Dinámica celeste |
Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación Fuerza central y conservativa Ecuación de la trayectoria Solución numérica de las ecuaciones Trayectorias hiperbólicas
Encuentros espaciales Trayectoria espiral Encuentro de una sonda espacial con Júpiter Orbitas de la misma energía Trayectoria de un proyectil (I) Trayectoria de un proyectil (II) Movimiento relativo Caída de un satélite en órbita hacia la Tierra. Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación El problema de Euler Viaje a la Luna |
Descripción | |
| Supongamos que queremos enviar una nave espacial desde la órbita de un planeta a la de otro o bien, elevar un satélite de comunicaciones desde una órbita circular ecuatorial de baja altura a otra órbita coplanar y circular de mayor altura. Para economizar el combustible, es necesario que la nave espacial siga una trayectoria semielíptica denominada órbita de transferencia de Hohmann para lo que es necesario proporcionarle dos impulsos:
DescripciónPara resolver el problema propuesto, solamente es necesario hacer uso de las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción que hemos estudiado en páginas anterirores, y de la dinámica del movimiento circular uniforme. Órbita circular interior
La energía E1 de la nave espacial en la órbita circular inicial es
la mitad de la energía potencial Órbita semielíptica de transferencia Para calcular la velocidad que debe llevar la nave espacial en el punto A para que alcance la órbita exterior en B, basta aplicar las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción.
Por la propiedad de la fuerza central, el momento angular es constante y por tanto, tiene el mismo valor en A que en B
Por la propiedad de fuerza conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria, y en particular es la misma en A que en B.
Conocidos rA y rB podemos calcular en este par de ecuaciones las incógnitas v’A y vB.
La energía de la nave espacial es constante en todos los puntos de la trayectoria e igual a
La energía que hemos de suministrar al satélite en la posición A para que pase de la órbita circular a la trayectoria de transferencia es la diferencia E2-E1 o bien,
Órbita circular exterior Una vez que la nave espacial llega al punto B, ha de cambiar su velocidad para seguir la trayectoria circular de radio rB. De nuevo, aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme tenemos.
La energía E3 de la nave espacial en la órbita circular final es
La energía que hemos de suministrar al satélite para que pase de la órbita de transferencia elíptica a la órbita circular de radio rB es la diferencia E3-E2 o bien,
El tiempo que tarda la nave espacial en pasar del punto A al punto B principio y fin de la trayectoria de transferencia, es la mitad del periodo P.
Siendo a, el semieje mayor de la elipse.
Combustible gastado por la nave espacial Supondremos que la nave espacial cambia de velocidad en los puntos A y B mediante sendos impulsos, de duración muy corta, por lo que no tendremos en cuenta la acción del peso. Al estudiar la dinámica de un cohete, calculamos la cantidad de combustible m0-m que ha de gastar una nave espacial para incrementar su velocidad en v-v0
donde u es la velocidad de escape de los gases al quemarse el combustible, m0 es la masa inicial y m es la masa final y Δv=v-v0 es la variación de velocidad. La variación total de velocidad que experimenta la nave espacial en los puntos A y B es la suma
A partir de la expresión (4), podemos hallar la masa final m conocida la masa inicial m0, y el cambio de velocidad Δv que experimenta la nave espacial al pasar de la órbita interior a la exterior.
EjemploPara situar un satélite de comunicaciones en órbita geosíncrona a 35770 km de altura sobre la superficie terrestre se emplea un remolcador espacial. Sabiendo que inicialmente el remolcador describe una órbita circular a 350 km de altura, determinar
Datos
En primer lugar, transformamos las alturas de las órbitas en distancias al centro de la Tierra, rA=(350+6370)·1000 m, rB=(35770+6370)·1000 m.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio Podemos ver a la nave espacial, representada por un pequeño círculo de color negro, describiendo la órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad vA que tiene la nave en dicha órbita se muestra en el control de edición titulado Velocidad-A. Se introduce
Se pulsa el botón titulado Lanzar. Si la nave espacial no llega a la órbita exterior o la sobrepasa, se debe de intentar de nuevo la operación. Cuando la nave espacial alcanza la órbita exterior en el punto B, se muestra la velocidad de la nave vB en dicha posición en el segundo control de edición titulado Velocidad-B. Se introduce
Se pulsa el botón titulado Situar. Si no tiene éxito la operación, se traza la trayectoria elíptica seguida por la nave espacial. Si tiene éxito, se podrá ver a la nave espacial describiendo la órbita circular exterior. En la parte superior izquierda del applet, se muestra el tiempo trascurrido desde el lanzamiento de la nave espacial, y la velocidad a medida que describe la órbita de transferencia. En la parte derecha del applet, se muestra la energía potencial, la cinética y total de la nave espacial. La energía total se expresa en unidades de 106 J. Fijarse que la energía total de la nave en órbita circular es la mitad de su energía potencial. Nota: Al resolver numéricamente las distintas situaciones se debe tener en cuenta que en los controles de edición situados a la izquierda y titulados Altura (km) se introducen las alturas (no los radios) de las órbitas sobre la superficie de la Tierra. Para realizar los cálculos, tenemos que sumarle a dichas cantidades el radio de la Tierra 6370 km y pasar el resultado a metros.
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Órbita de transferencia
(1)
(2)
(3)
(4)