Uhinak

Uhinen hedapena

Hedapena nola
deskribatu 
matematikoki

Uhin harmonikoak

Soinuaren abiadura
neurtzen

Zeharkako uhinak
soka batean

Uhin geldikorrak (I)

Zeharkako uhinak
haga solido batean

Uhin geldikorrak (II)

Luzetarako uhinak
haga solido batean

Uhinen islapena
eta transmisioa

Errefrakzioaren 
Snell-en legea

Ispilatzeak

Sokaren bibrazio-moduen maiztasunak

Uhin geldikorren anplitudea

Kasu bereziak

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan uhin geldikorrak aztertuko ditugu, bi muturretatik lotuta dagoen soka batean, baina soka ez da homogeneoa izango, sokak bi erdialde ditu eta erdialde bakoitzak dentsitate lineal ezberdinak izango ditu.

Dei diezaiogun sokaren luzerari 2L, erdialdeetako bakoitzaren luzera L, eta bakoitzaren dentsitate lineala m₁ eta m₂. Sokaren tentsioa berdina da erdialde bietan, T, eta eskumako muturrean eskegitako pisu batez gobernatzen da. Ikusiko dugunez, uhin geldikorrek nodo kopuru ezberdinak dituzte sokaren erdialde bakoitzean.

Uhinen ekuazio diferentzialaren soluzioa

Hona hemen uhinen ekuazio diferentzialak sokaren bi erdialdeetan:

Ψ sokaren zeharkako desplazamendua da (norabide bertikalean), sokaren x posizioaren eta t aldiunearen araberakoa.

v₁ eta v₂ dira uhinaren abiadurak sokaren ezkerreko eta eskumako erdialdeetan:

Soka homogeneoaren kasuan bezala har dezagun horrelako soluzioa (uhin geldikorraren itxurakoa):

Ψ(x,t)= y(x) sin(ωt)

Sokaren puntu bakoitzak oszilatu egiten du norabide bertikalean ω maiztasun angeluar berarekin baina anplitudea x posizioaren araberakoa da: y(x).

Soluzio hori ordezkatzen badugu uhinen bi ekuazio diferentzialetan, H.H.S-aren ekuazio diferentzialak ateratzen dira, baina y eta x-ren menpekoak:

Ekuazio diferentzial horien soluzioak honelakoak dira:

y₁(x)=A₁sin (k₁x)+B₁cos(k₁x) 
y₂(x)=A₂sin (k₂x)+B₂cos(k₂x) 

k₁=ω/v₁  eta k₂=ω/v₂  uhin zenbakiak dira.

A₁, B₁, A₂ eta B₂  koefizienteak determinatzen dira mugalde baldintzekin: Batetik, bi mutur finkoak: x=-L eta x=+L. Eta bestetik, y(x) soluzioa jarraitua izan behar da bi erdialdeen arteko mugan, x=0.

Uhin geldikorraren jarraitasuna

x=0 puntuan bi erdialdeak elkartzen dira, beraz, batetik, uhin geldikorra deskribatzen duen funtzio matematikoa jarraitua izan behar da puntu horretan eta, bestetik, bere lehen deribatua x-rekiko ere bai:

y₁(0) = y₂(0)   beraz,    B₁=B₂

eta,

Hortaz, uhin geldikorraren anplitudea deskribatzen duen y(x) funtzio matematikoa honelakoa izango da erdialde bakoitzean:

y₁(x)=A₁sin (k₁x)+B₁cos(k₁x)
y₂(x)=A₁(k₁/ k₂)sin (k₂x)+B₁cos(k₂x)

Mugalde baldintzak

Sokaren bi muturrak finkoak dira, bata x= -L posizioan eta bestea x=+L. Derrigor bete behar da:

y₁(-L)=0  eta  y₂(+L)=0

A₁sin (k₁L) = B₁cos(k₁L)
A₁(k₁/k₂)sin (k₂L) = -B₁cos(k₂L)

Goiko ekuazioa behekoaz zatituz, A₁ eta B₁ koefizienteak eliminatzen dira, eta hona emaitza:

Sokaren bibrazio-moduen maiztasunak

Sokaren bibrazio-moduen maiztasunak kalkulatzeko, honako ekuazio transzendentea ebatzi behar da:

Horretarako, honako bi funtzioak irudika daitezke grafiko berean:

z= v₁tan(2πfL/v₁)
z= v₂tan(2πfL/v₂)

biak f maiztasunaren menpe.

Ebakidura-puntuen abszisak dira, hain zuzen, bibrazio-moduen maiztasunak:  f₁, f₂, f₃, …  ondoko irudiak erakusten duen bezala:

Irudiak erakusten du lehen funtzioa urdinez (v₁=40 m/s), eta bigarren funtzioa gorriz (v₂=80 m/s); bi kasuetan, sokaren bi erdialdeen luzerak berdinak dira eta L= 1m.

Ebakidura-puntuak kalkulatzeko erdiko puntuaren prozedura numerikoa erabili da. Honako ekuazio transzendentea ebatzi behar da:

Funtzio hori grafikoki irudikatuz, ikusten da ez dela oso egokia erdiko puntuaren prozedura numerikoa aplikatzeko (tangente funtzioak oso malda handia duelako). Hobe da beste modu batez adieraztea:

Ondoko irudiak erakusten du funtzio hori f frekuentziaren menpe (f, ω=2πf ) eta v₁=40 m/s , v₂=80 m/s  eta L=1 m. Kasu honetan, funtzio horren "zeroak", alegia, ardatz horizontala mozten duten puntuak dira, izan ere, bibrazio-moduen maiztasunak: f₁, f₂, f₃, …eta zenbakizko datu horiekin: 12.2, 27.8, 40.0, 52.2, 67.8, 80.0,.. Hz

Uhin geldikorren anplitudea

Mugalde baldintzak aplikatu ondoren geratu diren bi ekuazioetatik A₁ bakan daiteke eta ordezkatu  y₁(x) eta y₂(x) funtzioetan, alegia, uhin geldikorraren anplitudea deskribatzen duten funtzioetan, sokaren bi erdialdeetan:

Bibrazio modu baterako: ω=2πf_.

Beraz, B₁ eskala-faktore hutsa da. Bibrazio-modu guztiak eskala berean irudika daitezen, B₁ koefizientea kalkulatzen da kurbaren azpiko azaleratan honako baldintza ezarrita:

Ezkerreko integrala urdinez margotutako azalera da eta eskumako integrala gorriz margotutako azalera.

Zenbait eragiketa burutu ondoren, honako emaitza lortzen da:

Emaitza hori lortzeko honako integralak erabili dira:

Eta modu berean sokaren eskumako aldea.

Kasu bereziak

Zenbait maiztasunetan, gerta daiteke aldi berean,  sin(ωL/v₁) = 0  eta  sin(ωL/v₂) = 0. Esaterako, zenbakizko datu hauekin: v₁=40 m/s , v₂=80 m/s eta L=1 m,  hona hemen baldintza hori betetzen dituzten maiztasunak:

Batetik,  sin(ωL/v₁)=0  izateko  2πf₁L/v₁=n₁π  (eta n₁ zenbaki osoa). Orduan,  f₁=20n₁ maiztasunetan:

 f₁= 20, 40, 60, 80, 100,…Hz

Bestetik, sin(ωL/v₂)=0 izateko 2πf₂L/v₂=n₂π  (eta n₂ zenbaki osoa). Orduan,  f₂=40n₂ maiztasunetan:

f₂= 40, 80, 120 … Hz

Hona hemen maiztasun komunak: f₁= f₂= 40, 80, 120… Hz

Maiztasun berezi horietan  f₁=n₁v₁/(2L)  eta  f₂=n₂v₂/(2L) eta gainera betetzen bada, n₁v₁=n₂v₂  (n₁ eta n₂ zenbaki osoak).

Sokaren bibrazio-modu horietan azalera infinitu bilakatzen da eta B₁-ek zerora jotzen du, baina bibrazio-moduaren y(x) anplitudea, ez da nulua eta jarraian kalkulatuko dugu bere adierazpena:

Bibrazio-moduen maiztasunak ematen dituen ekuazio transzendea baldintza hau betetzen denean:

sin(ωL/v₁) =sin(ωL/v₂)

Honakoa ere betetzen da:

v₁·cos(ωL/v₂) +v₂·cos(ωL/v₁)=0

Eta beraz:

Baldintza hori ordezka daiteke, B₁ eskala-faktorea kalkulatzeko erabiltzen den adierazpen potoloan:

Ondoren, faktore komuna atera daiteke honako zatidura:

Eta baldin  sin(ωL/v₁)→0  orduan  c→∞, eta ateratzen da:

Maiztasun berezi horietan, bibrazio-moduen anplitudeak honela adieraz daitezke:

Eta baldin  sin(ωL/v₁)→0

Egiazta daitekeenez, funtzio horiek x=0 posizioan jarraitasun baldintza betetzen dute eta mugalde baldintzak betetzen dituzte x=-L eta x=L posizioetan.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Uhinaren v₁ abiadura sokaren ezkerreko erdialdean, Abiadura 1 izeneko desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Uhinaren v₂ abiadura sokaren eskumako erdialdean, Abiadura 2 izeneko desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Sokaren erdialde bien luzerak finkotzat hartu dira: L=1 m.

Berria botoia sakatu.

Programak, erdiko puntuaren prozedura numerikoaz, sokaren lehen bost bibrazio-moduen maiztasunak kalkulatzen ditu.

Hasteko, sokaren lehen bibrazio-modua irudikatzen da: ω=2πf₁ maiztasunekoa:

Ψ₁(x,t)= y₁(x)· sin(ωt)  ezkerreko erdialdean, -L<x<0.
Ψ₂(x,t)= y₂(x)· sin(ωt)  eskumako erdialdean, 0<x<+L.

Hurrengoa>> botoia sakatuz, hurrengo bibrazio-modu normalak irudikatzen dira, alegia,  f₂, f₃, f₄ ..., maiztasunetakoak, eta Aurrekoa<< botoia sakatuz, aurreko modu normalak.

Ikus daitekeenez, soka ez homogeneoak nodo-kopuru ezberdinak izan ditzake sokaren erdialde bakoitzean.