Solido zurruna

• Irristatu gabe errodatzea
• Errodatzea baina irristatuz

Adibidea irristatu gabe

Saiakuntza

Partikularen dinamikaren ikasgaian ikusi da, marruskadura-indarra beti dela partikularen higiduraren aurkakoa, alegia, marruskadura- indarrak beti duela partikularen abiaduraren aurkako noranzkoa. Marruskadura-indarrak beti lan negatiboa egiten duenez, partikularen energia zinetikoa gutxitzen da.

Gurpil batek irristatu gabe errodatzen duenean, marruskadura-indarrak ez du lanik egiten, kontaktu-puntua geldi dagoelako eta, ikusiko dugunez, marruskadura-indarra masa-zentroaren abiaduraren aurkakoa izan daiteke, baina aldekoa ere bai.

Gurpil bati indar horizontala  aplikatu

Demagun, F indar horizontal batek gurpil bat bultzatzen duela, esaterako, masa-zentroa baino goragotik, irudiak erakusten duen bezala (r<R). Zorua ukitzen ari den P puntuak irristatzeko "joera" izango du, eta horregatik F_r marruskadura-indarrak eutsi egingo dio. Marruskadura-indarraren gehienezko balioa m_e·N, da (m_e koefiziente estatikoa eta N zoruaren erreakzio normala).

Irristatu gabe errodatzea

Gurpilak ez badu irristatzen, marruskadura-indarra ezezaguna da, baina balio mugatzaile maximo bat du: me·N. Marruskadura-indarra kalkula daiteke higiduraren ekuazioetatik: Masa-zentroaren translazioaren dinamika: Norabide bertikalean, N=mg , eta beraz oreka dago. Norabide horizontalean, F -Fr=m·amz Gurpilaren errotazioa, bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko: F·r+Fr·R=Imz·a Gainera, badakigu errodatzearen baldintza betetzen dela: amz=a ·R

Orokorrean, disko batek, edo zilindro batek, m masa eta R erradioa baditu, orduan bere inertzia-momentua zentrotik pasatzen den ardatzarekiko hau da: I_mz=mR²/2,

Aurreko ekuazio guztiak ebatziz, lortzen dira F_r eta a_mz:

Marruskadura-indarraren adierazpenak kenketa bat du, beraz, kenketa horren arabera, positibo zein negatibo edo zero eman dezake. Ondoko irudiak erakusten du F_r honako hiru baldintzatan: r=0, r=R/2 eta r=R.

Gurpilak ez dezan irristatu, baldintza independente bat bete behar da: F_r marruskadura-indarra, m_eN baino txikiagoa edo berdina mantentzea, bestela irristatzen hasiko da:

|F_r|£ m_eN

bestalde, N=mg. Eta orduan, µ_e marruskadura-koefizienteak honako balio mugatzailea izan behar du gutxienez:

Hala betetzen bada, alegia, marruskadura-koefizientea nahikoa handia bada, orduan zilindroak ez du irristatuko, errodatu bakarrik, baina marruskadura-koefizientea hori baino txikiagoa bada, orduan, errodatzeaz gain, irristatuko du.

Errodatzea baina irristatuz

Irristatzearen kasuan, marruskadura-indarra ezaguna da (dei diezaiogun f), eta bi baldintza ezberdin gerta daitezke:

• Batetik, a_mz>a R bada, orduan v_P>0. P puntuak eskumarantz irristatzen du, beraz, marruskadura-indarra ezkerrerantz doa eta: f=µ_k·mg (marruskadura-koefiziente zinetikoa).

Hona hemen, higiduraren ekuazioak:

Eta a_mz>a R izateko, lehen aipatutako baldintza bera bete behar da:

• Bestetik, a_mz<a R bada, orduan v_P>0. P puntuak ezkerrerantz irristatzen du, beraz, marruskadura-indarra eskumarantz.

Hona hemen, higiduraren ekuazioak:

Eta a_mz<a R izateko, lehen aipatutako baldintza bera bete behar da:

Adibidea irristatu gabe

Demagun zilindro batek M masa eta R erradioa dituela, eta hari bat daukala harilkatuta koska baten inguruan (r<R) , irudiak erakusten duen bezala. Haria polea batetik pasatzen da eta beste muturrean m masadun bloke bat eskegita dauka. Marruskadura-koefizientea behar bezain handia dela onartuko dugu eta ondorioz, zilindroak irristatu gabe errodatzen duela plano horizontalean. Kalkula  bedi blokearen azelerazioa eta, pausagunetik abiatzen bada, h altuera jaitsi duenean daukan abiadura.

Dinamika

Gorputz bi ditugu: zilindroa eta blokea. Beraz, bakoitzaren dinamika bere aldetik planteatu behar da.

Blokeak bi indar jasaten ditu. Hariaren tentsioa eta pisua. Hona hemen higiduraren ekuazioa: mg -T=ma Zilindroak bi ekuazio ditu: bat translaziorako eta  bestea errotaziorako. T -Fr=m·amz R·Fr+r·T=Imz·a

Zilindroaren inertzia-momentua I_mz=MR²/2. Eta zilindroak irristatu gabe errodatzen badu planoaren gainean, orduan: a_mz=a R

Lau ekuazio lortu ditugu, baina oraingoz ezezagunak bost dira: T, a, Fr, amz eta a. Ekuazio bat gehiago behar da, esaterako, zilindroaren amz eta blokearen a azelerazioak erlazionatzen dituen ekuazio bat. Har dezagun orain, haria ukitzen ari den zilindroaren P puntua (ikusi irudia). P puntuaren  azelerazioa bitan banatuta adieraz daiteke: translazio-azelerazioa (amz) eta errotazioaren azelerazioa (a r).

Jadanik ekuazio-multzoa nahikoa da ezezagun guztiak kalkulatzeko. Erabaki ditzagun datuak:

Ariketaren datuak

Ezezagunak

Marruskadura-indarra berezia da: bere noranzkoa ez dago oraindik erabakita eta ez dauka adierazpen konkretu bat. Erradioen arteko zatidura (r/R) txikia denean marruskadura-indarrak emaitza positiboa ematen du (irudian adierazi den noranzko bera), baina erradioen arteko zatidura handia denean negatiboa ematen du (irudian adierazi den aurkako noranzkoa). Horretaz gain, badago r/R-ren balio konkretu bat, marruskadura-indar nulua ematen duena.

Hortaz, marruskadura-indarraren balioa higiduraren ekuazioetatik ondorioztatzen da.

Energiaren balantzea

Hasieran multzo osoa geldi dago, baina blokeak h altuera jaitsi duenean, bai blokea eta baita zilindroa ere mugitzen ari dira.

• Blokearen energia potentziala gutxitu egin da: mgh
• Blokearen energia zinetikoa handitu egin da: mv²/2
• Zilindroaren energia zinetikoa ere handitu da: Mv_mz²/2+I_mz·w ²/2 (translazioan eta errotazioan)

Energiaren balantzea honela adierazten da:

Ekuazio horrek hiru ezezagun ditu: v, v_mz eta w. Beraz, bi ekuazio gehiago behar dira, esaterako, hiru abiadura horien arteko erlazioak. Lehenik, zilindroaren masa-zentroaren abiadura bere abiadura angeluarrarekin:

v_mz=w·R  . Hau bera da errodatzearen baldintza (irristatu gabe).

Eta ondoren, blokearen v abiadura: justu haria ukitzen ari den P puntuaren abiadura. Honela adierazten da:

Oraingoan zer dela-eta ez da kalkulatu behar marruskadura-indarrak egindako lana, energiaren balantzean?

Osa bitez oraingo honetan honako datuak:

Ariketaren datuak

Ezezagunak

Saiakuntza (irristatu gabe)

Aukeran idatz daitezke:

• Blokearen masa, m, dagokion laukian idatziz.
• Zilindroaren masa, M, dagokion laukian idatziz.
• Erradioen erlazioa, r/R , dagokion laukian idatziz.

Hasi botoia sakatuz, multzo osoa mugitzen hasten da.

Beha bitez, zilindroak jasaten dituen bi indarrak (hariaren tentsioa eta marruskadura) eta blokeak jasaten dituenak (hariaren tentsioa eta pisua). Erradioen erlazioa 0.5 bada, orduan marruskadura-indarra nulua ateratzen da.

Neur bedi blokeak zenbat denbora behar duen h altuera jakin bat jaisteko, pausagunetik abiatuta, eta hortik kalkula bedi a.

Konpara bedi emaitza hori eta dinamikaren ekuazioek ematen dutena.

Neur bedi blokearen v abiadura, h altuera jakin hori jaitsi duenean:

Konpara bedi emaitza hori eta energiaren balantzeak ematen duena.