Uhinak

Uhinen hedapena

Hedapena nola
deskribatu 
matematikoki

Uhin harmonikoak

Soinuaren abiadura
neurtzen

Zeharkako uhinak
soka batean

Uhin geldikorrak (I)

Zeharkako uhinak
 haga solido batean

Uhin geldikorrak (II)

Luzetarako uhinak
haga solido batean

Uhinen islapena
eta transmisioa

Errefrakzioaren 
Snell-en legea

Ispilatzeak

Haga solido baten bibrazio-modu normalak, bi muturrak finko dituela

Haga solido baten bibrazio-modu normalak, mutur bat aske duela

Haga solido baten Young-en modulua nola neurtu

Erreferentziak

Ikusiko dugu oso antzekoak direla bi muturretatik eutsitako habe solido batek dituen bibrazio-moduak eta soka batenak, baina habearenak analitikoki aztertzea zailagoa da.

Hasteko, soka baten bibrazio-modu normalen maiztasunak berriro kalkulatuko ditugu, eta eredutzat hartuko ditugu gero habearen modu normalak kalkulatzeko.

Uhin geldikorrak soka batean

1. Uhinen ekuazio diferentziala hau da:

hemen ψ, sokaren puntu baten zeharkako desplazamendua da, x posizioan eta t aldiunean, eta v koefizientea uhinen hedatze-abiadura.

2. Har dezagun honako soluzio bat (uhin geldikorraren antzekoa):

ψ(x,t) = y(x) · sin(ωt)

Sokaren puntu guztiek ω maiztasun angeluarraz oszilatzen dute eta y(x) anplitudeaz.

Ekuazio diferentzialean ordezkatzen badugu, honela berridazten da:

Ekuazio diferentzial berri hori H.H.S-aren ekuazio diferentzialaren itxurakoa da, eta bere soluzioa honelakoa da:

y=Asin (kx)+Bcos(kx)  eta  k=ω/v  uhin zenbakia.

3. Hona hemen mugalde baldintzak:

Sokaren muturrak finkoak dira: x=0 eta x=L.

Lehen baldintzak ezartzen du B=0.

Eta bigarrenak:

sin(kL)=0  edota kL=nπ,  hemen  n=1, 2, 3,…

Horrek ematen dizkigu sokaren bibrazio-modu ezberdinen maiztasunak:

Sokaren x posizioan dagoen puntuaren oszilazioek honako anplitudea dute, n-garren bibrazio-moduan:

Funtzio horiek guztiek honako baldintza betetzen dute:

Integral horren emaitza azpian irudikatutako kurbak mugatzen duen azalera da:

Habe solido baten bibrazio-modu normalak, bi muturrak finko dituela

Habe solido baten bibrazio-modu normalak kalkulatzeko sokaren antzeko prozedura jarraituko dugu:

1. Habearen elementu baten higidura ekuazioa (ekuazio diferentziala) hau da:

Eta hemen ψ habearen puntu baten luzetarako desplazamendua da, x posizioan eta t aldiunean.

ρ habe solidoaren dentsitatea da.

Y  habearen materialaren Young-en modulua.

eta I  zeharkako sekzioaren inertzia-momentua ( I=ab³/12). Sekzio laukizuzena, a zabalera eta b altuera.

2. Azter dezagun honelako itxurako soluzioa:

ψ(x,t)= y(x) · sin(ωt)

Sokaren puntu guztiek ω maiztasun angeluarraz oszilatzen dute eta y(x) anplitudeaz.

Ekuazio diferentzialean ordezkatzen badugu, honela berridazten da:

Hona hemen ekuazio karakteristikoaren erroak:

Erro bi errealak ateratzen dira eta beste bi irudikariak.

r=q, r= -q, r=iq, r= -iq

Eta soluzio orokorra:

Edo bestela idatzita:

y=A₁sinh(qx)+A₂·cosh(qx)+A₃·sin(qx)+A₄·cos(qx)

y-ren deribatua x-rekiko, edo malda:

3. Mugalde baldintzak:

Habea finko dago ezker muturretik eutsita x=0, eta puntu horretan deribatua nulua da: dy/dx=0.

0=A₂+A₄
0=A₁+A₃

Habea finko dago eskuin muturretik eutsita x=L, eta puntu horretan ere deribatua nulua da: dy/dx=0.

0=A₁(sinh(qL)-sin(qL))+A₂(cosh(qL)-cos(qL))
0=A₁(cosh(qL)-cos (qL))+A₂(sinh(qL)+sin(qL))

Ekuazio horietatik eliminatzen badira A₁ eta A₂ ekuazio transzendente bat lortzen da qL aldagaiaren menpe.

(sinh(qL)-sen(qL))·(sinh(qL)+sin(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))²=0

Ekuazio horren erroak kalkulatzeko, r_n=q_n·L , prozedura numerikoak behar dira, esaterako, erdiko puntuaren prozedura. Hona hemen lehen bost soluzioak:

r_n= 4.73, 7.85, 11.00, 14.14, 17.27

Eta ezagunak badira q_n-ren balio posibleak, bibrazio-moduen maiztasunak kalkula daitezke: ω_n=2π f_n

Hemen f_n da n-garren bibrazio-moduaren maiztasuna, eta C_n da modu horri dagokion koefiziente bat. Hona hemen bere lehen bost soluzioak:

C₁= 3.56, C₂= 9.82, C₃= 19.2, C₄= 31.8, C₅= 47.5, etab.

C_n koefizientea habearen ezaugarrien independentea da eta bigarren terminoa, ordea, (erro karratuaren barrukoa) habearen materialaren eta neurrien araberakoa.

Habearen puntuen bibrazio-anplitudeak, y(x), n-garren bibrazio-moduan honela adierazten dira:

A proportzionaltasun-konstantea da, alegia, eskala bertikalarena. Bibrazio-modu guztiak eskala berean irudikatuta egoteko, honako baldintza bete behar dute:

Hurbilketak

Baldin qL handia bada, orduan exp(-qL)≈0 eta bere sinu eta kosinu hiperbolikoak hurbilduta idatz daitezke: exp(-qL)/2.

Hurbilketa horretan, lehenagoko ekuazio transzendentea

(sinh(qL)-sin(qL))·(sinh(qL)+sin(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))²=0

modu sinplean berridatz daiteke:

cos(qL)=1/exp(qL).

Baldin qL handia bada, orduan, ekuazio horretan, cos(qL)=0, eta soluzioak:

q_nL=π/2+nπ

Hona hemen lehen bost soluzioak: r_n=q_nL

r_n= 4.71, 7.85, 11.00, 14.14, 17.28.

Soluzio horiek eta lehen ekuazio transzendentea prozedura numerikoez ebatzita lortu ditugunak ia-ia berdinak dira.

Habearen puntuen bibrazio-anplitudeak, y(x), n-garren bibrazio-moduan, honelako adierazpen hurbilduak dituzte:

Eta lehengo integralaren emaitza hurbildua ere kalkula daiteke:

Integrakizuna lortzeko bi aldiz integratu behar da, zatika: exp(-q_nx)·sin(q_nx), eta gauza bera honako terminoarekin: exp(-q_nx)·cos (q_nx).

Integral horren balio hurbildua kalkulatzeko erabili da, batetik, cos(2q_nL)=0, eta bestetik arbuiatu egin dira honako terminoak: exp(-q_nL) eta exp(-2q_nL).

Adibidea:

Demagun altzairuzko habe bat. Dentsitatea: ρ=7.8 g/cm³, Young-en modulua: Y=20.6·10¹⁰ N/m²

Neurriak: zabalera a=2.54 cm, lodiera b=0.76 mm eta luzera L=20.3 cm.

Zeharkako sekzioaren inertzia-momentua hau da:

I= ab³/12= 9.29·10^-13 m⁴

Hona hemen lehen bibrazio-moduaren maiztasuna:

Bigarren bibrazio-moduaren maiztasuna:

f₂=9.82·27.36=269 Hz

eta horrela behin eta berriz.

Erreferentzietan aipatutako lehen artikuluan esperimentu bat deskribatzen da: habe baten bibrazio-modu normal bat kitzikatzen da, bere maiztasuna neurtu osziloskopio batean, eta materialaren Young-en modulua kalkulatzen da. Horretarako, habearen neurriak zehazki ezagutu behar dira (luzera, lodiera eta zabalera) eta pisua ere bai, dentsitatea kalkulatzeko (masa/bolumena).

Saiakuntza

Ondorengo programa interaktiboak ekuazio transzendentea ebazten du, erdiko puntuaren prozedura numerikoa erabiliz, eta lehen bost soluzioak kalkulatzen ditu.

Ondoren, habearen puntuen bibrazio-anplitudeak irudikatzen ditu, y(x), lehen bost bibrazio-moduetarako, eta C_n koefizienteen zenbakizko balioak ematen ditu.

Hurrengoa>>  eta  <<Aurrekoa botoiak sakatuz bibrazio-modu batetik bestera pasa daiteke.

Habe solido baten bibrazio-modu normalak, mutur bat aske duela

Habe solidoaren bibrazio-modu normalak aurkitzeko, baina habeak mutur bat aske duela, antzera jokatuko dugu:

1. Habearen bibrazioak deskribatzen dituen soluzio orokorra honela adieraz daiteke:

ψ(x,t)= y(x)·sin(ωt)

2. Ekuazio diferentzialaren soluzioa  y(x) da, alegia, habearen puntuen bibrazio-anplitudeak x posizioaren arabera:

y(x)=A₁sinh(qx)+A₂·cosh(qx)+A₃·sin(qx)+A₄·cos(qx)

3. Mugalde baldintzak ezberdinak dira oraingoan:

Habea finko dago ezker muturretik eutsita x=0, eta puntu horretan deribatua nulua da: dy/dx=0.

0=A₂+A₄
0=A₁+A₃

Eskumako muturra orain aske dago, alegia, x=L posizioan y(L) eta bere deribatua, dy/dt ez dira nuluak, baina indarra eta momentua nuluak dira eta horregatik, d²y/dx²=0  y d³y/dx³=0 

A₁(sinh(qL)+sin(qL))+A₂(cosh(qL)+cos(qL))=0
A₁(cosh(qL)+cos (qL))+A₂(sinh(qL)-sin(qL))=0

A₁ eta A₂ eliminatuz, ekuazio transzendentea lortzen da qL aldagaiaren menpe:

cosh(qL)·cos (qL)= -1

Ekuazio transzendente horren soluzioak, r_n=q_n·L , prozedura numerikoez kalkula daitezke, esate baterako erdiko puntuaren prozeduraz. Hona hemen bere lehen bost soluzioak:

r_n=1.875, 4.693, 7.855, 10.996, …

q_n-ren balio posibleak ezagututa, bibrazio-modu normalen maiztasunak ere kalkula daitezke: ω_n=2πf_n.

Hemen f_n da n-garren bibrazio-moduaren maiztasuna, eta C_n da modu horri dagokion koefiziente bat. Hona hemen bere lehen soluzioak:

C₁=0.56, C₂=3.51, C₃=9.82, C₄=19.24, … etab.

C_n koefizientea habearen ezaugarrien independentea da eta bigarren terminoa, ordea, (erro karratuaren barrukoa) habearen materialaren eta neurrien araberakoa.

Habearen puntuen bibrazio-anplitudeak, y(x), n-garren bibrazio-moduan honela adierazten dira:

A proportzionaltasun-konstantea da, alegia, eskala bertikalarena. Bibrazio-modu guztiak eskala berean irudikatuta egoteko, honako baldintza bete behar dute:

Adibidea:

Har dezagun berriro aurreko ataleko adibidea:

• Oinarrizko bibrazio-moduaren maiztasuna hau da:  f₁=0.56·27.36=15.3 Hz

• Bigarren bibrazio-moduaren maiztasuna hau da:  f₂=3.51·27.36=96.0 Hz

Eta horrela behin eta berriz.

Saiakuntza

Ondoko programa interaktiboak ekuazio transzendentea ebazten du, erdiko puntuaren prozedura numerikoaz, eta lehen bost soluzioak kalkulatzen ditu.

Habearen puntu guztien bibrazio-anplitudea, y(x), grafikoki adierazten du eta C_n koefizienteen balioak idatziz ematen ditu.

Klika itzazu Hurrengoa>>  eta  <<Aurrekoa botoiak.

Habe elastiko baten Young-en modulua nola neurtu

Ondoko irudiak dispositibo esperimentala erakusten du: altzairuzko hagatxo batek ezkerreko muturra finko dauka eta maiztasun aldakorreko sorgailu batek (F), bobina baten bitartez, hagatxoa oszilarazten du (hagatxoaren dentsitatea ρ=7800 kg/m³, lodiera  a= 2.54 mm. eta altuera b=0.76 mm).

F generadorearen maiztasuna, zerotik abiatuta, handitzen goaz eta, une batean, hagatxoak erresonantzia-fenomenoa atzematen du. Hau da bere oinarrizko bibrazio-moduaren maiztasuna:

Esperimentuan, f₁ neurtzen da eta hagatxoaren L luzera. Hortik kalkulatzen da hagatxoaren materialaren (altzairuaren) Young-en modulua 10⁹ unitateetan edo GPa-etan.

Saiakuntza

Berria botoia sakatu.

• Programa interaktiboak ausazko zenbaki bat asmatzen du, 160 eta 210 bitartean, materialaren Young-en modulutzat hartzeko. Unitateak 10⁹ N/m² edo GPa. Gainontzeko datuak adibidekoak dira: ρ=7800 kg/m³, a= 2.54 mm. eta b=0.76 mm.

Aukeran idatz daitezke:

• Hagatxoaren Luzera, L, milimetrotan, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Sorgailuaren Maiztasuna,  f , Hz-etan, baina bakarrik zenbaki osoa, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Sorgailuaren maiztasunaren Hamarrenak, zehaztasun handiz doitzeko, 0-9 tarteko zenbaki bat idatziz dagokion kontrolean.

Hasi botoia sakatu.

1. Maiztasunari dagokion desplazamendu-barrari eraginez, maiztasuna aldatzen joan hagatxoak oszilatzea lortu arte. Pazientziaz bilatu, ez baita erraz aurkitzen. Hasi botoia sakatu behar da behin eta berriz, maiztasuna aldatzen den bakoitzean.

2. Maiztasunaren hamarrena doitu, oszilazioen anplitudea maximoa izan arte. Gelditu botoiak hagatxoaren oszilazioa geldiarazten du eta Pausoka botoia behin eta berriz sakatuz hagatxoaren eskuin muturraren anplitudea neur daiteke zehatz-mehatz.

3. Erresonantziaren maiztasuna neurtu ondoren (zati osoa eta lehen hamarrena) Datuak botoia sakatuz, datu-bikotea gorde egiten da leihatilaren ezkerreko testu-zutabean: hagatxoaren luzera (cm), erresonantzia-maiztasuna (Hz).

Hagatxoaren luzera aldatzen da eta berriro bilatzen da bere erresonantzia-maiztasun berria.

Datu-bikote nahikoak ditugunean Grafikoa botoia sakatu. Ardatz bertikalean erresonantziaren f₁ maiztasuna adierazten da eta ardatz horizontalean hagatxoaren L luzera, zentimetrotan. Ikusten denez, grafikoak hiperbola itxura du.

Orokorrean, hagatxoaren L luzera ezagututa eta  f₁ erresonantzia-maiztasuna, Young-en modulua kalkula daiteke (Y) lehen aipatutako formulatik (unitateak GPa ateratzen dira edo 10⁹ N/m²):

Alegia, datu-bikote bakar bat (L, f₁) nahikoa da Young-en modulua kalkulatzeko. Hala ere, osa bedi horrelako taula: