardatzen duen denbora horren bikoitza izango da,  2·t , eta oszilazio oso baten periodoa P=4·t.

Ondoren datorren programa interaktiboari partikularen hasierako posizioa emanda, θ₀ alegia, integral eliptiko osoa kalkulatzen du. Kalkulua burutzen da, Carlson-en lehen motako integral eliptiko osoa kalkulatzeko metodoaz. Orri honen amaieran Java hizkuntzan idatzita kode osoa erakusten da.

Lehen motako integral eliptiko osoa kalkulatzeko programa

Adibidez:

Hasierako posizioa θ₀=60º bada, integral eliptikoak balio du: 1.6858. Beraz, partikulak gainazal esferikoan behera irristatzen eta marruskadurarik gabe tardatzen duen denbora -60º-tik +60º-raino (esferaren erradioa R=1 m):

Esaterako θ₀=15º bada, integral eliptikoak balio du: 1.5776. Beraz, partikulak gainazal esferikoan behera irristatzen eta marruskadurarik gabe tardatzen duen denbora -15º-tik +15º-raino (esferaren erradioa R=1 m):

Marruskadurarekin

Partikulak jasaten dituen indarrak hiru dira:

• Pisua, mg

• Gainazal esferikoaren erreakzioa, N

• Irristatzearen aurkako marruskadura indarra, F_r=μN

Higiduraren ekuazioa norabide erradialean:

Eta higiduraren ekuazioa norabide tangentzialean:

ma_t= -mg·sinθ-F_r

Baina F_r=μ·N, eta ordezka daiteke:

             (1)

Aldagaia ordezka dezagun: x=v²/(Rg), eta honako ekuazio diferentziala geratzen da:

Ekuazio diferentzial horren soluzioak, x(q), bi zati ditu:

Batetik, soluzio partikularra x₁=Asinθ+Bcosθ

Soluzio partikular hori ekuazio diferentzialean ordezkatuz, A eta B koefizienteen balioak lortzen dira:

Eta bestetik, ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa:

Ekuazioaren atal biak integratuz soluzio hau lortzen da:  lnx= -2μθ+kte, edota bestela idatzita: x₂=C·exp(-2μθ)

Soluzio osoa hau da x=x₁+x₂

Eta C konstantea hasierako baldintzetatik kalkulatzen da: θ=θ₀, v=0

  (2)

Egiazta daiteke soluzio horrek betetzen duela hasierako baldintza: θ=θ₀, v=0

Ondorengo grafikoak adierazten du ordezko x aldagaia (v²/Rg) angeluaren menpe (θ) eta zenbait marruskadura-koefiziente ezberdin hartuta: μ=0.0,  μ=0.25, μ=0.5 eta μ=0.75 (denetan hasierako posizioa θ₀= -60º).

Partikula pausagunetik abiatzen da eta, mugitu ondoren, berriz ere gelditzen da. Marruskadurarik gabe, amaierako posizio hori da, θ=60º posizioa, baina marruskadurarekin θ<60º.

Adibidea:

Demagun esferaren erradioa  R=1 m. dela, marruskadura koefizientea μ=0.25, eta  hasierako posizioa θ₀= -60º= -π/3. Kalkula bedi zein abiaduraz iristen den partikula beheko muturrera, alegia θ=0 posiziora.

Hasierako posizioa aldatzen bada, esaterako, partikula θ₀= -90º= -π/2 posiziotik abiatzen bada, beheko muturrera iristean, θ=0, honako abiadura du:

Ondorengo grafikoak erakusten du v²/Rg aldagaia θ angeluaren menpe, eta zenbait marruskadura-koefiziente ezberdin hartuta. Esaterako, μ=0.25 bada, orduan partikula beheko muturrera iristen denean, grafikoan ikusten da: v²/(Rg)=0.853.

Gelditzeko posizioak

Marruskadurarik ez dagoenean, partikula -θ₀ posiziotik abiatzen bada, bere abiadura maximoa lortzen du beheko muturretik pasatzean, eta berriz gelditzen da +θ₀ posizioan. Gelditzeak unetxo bat baino ez du irauten, eta ondoren berriz ere alderantzizko bidean abiatzen da. Bigarren aldiz gelditzen da  -θ₀ posizioan eta horrela segitzen du etengabe.

Marruskadura dagoenean ordea, -θ₀ posiziotik abiatzen bada, berriro gelditzen deneko θ₁ angelua beti da txikiagoa: θ₀>|θ₁|. Baina kasu bi gerta daitezke:

Pisuaren osagai tangentziala marruskadura baino handiagoa dela: (μs= μk= μ hartuko dugu) mgsin|θ1|≥μ·mgcosθ1,  edota,  tan|θ1|≥μ Orduan partikula, gelditu ondoren, berriro abiatuko da maldan behera, eta iritsiko den beste angelua: |θ2|<|θ1|

• Pisuaren osagai tangentziala marruskadura baino txikiagoa dela: tan|θ₁|<μ

Partikula guztiz gelditzen da.

Demagun partikulak jarraitu egiten duela, θ₁ posizioan lehen aldiz gelditu ondoren, eta θ₂ posizioan bigarren aldiz gelditzen dela. Berriro irristatzeko baldintza betetzen bada: tan|θ₂|≥μ , orduan partikulak jarraitu egingo du bestela guztiz geldituko da.

Partikula abiatzen bada -θ₀  posiziotik, kalkula bedi zein posiziotan gelditzen den lehen aldiz: θ₁. Horretarako (2) ekuazioan, v=0 baldintza ordezkatu, eta ondoko ekuazio transzendentearen soluzioa kalkulatu behar da:

Geldiune horren ondoren, irristatzearen baldintza betetzen bada (tan|θ₁|≥μ) partikulak ezkerrerantz mugitzen jarraituko du, eta ez bada betetzen guztiz geldituko da.

Demagun geldiunearen ondoren mugitzen jarraitzen duela: marruskadura-indarrak noranzkoa aldatzen du (ikusi goiko irudia), eta beraz ekuazio diferentzialean aldatu egin behar da: +μ -ren ordez –μ. Bigarren geldiunearen posizioa kalkulatzeko, θ₂:

Bigarren geldiune horren ondoren, irristatzearen baldintza betetzen bada (tan|θ₂|≥μ) partikulak eskumarantz mugitzen jarraituko du, eta ez bada betetzen guztiz geldituko da.

Demagun geldiunearen ondoren mugitzen jarraitzen duela: marruskadura-indarrak noranzkoa aldatzen du, eta beraz ekuazio diferentzialean aldatu egin behar da: -μ -ren ordez +μ. Hirugarren geldiunearen posizioa lortzeko, θ₃ , ondoko ekuazio transzendentearen soluzioa kalkulatu behar da:

Eta horrela behin eta berriz...

Adibidea: Demagun θ= -90º= -π/2, eta μ=0.2.

Lehen geldiuneko posizioa kalkulatzeko, θ₁ , v=0 ordezkatu eta ekuazio transzendentearen soluzioa kalkulatu behar da:

Hona hemen soluzioa: θ₁=44.54º,

Irristatzearen baldintza egiaztatu behar da:  tan|θ₁|≥0.2,  Betetzen denez, partikulak mugitzen jarraituko du, ezkerrerantz. Marruskadura indarrak noranzkoa aldatzen du eta bigarren geldiuneko posizioa, θ₂ , lehen bezala kalkulatzen da:

Hona hemen soluzioa: θ₂= -17.38º, 

Berriz ere irristatzearen baldintza betetzen da: tan|θ₂|≥0.2 . Beraz, partikulak eskumarantz mugitzen jarraituko du. Marruskadura indarrak noranzkoa aldatzen du. Hirugarren geldiuneko posizioa, θ₃ , lehen bezala kalkulatzen da:

Hona hemen soluzioa: θ₃= -5.40º,

Oraingoan ez da betetzen irristatzearen baldintza:  tan|θ₃|<0.2, eta beraz, partikula guztiz gelditzen da.

Energiaren balantzea

Marruskadura-indarrak egindako lana energia-galera da: alegia, amaierako energia ken hasierako energia. Lehen atalean, marruskadurarik gabeko irudiak, erakusten du:

Ekuazio horretan ordezkatzen bada (2) adierazpen marduleko v²-ren balioa, kalkula daiteke marruskadura indarrak egindako lana, partikularen θ posizioa edozein denean:

Bestela, marruskadura-indarraren lana zuzenki ere kalkula daiteke:

dW_r=F_r·dl= -F_r·dl·cos180º= -F_r·dl= -μN·R·dθ

Energiaren ekuazioan v² bakan daiteke eta hemen ordezkatu. Honako ekuazio diferentziala lortzen da:

Ekuazio diferentzial hori integra daiteke, abiaduraren ekuazioa integratu dugun antzera:

Eta esaterako, partikula posiziorik altuenetik abiatzen bada, θ= -π/2. Ekuazio diferentziala sinpleagoa geratzen da:

Froga dezagun soluzio partikular bat honelako formarekin:

W₁=Asinθ+Bcosθ.

A eta B koefizienteak lortzen dira, soluzio hori ekuazio diferentzialean bertan ordezkatuz:

Eta ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa:

Orduan soluzio osoa honakoa da: W_r=W₁+W₂

C konstantea hasierako baldintzetatik kalkulatzen da. Kasu honetan marruskadura indarraren lana hasierako posizioan nulua da: θ=-π/2, W_r =0. Beraz:

Adibidea: Demagun μ=0.25, eta partikularen hasierako posizioa θ₀=-π/2. Beheko muturrera iristean (θ=0) partikularen abiadura hau da: v²/(Rg)=0.853 lehenago kalkulatu dugun bezalaxe.

Kalkula dezagun orain marruskadura indarrak egindako lana (W_r) zeharkako prozeduraz:

Baina marruskadura indarrak egindako lana (W_r) zuzenki ere kalkula daiteke:

Higiduraren ekuazio diferentziala

• Eskumarantz mugitzen:

Ordezka dezagun (1) ekuazioan, v=R·dθ/dt, eta higiduraren ekuazio diferentziala lortzen da:

Ekuazio hori prozedura numerikoez ebazten da, eta hasierako baldintzak: t=0, θ= -θ₀, dθ/dt=0.

• Ezkerrerantz mugitzen:

Marruskadura indarraren noranzkoa aldatzen denez, aurreko ekuazio horretan zeinua aldatu behar da: +μ -ren ordez –μ.

Kasu berezia:

Marruskadurarik ez dagoenean:

θ angelua txikia bada, hurbilketa egin daiteke: sin θ≈ θ. Orduan Higidura Harmoniko Sinplearen ekuazioa da.

Eta periodoa:

Adibidea:

Partikula batek tardatzen duen denbora gainazal erdiesferikotik irristatzen, - θ₀ posiziotik +θ₀  posizioraino, marruskadurarik gabe eta angelua txikia denean P/2 da:

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Marruskadura koefizientea, μ, saguarekin desplazamendu-barrari eragiten, edo laukian idazten.

• Hasierako angelua, -θ₀  posizioa, saguarekin desplazamendu-barrari eragiten.

• Gainazal erdiesferikoaren erradioa finkotzat hartu da: R=1 m.

Hasi botoia sakatu.

Partikulak jasaten dituen hiru indarrak erakusten dira:

• Pisua, mg

• Marruskadura indarra, F_r, ibilbide zirkularrarekiko tangentea eta desplazamenduaren aurkakoa.

• Gainazalaren erreakzio normala, N, norabide normalean.

Applet-aren erdiko aldean, tarta-itxurako diagrama batean, energia mota ezberdinak adierazten dira:

• Urdinez energia potentziala

• Gorriz energia zinetikoa

• Beltzez marruskadura indarrak egindako lana.

Partikula ibilbide zirkularraren gainean gelditzen den posizioetan, v=0, programak marra gorri batez adierazten ditu.

Marruskaduraren koefiziente zinetikoa neurtzen

Marruskaduraren koefiziente zinetikoa neurtzeko ohiko esperimentuan bloke batek malda zuzen batean behera irristatzen du. Maldaren θ angelua aldatuz, blokea zein angelutan irristatzen hasten den behatzen da. Baldintza horietan marruskadura koefizientearen balioa hau da: μ=tanθ

Oraingoan, gainazala erdiesferikoa da, R erradioduna. Bere barruan partikula bat askatzen da, θ0 posizioan eta pausagunean, eta irristatzen hasten da. Zenbait alditan gelditu, mugimendua alderantzikatu eta azkenean guztiz gelditzen da, irudiak erakusten duen bezala, θ posizioan.

Marruskaduraren koefiziente zinetikoa kalkulatzeko, μ , (2) ekuazio transzendentea ebatzi behar da, v=0 baldintzarekin, esaterako prozedura numerikoez:

Ondoren dagoen programa interaktiboak horixe kalkulatzen du: hasierako θ₀  angelua eta amaierako θ angelua emanda, marruskaduraren μ koefiziente zinetikoa kalkulatzen du, erdiko puntuaren prozedura numerikoaz.

Aukeran idatz daiteke:

• Hasierako angelua (negatiboa) gradutan, saguarekin desplazamendu barrari eragiten.

• Amaierako angelua (positiboa zein negatiboa) gradutan, saguarekin desplazamendu barrari eragiten edo laukian idazten.

Kalkulatu botoia sakatu.

Programak marruskadura koefizientearen zenbakizko balioa ematen du. Emaitza negatiboa ematen badu, fisikoki ezinezkoa, esan nahi du hasierako angelua amaierakoa baino txikiagoa idatzi dela.

public class Integral_Eliptica {
	static final double ERRTOL=0.08;
	static final double TINY=1.5e-38;
	static final double BIG=3.0e37;
	static final double THIRD=(1.0/3.0);
	static final double C1=(1.0/24.0);
	static final double C2=0.1;
	static final double C3=(3.0/44.0);
	static final double C4=(1.0/14.0);

private static double rf(double x, double y, double z) {
	double alamb,ave,delx,dely,delz,e2,e3,sqrtx,sqrty,sqrtz,xt,yt,zt;
	if (Math.min(Math.min(x,y),z)<0.0 || Math.min(Math.min(x+y,x+z),y+z)<TINY 
		|| Math.max(Math.max(x,y),z)>BIG)
		System.out.println("invalid arguments in rf");
	xt=x;
	yt=y;
	zt=z;
	do {
		sqrtx=Math.sqrt(xt);
		sqrty=Math.sqrt(yt);
		sqrtz=Math.sqrt(zt);
		alamb=sqrtx*(sqrty+sqrtz)+sqrty*sqrtz;
		xt=0.25*(xt+alamb);
		yt=0.25*(yt+alamb);
		zt=0.25*(zt+alamb);
		ave=THIRD*(xt+yt+zt);
		delx=(ave-xt)/ave;
		dely=(ave-yt)/ave;
		delz=(ave-zt)/ave;
	} while (Math.max(Math.max(Math.abs(delx),Math.abs(dely)),Math.abs(delz))> ERRTOL);
	e2=delx*dely-delz*delz;
	e3=delx*dely*delz;
	return (1.0+(C1*e2-C2-C3*e3)*e2+C4*e3)/Math.sqrt(ave);
}

public static double primera(double phi, double ak) {
	double s=Math.sin(phi);
	return (s*rf((Math.cos(phi)*Math.cos(phi)),(1.0-s*ak)*(1.0+s*ak),1.0));
}
}

public class Aplicacion {
public static void main(String[] args) {
 	double angulo=30.0;
	double k=Math.sin(angulo*Math.PI/360);
	double res=Integral_Eliptica.primera(Math.PI/2, k);
	System.out.println("Integral "+res);

}
}