Solido zurruna |
Errotazioaren Dinamika Errotazioaren dinamikaren ekuazioa
Errotazioaren dinamika eta energiaren balantzea Tortsio-pendulua Pendulu konposatua Zabua Marruskadura, errotazio-mugimenduan Atwood-en osziladorea Hagatxoa erortzen mutur finko batekin Hagatxoa erortzen, marruskadurarik gabe Hagatxoa erortzen, marruskadura eta guzti Eskailera irristatzen abiadura konstanteaz Eskailera: estatika eta dinamika |
Partikula-multzo baten inertzia-momentua | |||||||||||||
| Kapitulu honetan aztertuko da nola kalkulatzen diren solido zurrunen inertzia-momentuak.
Partikula-multzo baten inertzia-momentuaPartikula-multzo baten inertzia-momentua honela adieraz daiteke:
mi partikula, biraketa-ardatzetik xi distantziara dago. Demagun hagatxo mehe bat, metro bateko luzera duena. Koka ditzagun hagatxo horretan bost partikula, bakoitza 1 kg-koa, honako posizioetan: 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, eta 1.0 m. Hagatxoaren masa, partikulenen aldean arbuiagarria da. Kalkula bedi multzo horren inertzia-momentua ardatz perpendikular batekiko, baina ardatza ondoko posizioetatik pasatzen bada:
Hemen, inertzia-momentuak zuzenki kalkulatu dira, baina zeharka ere kalkula daitezke Steiner-en teorema erabiliz: ezagutzen bada IC orduan kalkula daitezke IA eta IB, ardatz paraleloen distantziak kontutan hartuta: AC=0.5 m eta BC=0.25 m. Hona hemen Steiner-en teorema: I=IC+Md2
Egiaztatzeko, IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2. IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Masa-banaketa jarraitu baten inertzia-momentuaPartikula-multzo batetik masa-banaketa jarraitu batera pasatzeko, inertzia-momentua honela berridatzi behar da:
hemen, dm solidoaren masa-elementu bat da eta biraketa-ardatzetik x distantziara dago. Ondoren, zenbait adibide ebatziko ditugu, eta bi modu ezberdinetan planteatuko ditugu
Hagatxo baten inertzia-momentua
Hagatxoaren masa-elementu batek dm masa du, x posizioan dago eta dx luzera du. Hona hemen bere masa:
Hagatxoaren inertzia-momentua:
Disko baten inertzia-momentuaDisko batek M masa du eta R erradioa. Kalkula dezagun diskoaren inertzia-momentua, berarekiko perpendikular den eta zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:
Har dezagun masa-elementu bat biraketa-ardatzetik x distantziara dagoena: irudian eraztun gorria. Eraztun mehe horrek x erradioa du eta dx lodiera. Eraztuna eten egiten badugu eta luzetara jarri, laukizuzena izango da: bere luzera 2px eta altuera dx. Laukizuzen horren masa hau da:
Hortaz, diskoaren inertzia-momentua eraztunen inertzia momentuen batura da:
Zilindro baten inertzia-momentuaZilindro batek M masa du, R erradioa eta L luzera. Kalkula dezagun zilindroaren inertzia-momentua bere simetria-ardatzarekiko:
Har dezagun masa-elementu bat errotazio-ardatzetik x distantziara. Elementu hori geruza zilindriko huts eta mehe bat da (irudian gorria). Geruzaren barne-erradioa x da, dx lodiera eta L luzera. Geruza hori eten egiten badugu eta luzetara jarri, paralelepipedoa izango da: bere luzera L, altuera 2px eta lodiera dx. Paralelepipedo horren masa hau da:
Beraz, zilindro osoaren inertzia-momentua hau da:
Adierazpen hori diskoarena bezalakoa da.
Xafla laukizuzen baten inertzia-momentua
Eta xafla osoaren inertzia-momentua:
Adierazpen hori, b luzeradun hagatxo batena bezalakoa da.
Disko baten inertzia-momentua
Diskoaren inertzia-momentua hau da:
Baina integral horretan bi aldagai daude: x eta y. Honako aldagai-aldaketa egiten bada, aldagai bakarra geratuko da: x=R·cosθ Eta integrala berridazten da:
Diskoaren inertzia-momentua erdia da, ardatza diametrala bada, ardatza perpendikularra bada baino.
Esfera baten inertzia-momentua Esfera batek M masa du eta R erradioa. Kalkula dezagun bere inertzia-momentua zentrotik pasatzen den ardatz batekiko, alegia, diametro batekiko.
Har ditzagun masa-elementuak disko formarekin (irudian gorria). Diskoaren erradioa x da eta lodiera dz. Aurretik ezaguna da, lehen kalkulatu dugulako, disko baten inertzia-momentua bere zentrotik pasatzen den ardatz perpendikular batekiko:
Eta disko horien masa hau da:
Esfera osoaren inertzia-momentua, disko guztien inertzia-momentuen batura izango da:
Baina integral horretan bi aldagai daude: x eta z. Honako aldagai-aldaketa egiten bada, aldagai bakarra geratuko da: x2+z2=R2
Zilindro baten inertzia-momentua Lehen kalkulatu dugu zilindro baten inertzia-momentua bere simetria-ardatzarekiko. Oraingoan, kalkula dezagun zilindroaren inertzia-momentua zentrotik pasatzen den baina zilindroarekiko perpendikular den ardatz batekiko, irudiak erakusten duena bezalakoa:
Har ditzagun masa-elementuak disko itxurakoak (irudian gorria). Diskoaren erradioa R da eta lodiera dx. Disko horren inertzia-momentua bere diametro batekiko
Eta Steiner-en teorema aplikatuz, disko horren inertzia-momentua kalkula daiteke, bere diametro baten paraleloa den edozein ardatzekiko, eta x distantziara dagoena.
Orduan zilindro osoaren inertzia-momentua hau da:
Adierazpen horretan L=0 ordezkatzen badugu, disko baten inertzia-momentua ematen du.
Paralelepipedo baten inertzia-momentua Paralelepipedo batek M masa du, a altuera, b zabalera eta c luzera. Kalkula dezagun bere inertzia-momentua bere alde baten perpendikularra den ardatz batekiko.
Har ditzagun masa-elementuak xafla itxurakoak (irudian gorria): a altuera, b luzera eta dx lodiera. Xafla horren inertzia-momentua bere zentrotik pasatzen den ardatz batekiko lehen kalkulatu dugu:
Eta Steiner-en teorema aplikatzen badugu, xafla horren inertzia-momentua kalkula dezakegu ardatz horren paraleloa den edozein ardatzekiko eta x distantziara dagoena:
hortaz, paralelepipedo osoaren inertzia-momentua:
|
Inertzia-momentuak
