Dinámica celeste |
Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación Fuerza central y conservativa Ecuación de la trayectoria Solución numérica de las ecuaciones Trayectorias hiperbólicas Órbita de transferencia Encuentros espaciales Trayectoria espiral Encuentro de una sonda espacial con Júpiter
Trayectoria de un proyectil (I) Trayectoria de un proyectil (II) Movimiento relativo Caída de un satélite en órbita hacia la Tierra. Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación El problema de Euler Viaje a la Luna |
 Descripción |
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El movimiento posterior de los fragmentos, se debe únicamente a la fuerza de atracción de la Tierra y por tanto, describirán órbitas elípticas si su energía total es negativa.
Descripción
Todos los fragmentos tienen la misma energía E, pero distinto momento angular L En una página previa, demostramos que el semieje mayor a es independiente del momento angular L, y solamente depende de la energía total E.
Todos los fragmentos tienen el mismo semieje mayor a. Por la tercera ley de Kepler el periodo de todos los fragmentos será el mismo. Todos los fragmentos salen a la vez del mismo punto y regresan después de un tiempo igual al periodo al mismo punto. Vamos a estudiar ahora los distintos casos que pueden presentarse dependiendo del ángulo de lanzamiento. Cuando el ángulo φ=0
Cuando el ángulo φ=180º
Cuando el ángulo φ=90º
Cuando el ángulo es φ
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza No se aceptan valores de v0 y r0 que den lugar:
Si se cumple alguno de estos tres casos, el foco regresa al control de edición titulado Velocidad, para que el usuario cambie los valores de estos dos parámetros. En el caso de que los dos valores sean aceptados, se observa las trayectorias de los fragmentos cuya velocidad forma ángulos de 30º, 60º, 90º, 120º y 150º con el radio vector. Observamos que todas las trayectorias tienen el mismo eje mayor y por tanto, los fragmentos se vuelven a encontrar en el punto de partida transcurrido un periodo P. EjemplosPara resolver estos ejemplos se adopta un Sistema de Unidades tal que GM=1 Supongamos que introducimos los siguientes valores
Cuando el ángulo es φ=0.
Cuando φ=90.
Cuando el ángulo es φ=30.
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Ecuación de la trayectoria
Los parámetros d y ε (excentricidad) están relacionados con el momento angular L y la energía E de la partícula
En este apartado, vamos a determinar la ecuación de la elipse que describe una partícula que dista r0 del centro de fuerzas, disparada con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo φ entre dicha velocidad y la línea que une el centro fuerzas y el punto de disparo, tal como se muestra en la figura.
Por ser la fuerza de atracción conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria y vale
Por ser la fuerza de atracción central, el momento angular es constante en todos los puntos de la trayectoria. L=mr0·v0·senφ
La ecuación de una elipse girada un ángulo θg es
r y θ son las coordenadas polares de la partícula, la distancia al origen y el ángulo que forma el radio vector que une el centro de fuerzas y la partícula con el eje X, respectivamente. θg es el ángulo que forma el eje mayor de la elipse con el eje X, que se calcula del siguiente modo: cuando θ=0, r=r0
Conocida la energía E y del momento angular L, determinamos los valores de los parámetros d y ε de la elipse.
Definimos el parámetro adimensional
En función de este parámetro
A medida que el ángulo de disparo cambia, 0<φ<π, la excentricidad de la elipse varía
Como caso particular mencionaremos, que cuando A=2, o cuando la velocidad de disparo es
la trayectoria es una circunferencia, ε=0, de radio r0. La ecuación de la elipse girada un ángulo θg es
Simplificando, llegamos a la ecuación
Envolvente de las elipsesAl variar el ángulo φ con el que se dispara la partícula, la ecuación de la envolvente de las trayectorias elípticas se obtiene derivando con respecto a φ e igualando a cero.
Simplificando llegamos a la expresión
Introducimos esta expresión en la ecuación de la elipse, teniendo en cuenta la relación trigonométrica
realizando algunas operaciones
y despejando r, obtenemos la ecuación de la elipse
Actividades
Se pulsa el botón titulado Dibuja Se dibuja las trayectorias elípticas de las partículas disparadas con ángulos φ=30º, 60º, 90º, 120º, 150º. Se dibuja también la envolvente de dichas elipses.
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Butikov E. Families of Keplerian orbits. Eur. J. Phys. 24 (2003) pp. 175-183
Laporte O., On Kepler ellipses starting from a point of space. Am. J. Phys. 38 (7) July 1970, pp. 837-840
Orbitas de la misma
energía
