Dinámica celeste |
Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación Fuerza central y conservativa Ecuación de la trayectoria Solución numérica de las ecuaciones Trayectorias hiperbólicas Órbita de transferencia Encuentros espaciales
Encuentro de una sonda espacial con Júpiter Orbitas de la misma energía Trayectoria de un proyectil (I) Trayectoria de un proyectil (II) Movimiento relativo Caída de un satélite en órbita hacia la Tierra. Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación El problema de Euler Viaje a la Luna |
Posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares | |||||
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En las páginas anteriores, hemos visto que una nave espacial puede pasar de una órbita circular de baja altura a una órbita circular de mayor altura a través de una órbita semielíptica de transferencia. El motor proporciona a la nave dos impulsos de pequeña duración. El primero, para colocarla en la órbita de transferencia y el segundo, para situarla en la órbita circular de destino. En esta página, se va a describir, una órbita de transferencia en forma de espiral logarítmica que une dos órbitas circulares de distinto radio. Para que la nave siga esta trayectoria solamente es necesario un motor que proporcione una aceleración relativamente pequeña a lo largo del viaje y que va disminuyendo a medida que la nave se aleja del centro de fuerzas. Como ejemplo significativo, vamos a describir el viaje de una nave espacial desde las proximidades de la Tierra (pero fuera de su esfera de influencia) hasta las proximidades del planeta Marte. En color negro, se muestra la trayectoria espiral de la nave espacial.
Posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares
En coordenadas polares, un eje tiene la dirección radial y el otro eje, la dirección perpendicular a la radial, tal como se muestra en la figura.
Derivando con respecto del tiempo
La aceleración se expresa en coordenadas polares
La espiral logarítmicaLa espiral logarítmica es una de las curvas notables o maravillosas junto a la catenaria, la cicloide, etc. La ecuación de la espiral logarítmica en coordenadas polares es r=r0·exp(b·θ) Donde r0 es el radio inicial, b es un parámetro, y θ es el ángulo en radianes.
La principal característica de la espiral logarítmica es que el radio vector r, y la tangente a la espiral forman un ángulo Ψ que se mantiene constante. La velocidad v de la partícula que describe una espiral logarítmica es
Calculamos el ángulo Ψ entre los vectores v y r, empleando la definición de producto escalar de dos vectores.
Cuando b→0, Ψ→π/2 y r→r0, la espiral logarítmica se convierte en una circunferencia de radio r0. Longitud de un arco de la espiral logarítmicaLa longitud de un arco infinitesimal ds es el módulo del vector desplazamiento dr.
La longitud del arco de espiral logarítmica entre θ=0 y θ es
Ecuaciones del movimientoSupondremos que el motor de la nave espacial de masa m proporciona una fuerza de empuje F que tiene la misma dirección que la velocidad de la nave, es decir, es tangente a la trayectoria. Las fuerzas que actúan sobre la nave espacial son:
En coordenadas polares, la ecuación del movimiento se escribe
Como la ecuación de la trayectoria es r=r0·exp(θ·cotΨ), calculamos la derivada primera y segunda de r con respecto del tiempo t
Introducimos estas expresiones en las ecuaciones del movimiento
Despejamos rd2θ/dt2 en la segunda ecuación y la introducimos en la primera, se obtiene la ecuación
Sabiendo que la ecuación de la trayectoria es r=r0·exp(θ·cotΨ), integramos esta ecuación diferencial para obtener la variación del ángulo θ con el tiempo t.
Teniendo en cuenta que la derivada primera de r respecto del tiempo t es
Transformamos la ecuación diferencial en θ en una ecuación diferencial similar en r.
Integramos esta ecuación diferencial para obtener la variación del radio r con el tiempo t.
Las ecuaciones paramétricas (en función del tiempo t) de la trayectoria son
Velocidad de la nave espacialEl módulo de la velocidad de la nave espacial en coordenadas polares es
es igual a la velocidad de una nave espacial que describa una órbita circular de radio r. Fuerza de empuje sobre la nave espacialLa segunda ecuación del movimiento, nos permite calcular el módulo de la fuerza F de empuje de los motores de la nave.
Conocemos la expresión de la derivada primera dθ/dt y calculamos la derivada segunda d2θ/dt2 del ángulo θ respecto del tiempo t. Para ello, combinamos las ecuaciones
r=r0·exp(θ·cotΨ), para obtener la expresión
Derivando con respecto del tiempo, y teniendo en cuenta que el segundo miembro es constante.
Ahora, se despeja de la segunda ecuación del movimiento la fuerza de empuje
El empuje F necesario para que la nave espacial describa una trayectoria en forma de espiral logarítmica va disminuyendo de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al Sol. Su dirección es la misma que la velocidad (tangente a la trayectoria).
Tiempo de viajeEl tiempo de viaje T a un planeta que dista r del Sol es
La posición angular θ de la nave espacial en función del tiempo t es
Introducimos el valor del tiempo de viaje t=T, obtenemos después de simplificar
Ejemplo
Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme calculamos la velocidad angular de Marte en su órbita circular alrededor del Sol.
ωM=1.055·10-7 rad/s=0.5225º/día Cálculos similares se realizan para obtener la velocidad angular de la Tierra ωT en su órbita circular alrededor del Sol. Si queremos que el viaje de la nave espacial entre la Tierra y Marte se realice en T=3 años=36 meses=1080 días. De la fórmula del tiempo T de viaje, obtenemos el valor del ángulo Ψ=88.2º. El desplazamiento angular de la nave espacial es θf=13.3 rad=761º Si la posición inicial (en el instante t=0) del planeta Marte es φ0M, su posición cuando llega la nave espacial a las proximidades de su órbita circular, al cabo de un tiempo T es φM=φ0M+ωMT La nave espacial parte de la Tierra en el instante t=0, cuando su posición es φ0T Para llegar a la órbita de Marte, la nave se desplaza un ángulo θf. Su posición angular final será φ0T+ θf Para que la posición de la nave espacial y de Marte coincidan se tiene que cumplir la igualdad φ0T+ θf=φ0M+ωMT La diferencia entre las posiciones angulares de la Tierra y de Marte en el momento del lanzamiento de la nave espacial (t=0) deberá ser de φ0T - φ0M =ωMT- θf En la figura, se muestra las posiciones de la Tierra y Marte en el momento de partida de la nave espacial para un viaje de 3 años.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Nuevo Se calcula el intervalo angular (φ0T - φ0M) entre las posiciones de la Tierra y de Marte en el momento de la partida de la nave espacial, tal como se ha hecho en el ejemplo. Se pulsa el botón titulado Lanzar. Si la nave no llega a Marte, se pulsa el botón titulado Nuevo y se vuelve a intentar En la parte derecha del applet, se nos proporciona los valores del tiempo (en días), la posición angular y la velocidad de los tres cuerpos: la nave espacial, la Tierra y Marte. Observamos que la nave espacial parte de las proximidades de la Tierra con su misma velocidad orbital y llega a las proximidades de Marte con su misma velocidad orbital. |
Bacon R. H. Logarithmic spiral: An ideal trajectory for interplanetary vehicle with engines of low sustained thrust. Am. J. Phys. 27 (1959), pp. 164-165.
Trayectoria espiral
