Uhinak

Uhinen hedapena

Hedapena nola
deskribatu 
matematikoki

Uhin harmonikoak

Soinuaren abiadura
neurtzen

Zeharkako uhinak
soka batean

Uhin geldikorrak (I)

Zeharkako uhinak
haga solido batean

Uhin geldikorrak (II)

Luzetarako uhinak
haga solido batean

Uhinen islapena
eta transmisioa

Errefrakzioaren 
Snell-en legea

Ispilatzeak
(espejismoak)

Argi-izpiaren ekuazioa

Irudi birtuala. Ispilatzea

Saiakuntza

Kosinu hiperbolikoaren funtzio alderantzizkoa (erreziprokoa)

Erreferentzia

Ispilatzeak (espejismoak edo miraguneak)  urrutiko objektuen azpian eta alderantziz ikusten diren irudi birtualak izaten dira. Horrelako irudiak sortzen dira, adibidez, eguzkiak berotutako errepide baten gainean, argi-izpiak kurbatu egiten direlako airearen errefrakzio-indizea handituz joaten delako altuerarekin.

Objektuaren posizioaren arabera, behatzaileak biak ikus ditzake (objektua eta irudia), edota irudia bakarrik.

Airearen errefrakzio-indizea aldatzen da altueraren menpe

Airearen errefrakzio-indizea aldatu egiten da bere dentsitatearekin eta airearen dentsitatea bere tenperaturarekin (presioa konstantetzat har daiteke altuera txiki baten barruan, alegia, altuera handiegia ez bada).

Tenperatura altua bada, gainazal bero baten ondoan, airearen dentsitatea txikiagoa da eta errefrakzio-indizea ere txikiagoa.

Errepidetik gora, altuerarekin, tenperatura gutxituz doa, hasieran nahiko bizkor, baina gero motelago eta, azkenean egonkortu egiten da (metro batean-edo). Airearen errefrakzio-indizea, beraz, handituz doa errepidetik urruntzen garen heinean, eta honelako funtzio matematikoa betetzen du:

Hemen, y altuera da, errepidearen gainetik neurtuta, eta n₀, n₁ eta α hiru konstante, errefrakzio-indizearen profila deskribatzeko.

Ondoko irudiak erakusten du funtzio hori honako datuekin: n₀=1.000233, n₁=0.4584, α=2.3003 m^-1, (ikus bedi erreferentzian aipatutako artikulua).

Argi-izpiaren ekuazioa

Argi-izpi batek errefrakzio-indize ezberdineko bi medioren arteko muga zeharkatzen duenean, okertu egiten da, alegia, norabidea aldatu egiten du, errefrakzioaren  Snell-en legearen arabera. n1·sinθ1=n2·sinθ2

hemen n₁ eta n₂ dira bi medioen errefrakzio-indizeak, θ₁ eraso-angelua eta θ₂ errefrakzio-angelua, biak norabide bertikalarekiko neurtuta (normalarekiko).

Argi-izpi batek errefrakzio-indize ezberdineko zenbait geruza zeharkatzen dituenean (n1, n2, n3….), honako erlazio guztiak betetzen dira: n1·sinθ1=n2·sinθ2 n2·sinθ2=n3·sinθ3 n3·sinθ3=n4·sinθ4 …… Angelu guztiak normalarekiko hartzen dira, alegia, bertikalarekiko.

Eta medioaren n errefrakzio-indizea y altuerarekin jarraiki aldatuz badoa, orduan

n(y)·sinθ = c

eta hemen c konstante bat da (ez nahasi argiaren abiadurarekin). Konstante hori kalkulatzeko, ezagunak izan behar dira, y₀ altuera ezagun batean, errefrakzio-indizea eta izpiak Y norabide bertikalarekin osatzen duen θ₀ angelua:

n(y₀)·sinθ₀ = c

Errefrakzio-indizea aldakorra bada, argi-izpiak kurba bat deskribatzen du. Kurba horrek (x, y) posizioan, honako malda du (dy/dx): Irudiak erakusten duenez, izpiarekiko tangentea den norabideak, (x, y) posizioan, norabide bertikalarekiko osatzen duen angelua θ da, beraz norabide horizontalarekiko, 90+θ , eta: tan(90+q) = -1/tanq

Berridatziz:

Ekuazio diferentzial hori integra daiteke, argi-izpiaren jatorria ezagutzen bada: P (0, y₀)

Defini ditzagun konstanteak:

Eta integratzeko, aldagaiak banandu:

Aldagai-aldaketa bat egin behar da:

Integrazioa burutu ondoren, aldagai-aldaketa desegin:

Azkenik, ekuazio hori (argi-izpiaren ekuazioa) honela berridatz daiteke, ezagutzen bada kosinu hiperbolikoaren funtzio alderantzizkoa (erreziprokoa):

Argi-izpia irudikatzeko, x-ri balioak ematen zaizkio eta y honela bakantzen da:

Ibilbidearen ezaugarriak

Argi-izpiaren ibilbideak minimo bat dauka. Minimo hori kalkula daiteke zuzen tangentearen malda nulua izan behar dela inposatuz: dy/dx=0

Minimoaren abszisa x_m honela kalkulatzen da:

Eta argi-izpiak jarraitzen duen ibilbidea simetrikoa da minimoarekiko.

Ibilbidearen ekuazioan y=y₀ ordezkatuz, x-rentzat bi soluzio lortzen dira: bata cosh^-1(…) positiboa denean eta bestea cosh^-1(…) negatiboa denean.

x=0,

Irudi birtuala. Ispilatzea

Behatzailea A posizioan baldin badago (ikus bedi irudia), argi-izpiak etorriko zaizkio, batetik, objektutik zuzenki datozenak eta, bestetik, gainazal berotik hurbil pasatu eta gero gorantz errefraktatu direnak (errefrakzio-indizearen aldaketagatik). Behatzaileak objektua bera ikusiko du (P), eta gainera objektu horren irudi birtual bat (P'). Irudi birtuala distortsionatuta ikusi ohi da, izpien luzapenak ez baitira denak puntu bakar batean biltzen.

Posiblea da behatzaileak irudi birtuala (ispilatzea) ezin ikustea, esaterako, objektutik hurbil samar baldin badago (C posizioan), baina objektua bera bai ikusi ahalko du.

Eta posible da, halaber, behatzaileak distantzia minimo bat gainditzen badu, ezin izango dituela ikusi ez irudi birtuala ezta objektua bera ere, esaterako, B posizioan.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Objektuaren Altuera, y₀ , desplazamendu-barrari saguaz eragiten (0-tik 300 cm-ra).

Berria botoia sakatu.

Tenperaturen gradientea adierazten da kolore gorriaren argitasunarekin: gorri bizia gainazaletik hurbil eta zuritzen doa gainazaletik urruntzean. Airearen dentsitatea eta errefrakzio-indizea handituz doaz altuerarekin, eta hori finko mantentzen da. Ondoren aukera bedi:

• Objektutik irteten den argi izpiak Y norabide bertikalarekin osatzen duen angelua, θ₀ , desplazamendu barrari saguaz eragiten (60º-tik 89º-ra).

Programak argi izpiaren ibilbidea irudikatzen du x=0-tik 20-m-ra.

Ondoren, izpiaren hasierako angelua alda daiteke eta Angelua>> botoia sakatu. Programak izpi berri bat irudikatuko du aurrekoaren ondoan. Behin eta berriz alda daiteke θ₀  eta ondoren Angelua>> botoia sakatu. Programak behin eta berriz irudikatuko ditu izpi guztiak, baina gehienez bost.

Bost izpi irudikatu ondoren, objektuaren y₀ altuera alda daiteke eta berria botoia sakatu behar da.

Objektuaren y₀ altuera bat emanda, erabiltzaileak arrazoitu dezala kualitatiboki zein posiziotan ikus dezakeen behatzaileak:

• Objektua bera eta irudi birtuala.

• Irudi birtuala soilik.

• Objektua soilik.

• Ez objektua ezta irudi birtuala (itzal eskualdea).

Kosinu hiperbolikoaren funtzio alderantzizkoa (erreziprokoa)

Baldin cosh(x)=c,  orduan  x=cosh^-1(c)

Hona hemen bigarren graduko ekuazio horren soluzioak:

"cosh" funtzio matematikoa simetrikoa da eta bere soluzioak, x1 eta x2, berdinak eta aurkakoak dira. Adibidez: baldin c=2, orduan x= ±1.37, baldin c=1, x=0