Uhinak

Uhinen hedapena

Hedapena nola
deskribatu 
matematikoki

Uhin harmonikoak

Soinuaren abiadura
neurtzen

Zeharkako uhinak
soka batean

Uhin geldikorrak (I)

Zeharkako uhinak
haga solido batean

Uhin geldikorrak (II)

Luzetarako uhinak
  haga solido batean

Uhinen islapena
eta transmisioa

Errefrakzioaren 
Snell-en legea

Ispilatzeak

Uhin harmoniko batek garraiatutako energia

Intentsitatea

Erreferentzia

Mailu batez haga solido baten muturra kolpatzen badugu, bibrazioa hedatu egiten da haga osoan zehar. Ikus bitez, besteak beste, hedapena nola deskribatu matematikoki kapituluan dagoen saiakuntza edota, uhin harmonikoak kapituluan dauden saiakuntzetatik, "luzetarako uhinak habe solido batean" saiakuntza.

Honako kapitulu honetan, luzetarako uhinek haga solido batean duten hedatze-abiaduraren adierazpena deduzituko dugu. Ikusiko dugunez, uhinen abiadura hagaren ezaugarri mekanikoen menpekoa izango da: materialaren dentsitatea eta Young-en modulua.

Bestalde, azpimarratzekoa da uhinetan ez dagoela materia-garraiorik, materiaren higidura-egoera baizik, solidoaren molekula batetik ondoko molekulara, ondoko molekulatik hurrengora eta horrela behin eta berriz. Higidura-egoeraren garraioa oso ondo ikusten da, malgukiez lotutako hainbat partikulako sistematan egiten diren saiakuntzetan.

Demagun harri koxkor bat jaurtitzen dugula ur barea duen urmael edo putzu batera. Harri koxkorrak ura ukitzen duen puntuan perturbazio bat sortzen da eta perturbazio hori hedatu egiten da, uhin-itxuraz, urmaelaren ertzera iritsi arte. Perturbazioa sortu den puntutik ertzeraino ez dago ur-korronterik eta, gainera, ur gainean flotatzen ari diren objektutxoek gora eta behera egiten dute uhina pasatzen ari zaien bitartean baina, uhina pasatutakoan, berriz ere geldi geratzen dira ur baretan flotatzen hasierako posizio berean.

"Hedapena nola deskribatu matematikoki" kapituluan deskribatzen dira pultsu baten hedapena eta uhin harmoniko baten hedapena. Saiakuntza horietan ikusten da nola sortzen den perturbazio bat partikula batzuetan espazioko toki  batean, perturbazioa hedatu egiten dela ondoko partikuletara, ondoko partikuletatik hurrengoetara eta horrela behin eta berriz. Uhinaren abiadura beti medioaren ezaugarri mekanikoen menpekoa ateratzen da, bai zeharkako uhinak soka batean zein luzetarako uhinak haga batean.

Hedatze-abiadura

Kapitulu honetan deduzitzen da luzetarako uhinek haga solido batean duten abiadura bere ezaugarri mekanikoen menpe (materialaren dentsitatea eta elastikotasun modulua).

Perturbazioa hedatzen ari denean, hagaren elementuak desplazatu egiten dira eta gainera deformatu (luzatu eta laburtu).

Elementuaren deformazioa

Solido zurrunaren kapituluan ikusi dugu material solido guztiek elastikotasuna dutela, eta esperimentu baten bitartez materialaren elastikotasun modulua neur daitekeela (Young-en modulua). Materialaren esfortzua (azalera unitateko indarra) eta deformazio unitarioa (luzera unitateko deformazioa) erlazionatuta daude, Hooke-ren legeaz (ondoko irudiak erakusten ditu aldagai guztien esangura fisikoak: sekzioak, luzerak...) Proportzionaltasun konstante horri (Y ) Young-en modulu deritzo eta material bakoitzaren ezaugarria da.

Demagun S sekziodun haga baten elementu bat, ondorengo irudiak erakusten duena bezalakoa. Elementuaren posizioa x izendatuko dugu eta bere zabalera dx. Perturbazioaren eraginez, elementua desplazatu egiten da, Y distantzia oreka-posiziotik, eta deformatu egiten da dY distantzia bere luzera naturalarekiko; beraz, luzera berria  dx+ dY  da.

Deformazio hori sortzeko behar den indarra kalkula daiteke:

Deribatu partzialak erabili dira, Y desplazamendua bi aldagaiko funtzioa delako: x (posizioa) eta t (denbora).

Elementuaren desplazamendua

Elementuaren luzera naturala dx da eta hagaren ezkerraldeak elementuari F indarra eragiten dio eta eskumako aldeak F’  indarra.

Indar netoa hau da:

Newton-en bigarren legearen arabera, indar netoa masa bider azelerazioa izan behar da: masa (dentsitatea bider bolumena) eta azelerazioa (desplazamenduaren bigarren deribatua denborarekiko):

Lortutako bi adierazpenak berdinduz, uhinen ekuazio diferentziala ateratzen da:

Eta ekuazio horretako koefizienteak hedapen abiadura ematen du:

• Y  materialaren elastikotasun-modulua da (Young-en modulua) N/m²-tan adierazten dena.
• r  materialaren dentsitatea, kg/m³-tan adierazten dena.

Datuak: Manual de Física, Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Editorial Mir (1975), 106 or.

Uhin harmoniko batek garraiatutako energia

Deskribapen kualitatiboa

Atal honetan adierazpen matematiko bat lortuko dugu, uhin harmoniko batek garraiatzen duen energia kalkulatzeko, baina arrazoiketa kualitatibo soilak erabiliz.

1. Lehenik, fluxu-kontzeptua aztertuko dugu: demagun S sekziodun hodi batetik urak zirkulatzen duela, v abiadura konstanteaz. Hodiaren muturretik pasatzen den ur-kantitatea denbora unitate batean kalkulatzen da, hodiaren S sekzioa eta ur-korronteak duen v abiadura bidertuz:

Irudiak erakusten duenez, denbora unitate batean, hodiaren muturretik pasatzen den ur-kantitatea izango da, zilindro urdinak duen bolumen osoa, alegia, S sekzioa bider v luzera.

Fluxua (denbora unitatean pasatzen den ur-kantitatea) = S·v

Uhin batean, energiak bidaiatzen du, v hedatze-abiaduraz, uhinaren jatorritik medioan zehar.

2. Medio batean zehar uhin harmonikoa hedatzen ari denean, medio hori osatzen duten partikulek, higidura harmoniko sinpleak  (HHS) deskribatzen dituzte, Ψ₀ anplitudeaz eta w maiztasun angeluarraz.

Y(x,t)= Y₀·sin k(x-vt)=Y₀·sin (kx-w t)

Partikula baten energia honela adierazten da:

hemen,  m_i, partikularen masa da, w , HHS-ren maiztasun angeluarra eta Ψ₀ anplitudea.

3. Energiaren fluxua kalkula daiteke, denbora unitatean garraiatutako energia kalkulatuz, hau da, S sekziodun eta v luzeradun zilindroaren barruan dauden partikula guztien energia batuz:

Zilindroaren barruko partikula guztien masa izango da (bigarren berdinketako batukaria, parentesi artean dagoena) zilindroaren dentsitatea, r, bider zilindroaren bolumena, Sv.

 

Deskribapen kuantitatiboa

Har dezagun berriro, haga batean zehar hedatzen ari den luzetarako uhin elastikoa. Hagaren elementu batek dx zabalera du eta honako abiaduraz desplazatzen ari da: ¶Y/¶t. Irudiak erakusten duen bezala, hagaren ezkerraldeak (–F) indarra eragiten dio elementuari.

Hagaren ezkerraldeak elementuari transmititzen dion potentzia kalkula daiteke (denbora unitateko energia):

Demagun uhinen jatorria hagaren ezkerraldeko muturrean dagoela eta uhin harmonikoa sortzen ari dela, Ψ₀ anplitudekoa, ω=2πf  maiztasunekoa eta uhina eskumarantz hedatzen ari dela v abiaduraz.

Ψ(x, t)= Ψ₀·sin[k(x-vt)]= Ψ₀·sin (kx-ωt)

Deribatu biak kalkulatuz (denborarekiko eta posizioarekiko):

Eta haga solidoan zehar luzetarako uhinek duten abiadura ezagututa,

Ordezka daiteke:

Emaitza hori fluktuatzailea da, w maiztasunez, denboraren arabera. Kalkula dezagun batezbesteko balioa periodo batean:

Azken emaitza hori, berriz, deskribapen kualitatiboan lortutako bera da.

f(t) funtzio aldakor baten batezbesteko balioa, P denbora-tartean honela kalkulatzen da:

Intentsitatea

Uhin baten intentsitatea definizioz da, uhinak garraiatzen duen energia denbora unitateko eta azalera unitateko. Lehen lortutako adierazpena denbora unitateko energia izan da eta, beraz, S azaleraz zatitzen badugu, uhin harmonikoaren intentsitatea lortzen da:

Hemen, v, uhinaren abiadura da, r, medioaren dentsitatea, w, uhinaren maiztasun angeluarra eta, Ψ₀, anplitudea. Intentsitatearen unitateak W/m² dira.

Entzumenaren kasuan, giza-belarriak hauteman dezakeen intentsitaterik txikiena (batez beste eta bitarteko maiztasun batean) 10^-12 W/m² da. Hortik gora, belarriak oso ahalmen handia dauka soinua hautemateko (1 W/m² inguru arte). Tarte hori oso zabala denez, (10¹² ordenako tartea) eskala logaritmikoa erabiltzen da, konprimituagoa eta erosoagoa delako, eta eskala horretan, soinuaren intentsitatea dezibeletan (db) adierazten da, honela definituta:

Hemen I₀ erreferentziazko intentsitatea da, 10^-12 W/m².

Intentsitatea hiru dimentsiotan

Lehen, kalkuluetarako erabili dugun haga zilindrikoa dimentsio bakarrekoa izan da, sinplifikatzeko, baina, orokorrean, uhinen hedapena hiru dimentsiotan gerta daiteke. Demagun uhin-iturri bat hiru dimentsiotako medio homogeneo batean. Jatorritik abiatuta, uhina hedatu egingo da bere inguruan norabide guztietan, alegia, norabide erradialetan. Uhina hiru dimentsiotan hedatzen ari bada, zilindroaren S sekzio konstantearen ordez, garraiatzen duen energia osoa sakabanatzen joango da inguruko azalera osoan, alegia 4p r2 azaleradun esferatan. Beraz, intentsitatea honela adierazi beharko da: Eta P da, uhin-iturriaren potentzia.

Ikusten denez, hiru dimentsiotan hedatzen diren uhinetan, I intentsitatea r distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala da. Lehen ikusi dugunez, I intentsitatea Ψ₀ anplitudearen karratuarekiko proportzionala denez, orduan, Ψ₀  anplitudea r distantziarekiko alderantziz proportzionala izango da.