Uhin geldikorrak, soka ez homogeneo batean

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Uhinak

Uhinen hedapena
Hedapena nola
deskribatu 
matematikoki
Uhin harmonikoak
Soinuaren abiadura
neurtzen
Zeharkako uhinak
soka batean
Uhin geldikorrak (I)
Zeharkako uhinak
haga solido batean
marca.gif (847 bytes)Uhin geldikorrak (II)
Luzetarako uhinak
haga solido batean
Uhinen islapena
eta transmisioa
Errefrakzioaren 
Snell-en legea
Ispilatzeak
Uhinen ekuazio diferentzialaren soluzioa

Sokaren bibrazio-moduen maiztasunak

Uhin geldikorren anplitudea

Kasu bereziak

Saiakuntza

Erreferentzia

 

Orri honetan uhin geldikorrak aztertuko ditugu, bi muturretatik lotuta dagoen soka batean, baina soka ez da homogeneoa izango, sokak bi erdialde ditu eta erdialde bakoitzak dentsitate lineal ezberdinak izango ditu.

Dei diezaiogun sokaren luzerari 2L, erdialdeetako bakoitzaren luzera L, eta bakoitzaren dentsitate lineala m1 eta m2. Sokaren tentsioa berdina da erdialde bietan, T, eta eskumako muturrean eskegitako pisu batez gobernatzen da. Ikusiko dugunez, uhin geldikorrek nodo kopuru ezberdinak dituzte sokaren erdialde bakoitzean.

Uhinen ekuazio diferentzialaren soluzioa

Hona hemen uhinen ekuazio diferentzialak sokaren bi erdialdeetan:

Ψ sokaren zeharkako desplazamendua da (norabide bertikalean), sokaren x posizioaren eta t aldiunearen araberakoa.

v1 eta v2 dira uhinaren abiadurak sokaren ezkerreko eta eskumako erdialdeetan:

Soka homogeneoaren kasuan bezala har dezagun horrelako soluzioa (uhin geldikorraren itxurakoa):

Ψ(x,t)= y(x) sin(ωt)

Sokaren puntu bakoitzak oszilatu egiten du norabide bertikalean ω maiztasun angeluar berarekin baina anplitudea x posizioaren araberakoa da: y(x).

Soluzio hori ordezkatzen badugu uhinen bi ekuazio diferentzialetan, H.H.S-aren ekuazio diferentzialak ateratzen dira, baina y eta x-ren menpekoak:

Ekuazio diferentzial horien soluzioak honelakoak dira:

y1(x)=A1sin (k1x)+B1cos(k1x
y2
(x)=A2sin (k2x)+B2cos(k2x

k1=ω/v1  eta k2=ω/v2  uhin zenbakiak dira.

A1, B1, A2 eta B2  koefizienteak determinatzen dira mugalde baldintzekin: Batetik, bi mutur finkoak: x=-L eta x=+L. Eta bestetik, y(x) soluzioa jarraitua izan behar da bi erdialdeen arteko mugan, x=0.

Uhin geldikorraren jarraitasuna

x=0 puntuan bi erdialdeak elkartzen dira, beraz, batetik, uhin geldikorra deskribatzen duen funtzio matematikoa jarraitua izan behar da puntu horretan eta, bestetik, bere lehen deribatua x-rekiko ere bai:

y1(0) = y2(0)   beraz,    B1=B2

eta,

Hortaz, uhin geldikorraren anplitudea deskribatzen duen y(x) funtzio matematikoa honelakoa izango da erdialde bakoitzean:

y1(x)=A1sin (k1x)+B1cos(k1x)
y2
(x)=A1(k1/ k2)sin (k2x)+B1cos(k2x)

Mugalde baldintzak

Sokaren bi muturrak finkoak dira, bata x= -L posizioan eta bestea x=+L. Derrigor bete behar da:

y1(-L)=0  eta  y2(+L)=0

A1sin (k1L) = B1cos(k1L)
A1
(k1/k2)sin (k2L) = -B1cos(k2L)

Goiko ekuazioa behekoaz zatituz, A1 eta B1 koefizienteak eliminatzen dira, eta hona emaitza:

Sokaren bibrazio-moduen maiztasunak

Sokaren bibrazio-moduen maiztasunak kalkulatzeko, honako ekuazio transzendentea ebatzi behar da:

Horretarako, honako bi funtzioak irudika daitezke grafiko berean:

z= v1tan(2πfL/v1)
z= v2
tan(2πfL/v2)

biak f maiztasunaren menpe.

Ebakidura-puntuen abszisak dira, hain zuzen, bibrazio-moduen maiztasunak:  f1, f2, f3, …  ondoko irudiak erakusten duen bezala:

Irudiak erakusten du lehen funtzioa urdinez (v1=40 m/s), eta bigarren funtzioa gorriz (v2=80 m/s); bi kasuetan, sokaren bi erdialdeen luzerak berdinak dira eta L= 1m.

Ebakidura-puntuak kalkulatzeko erdiko puntuaren prozedura numerikoa erabili da. Honako ekuazio transzendentea ebatzi behar da:

Funtzio hori grafikoki irudikatuz, ikusten da ez dela oso egokia erdiko puntuaren prozedura numerikoa aplikatzeko (tangente funtzioak oso malda handia duelako). Hobe da beste modu batez adieraztea:

Ondoko irudiak erakusten du funtzio hori f frekuentziaren menpe (f, ω=2πf ) eta v1=40 m/s , v2=80 m/s  eta L=1 m. Kasu honetan, funtzio horren "zeroak", alegia, ardatz horizontala mozten duten puntuak dira, izan ere, bibrazio-moduen maiztasunak: f1, f2, f3, …eta zenbakizko datu horiekin: 12.2, 27.8, 40.0, 52.2, 67.8, 80.0,.. Hz

 

 

Uhin geldikorren anplitudea

Mugalde baldintzak aplikatu ondoren geratu diren bi ekuazioetatik A1 bakan daiteke eta ordezkatu  y1(x) eta y2(x) funtzioetan, alegia, uhin geldikorraren anplitudea deskribatzen duten funtzioetan, sokaren bi erdialdeetan:

Bibrazio modu baterako: ω=f.

Beraz, B1 eskala-faktore hutsa da. Bibrazio-modu guztiak eskala berean irudika daitezen, B1 koefizientea kalkulatzen da kurbaren azpiko azaleratan honako baldintza ezarrita:

Ezkerreko integrala urdinez margotutako azalera da eta eskumako integrala gorriz margotutako azalera.

Zenbait eragiketa burutu ondoren, honako emaitza lortzen da:

Emaitza hori lortzeko honako integralak erabili dira:

Eta modu berean sokaren eskumako aldea.

 

Kasu bereziak

Zenbait maiztasunetan, gerta daiteke aldi berean,  sin(ωL/v1) = 0  eta  sin(ωL/v2) = 0. Esaterako, zenbakizko datu hauekin: v1=40 m/s , v2=80 m/s eta L=1 m,  hona hemen baldintza hori betetzen dituzten maiztasunak:

Batetik,  sin(ωL/v1)=0  izateko  2πf1L/v1=n1π  (eta n1 zenbaki osoa). Orduan,  f1=20n1 maiztasunetan:

 f1= 20, 40, 60, 80, 100,…Hz

Bestetik, sin(ωL/v2)=0 izateko 2πf2L/v2=n2π  (eta n2 zenbaki osoa). Orduan,  f2=40n2 maiztasunetan:

f2= 40, 80, 120 … Hz

Hona hemen maiztasun komunak: f1= f2= 40, 80, 120… Hz

Maiztasun berezi horietan  f1=n1v1/(2L)  eta  f2=n2v2/(2L) eta gainera betetzen bada, n1v1=n2v2  (n1 eta n2 zenbaki osoak).

Sokaren bibrazio-modu horietan azalera infinitu bilakatzen da eta B1-ek zerora jotzen du, baina bibrazio-moduaren y(x) anplitudea, ez da nulua eta jarraian kalkulatuko dugu bere adierazpena:

Bibrazio-moduen maiztasunak ematen dituen ekuazio transzendea baldintza hau betetzen denean:

sin(ωL/v1) =sin(ωL/v2)

Honakoa ere betetzen da:

v1·cos(ωL/v2) +v2·cos(ωL/v1)=0

Eta beraz:

Baldintza hori ordezka daiteke, B1 eskala-faktorea kalkulatzeko erabiltzen den adierazpen potoloan:

Ondoren, faktore komuna atera daiteke honako zatidura:

Eta baldin  sin(ωL/v1)→0  orduan  c→∞, eta ateratzen da:

Maiztasun berezi horietan, bibrazio-moduen anplitudeak honela adieraz daitezke:

Eta baldin  sin(ωL/v1)→0

Egiazta daitekeenez, funtzio horiek x=0 posizioan jarraitasun baldintza betetzen dute eta mugalde baldintzak betetzen dituzte x=-L eta x=L posizioetan.

 

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

  • Uhinaren v1 abiadura sokaren ezkerreko erdialdean, Abiadura 1 izeneko desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

  • Uhinaren v2 abiadura sokaren eskumako erdialdean, Abiadura 2 izeneko desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

  • Sokaren erdialde bien luzerak finkotzat hartu dira: L=1 m.

Berria botoia sakatu.

Programak, erdiko puntuaren prozedura numerikoaz, sokaren lehen bost bibrazio-moduen maiztasunak kalkulatzen ditu.

Hasteko, sokaren lehen bibrazio-modua irudikatzen da: ω=2πf1 maiztasunekoa:

Ψ1(x,t)= y1(x)· sin(ωt)  ezkerreko erdialdean, -L<x<0.
Ψ2(x,t)= y2(x)· sin(ωt)  eskumako erdialdean, 0<x<+L.

Hurrengoa>> botoia sakatuz, hurrengo bibrazio-modu normalak irudikatzen dira, alegia,  f2, f3, f4 ..., maiztasunetakoak, eta Aurrekoa<< botoia sakatuz, aurreko modu normalak.

Ikus daitekeenez, soka ez homogeneoak nodo-kopuru ezberdinak izan ditzake sokaren erdialde bakoitzean.

 

Erreferentzia

Clendenning L. M. A laboratory approach to eigenvalue problem. Am. J. Phys. 36 (10) October 1968, pp. 879-881