Oreka eta egonkortasuna sistema elektromekaniko batean (II)

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Dinamika

Lana eta energia
Lana eta energia
Pendulu sinplea
Malguki elastikoa (I)
Malguki elastikoa (II)
Malguki elastikoa (III)
Partikula bat, goma 
baten muturrean
Lana eta energia
(pista kiribila)
Pendulu konikoa
Oreka eta
egonkortasuna (I)
Oreka eta
egonkortasuna (II)
Oreka eta
egonkortasuna (III)
marca.gif (847 bytes)Oreka eta
egonkortasuna (IV)
Zikloide baten
gainetik irristatzen (I)
Esferaerdi baten
gainetik irristatzen
Esferaerdi baten
barrutik irristatzen
Eskiatzaile bi lehian
Zikloide baten
gainetik irristatzen (II)
Parabola baten
gainetik irristatzen
Oreka

Egonkortasuna

Angelu txikien hurbilketa

Histeresia

Erreferentzia

 

Partikula kargatu bi eskegita daude irudiak erakusten duen bezala. Biek dute karga bera baina aurkakoa, eta erakarri egiten dira. Harien artean xo distantzia dago eta euren luzera d da. Partikulen masak m dira eta kargak ± q.

Partikulen arteko x distantzia q kargaren araberakoa da: karga handitzean distantzia gutxitzen da, eta modu jarraian gutxitzen da, baina q kargak balio kritiko bat gainditzen badu, qc, sistemak aldaketa laster bat jasaten du eta oreka-egoera posible bakarra du, izan ere, x=0.

Oreka

Aurkako kargak erakarri egiten dira, eta orekan x distantziara gelditzen dira. Hariek bertikalarekin osatzen duten angelua θ da.

Partikulek jasaten dituzten indarrak hiru dira:

  • Hariak egiten dion tentsioa, .

  • Beste kargak egiten dion erakarpen elektrikoa, Fe=q·q/(4πε0·x2)

  • Pisua, mg

Orekan:

Ekuazio biak zatituz, hariaren T tentsioa eliminatzen da:

Baina θ angelua partikulen arteko x distantziaren menpekoa da (ikusi lehen irudia):

Angelua ordezkatuz, honako ekuazioa geratzen da, eta bertatik orekako x posizioa kalkula daiteke:

 

Egonkortasuna

Karga biek osatutako sistemaren energia potentzial osoa bi energia potentzialen batura da: alde batetik energia potentzial grabitatorioa (kargek altuera bat igotzen dute: d-d·cosθ), eta bestetik energia potentzial elektrostatikoa, baina hori negatiboa da, indarra erakarlea delako:

Oreka-posizioa egonkorra da energia potentziala minimoa bada posizio horretan, eta ezegonkorra maximoa bada.

Beraz, egonkortasuna erabakitzeko Ep(x) energia potentzialaren bigarren deribatuaren zeinua kalkulatu behar da posizio horretan: positiboa bada egonkorra izango da eta negatiboa bada ezegonkorra.

Angelu txikien hurbilketa

Esaterako d>>x0 denean, θ angelua oso txikia da eta kalkuluak asko sinplifikatzen dira honako hurbilketak eginda: tanθ≈sinθ≈θ

Orekako x posizioa kalkulatzen duen ekuazioa asko sinplifikatzen da, eta honela geratzen da:

Ekuazio hori ekuazio kubiko bat da, eta bere soluzioak kalkulatzeko:

Energia potentziala hurbilduta:

Partikulen q karga handitzen badoa, orduan maximoa eta minimoa hurbiltzen doaz eta azkenean (kargak qc balio kritiko bat atzematen duenean) elkar topo egiten dute. Kasu horretan puntu hori inflexio-puntua da, energia potentzialaren bigarren deribatua ere nulua delako.

Ekuazio horretatik x bakan daiteke eta ekuazio kubikoan ordezkatu, oreka-posizioak egonkorrak diren edo ez erabakitzeko:

Partikulen kargak balio kritiko hori gainditzen badu (q>qc) partikula biak erdian elkartzen dira: x=0.

Adibidea:

  • Partikulen masa: m=0.001 kg

  • Partikulen karga: q=13·10-9 C

  • Hariaren luzera: d=1.0 m

  • Harien goiko muturren arteko distantzia: x0=0.2 m

Ekuazio kubikoaren soluzioak kalkulatu behar dira:

x3-0.2x2+3.276·10-4 =0

Hona hemen bere soluzioak:

x1= -0.0362, x2=0.195, x3=0.0447 m

Lehenengo soluzioa ez da fisikoki posiblea, bigarrena energia potentzialaren minimo bat da (oreka posizio egonkorra) eta hirugarrena energia potentzialaren maximo bat da (oreka posizio ezegonkorra).

Karga kritikoa (qc) eta orekako separazioa (bigarren soluzioa) honakoak dira:

Partikula bien karga, kritikoa baino handiagoa bada (q>qc) biak elkartzen segituko dute, x=0 posizioraino iritsi arte.

Errealitatean partikulek tamaina dute eta ezin dira posizio berean egon.

 

Saiakuntza

Finkotzat hartu dira:

  • Partikulen masa, m=0.001 kg

  • Harien luzera, d=1.0 m

  • Harien goiko muturren arteko distantzia, x0=0.2 m

Aukeran idatz daiteke:

  • Partikulen q karga, desplazamendu-barrari eragiten, eta unitateak 10-9 C.

Kalkulatu botoia sakatu.

Partikula biak adierazten dira oreka posizio egonkorrean eskegita.

Applet-aren eskumako aldean energia potentziala grafikoki adierazten da partikulen arteko x separazioaren menpe. Maximoa eta minimoa ere erakusten dira, existitzen direnean.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                                   
 

Histeresia

Sistema bati kanpo-aldagai jakin batzuk aplikatzen bazaizkio, eta hala ere, sistemaren egoera posiblea ez bada bakarra, alegia zenbait egoera egonkor eta ezberdinetan egon badaiteke histeresi fenomenoa gertatzen dela esaten da. Baldintza horietan sistemaren iragana ere kontutan izan behar da, alegia egoera horretara nondik iritsi den.

Adibide tipiko bat da, material ferromagnetiko baten magnetizazio-erantzuna, kanpotik eremu magnetiko bat aplikatzen zaionean.

Orri honetan azaltzen den sistema fisikoa partikula kargatu bi dira, harietatik eskegita eta orekan, x separazioa dutelarik. Aldatzen den parametroa partikulen q karga da, eta zenbait kasutan kargaren balio kritikoa atzematen denean sistemaren portaerak aldaketa laster bat du. Bestalde, sistemaren portaera ez da berdina karga handiagotzen goazenean eta txikiagotzen goazenean.

Atal honetan egoera errealagoa aztertuko da, eta partikula biak ez dira puntu soilak, aldiz, tamaina finitua dute. Hala ere, r erradiodun esferak izango diren arren isolatzaileak izango dira eta karga osoa bere zentroan, puntu batean, kokatuta izango dute, horrela karga batak besteari eragindako polarizazioa saihesten da eta biak kontaktuan jartzen direnean deskargatzea eragozten da.

Beraz, karga puntualen eta r erradiodun esferen arteko diferentzia da, karga puntualen arteko distantzia minimoa zero dela, baina esfera zurrunen arteko separazio minimoa 2r.

Aurreko atalean ikusi denez:

  • Partikulen karga kritikoa gainditzen ez bada (0<q<qc bada) oreka-posizio bi daude, bata egonkorra eta bestea ezegonkorra.

  • q=qc denean, oreka-posizio biak elkartu egiten dira eta inflexio-puntua osatzen dute.

  • Karga kritikoa gainditzen denean (q>qc) ez dago oreka-posiziorik, x>0 eskualdean.

Ondoko grafikoak erakusten du Energia potentziala q-ren menpe eta x-ren menpe: Ep(q, x).

Azpiko grafikoak erakusten du, (kargen balioak ez badu karga kritikoa gainditzen, alegia oreka-posizio bi existitzen direnean)

  • Urdinez, oreka-posizio egonkorrak: x1

  • Gorriz, oreka-posizio ezegonkorrak: x2

Joan gaitezen esferen karga handitzen (q=0-tik abiatuta) eta azter dezagun nola aldatzen den euren arteko x separazioa. Sistemaren portaera honakoa da: ABCDEA. Alegia, aldaketa laster bi gertatzen zaizkio: BC eta DE. Orduan, ikusten denez, joaneko bidea, karga 0-tik qc-raino handitzen ari den bitartean (AB) eta itzultzeko bidea, karga qc-tik 0-raino gutxitzen ari den bitartean (BCDEA), ez dira bide berdinak. Ondoren azalduko dira ibilbide osoaren atal guztiak:

  • AB atala

Karga handitzen doanean separazioa gutxitzen doa: karga 0-tik abiatuta eta qc-raino eta separazioa x0-tik xc-raino. Hona adierazpenak:

Sistemaren portaera deskribatzen du kurbaren AB zati urdinak, alegia oreka egonkorreko posizioak. Energia potentzialaren grafikoa irudikatzen bada:

  • BC atala

Esferen q kargak balio kritikoa gainditzen duenean (qc), aldaketa lasterra gertatzen da (BC). Karga puntualak balira separazioa nulua izango litzateke, baina esfera zurrunak direnez euren separazioa x=2r da. Karga handitzen segitu arren separazioa konstante mantenduko da.

  • CD atala

Karga gutxitzen bada separazioa ez da aldatzen, zeren x=2r posizioak energia potentzial txikiagoa baitu oreka egonkorreko posizioak baino. Ondorengo grafikoak erakusten du:

Ondorengo irudiak erakusten duenez, posizio horren (x=2r=4.0) eta oreka-posizio egonkorraren artean (eskumako minimoa) maximo bat dago, eta horrek eragozten dio sistemari oreka posizio egonkorra atzematea.

Karga gutxitzen jarraitzen bada, azkenean sistema D posizioraino iristen da. Posizio horretan energia potentzialak maximo bat dauka justu sistemaren separazioa x=2r denean. Oreka posizioak kalkulatzeko erabiltzen den ekuazio kubikoan x=2r ordezkatu, ebatzi eta ql kalkula daiteke:

  • DE atala

Karga gutxitzen jarraitzen bada, q<ql , beste aldaketa lasterra gertatzen da: DE. Separazioa bat batean handitzen da oreka egonkorreko posizioraino: ql.

Ekuazio kubikoaren soluzioetako bat x=2r da, eta beste biak aurkitzea ez da zaila: dei diezaiegun a eta b

Ezezagun biko (a eta b) eta ekuazio biko sistema ebazten da:

b2-(x0-2r)b-2r(x0-2r)=0

Soluzio positiboari dei diezaiogun xl

  • EA atala

Sistema E puntura iristen den unetik aurrera, karga gutxitzen jarraitzen bada, A posiziorantz abiatzen da, kurba urdinaren gainetik, alegia oreka egonkorreko posizioetatik.

Adibidea:

  • Partikulen masa: m=0.001 kg

  • Partikulen karga: q=13·10-9 C

  • Harien luzera: d=1.0 m

  • Harien goiko muturren separazioa: x0=0.2 m

  • Esferen erradioa: r=2 cm =0.02 m

Lehen aldaketa lasterra B puntuan gertatzen da. Puntu horretako karga, qc karga kritikoa eta xc separazio kritikoa, aurreko atalean kalkulatu dira.

qc=25.4·10-9 C, xc=13.3 cm

Bigarren aldaketa lasterra D puntuan gertatzen da, eta E punturaino iristen da.

D puntuan separazioa hau da: 2r=0.04 m, eta esferen karga ql:

E puntua oreka egonkorreko posizioa da, ql karga berarekin, eta separazioa:

Saiakuntza

Programan finkotzat hartu dira:

  • Partikulen masa, m=0.001 kg

  • Harien luzera, d=1.0 m

  • Harien goiko muturren separazioa, x0=0.2 m

Aukeran idatz daiteke:

  • Esferen r erradioa (cm-tan), desplazamendu barrari saguaz eragiten.

  • Hasteko, esaterako, aktiba bedi Histeresia izeneko botoia.

Hasi botoia sakatu.

Ezkerrean, partikula biak eskegita irudikatzen dira adierazitako parametro guztiekin, eta eskuman oreka-posizioen kurba. Programak partikulen karga handitzen du etengabe, eta sistemaren portaera ikus daiteke. Gero partikulen karga gutxituz doa eta berriz ere itzuli egiten da. Aldaketa laster bi behatzen dira: bata, joanekoan, q=qc denean (B puntua), eta bestea itzulikoan x=2r denean (D puntua).

  • Kurba urdina, oreka egonkorreko separazioak dira, x, baina q<qc denean soilik gertatzen da.

  • Kurba gorria, oreka ezegonkorreko separazioak dira, x ere  bai, baina q<qc denean soilik.

Bestelako ikuspegi bat izateko aktiba bedi Potentziala botoia.

Oraingoan, azpiko aldean, esfera biak erakusten dira oreka-posizioko distantzian kokatuta, eta gaineko aldean energia potentzialaren kurba. Esferen karga handitu ahala separazioa gutxituz doala ikusten da eta energia potentzialaren kurba aldatuz. Sistemaren egoera beti da energia potentzial minimoari dagokiona, esfera biak ukitzen ari direnean ere bai: x=2r.

  • Partikulen q karga 10-9 C-eko unitateetan adierazten da.

  • Energia potentziala, Ep(x), 10-6 J-ko unitateetan.

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Erreferentzia

Partensky P. D., Partensky M. B..Hanging by a thread. The Physics Teacher, 44 February 2006, pp. 88-91