Dinámica celeste |
Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación Fuerza central y conservativa Ecuación de la trayectoria Solución numérica de las ecuaciones Trayectorias hiperbólicas Órbita de transferencia Encuentros espaciales Trayectoria espiral Encuentro de una sonda espacial con Júpiter Orbitas de la misma energía Trayectoria de un proyectil (I)
Movimiento relativo Caída de un satélite en órbita hacia la Tierra. Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación El problema de Euler Viaje a la Luna |
Ecuación de la trayectoria | |||||||||||||
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En el capítulo de Cinemática estudiamos el movimiento de los proyectiles que describen trayectorias parabólicas en el plano horizontal local, suponiendo que la aceleración de la gravedad es constante. En la página titulada “El descubrimiento de la Ley de la Gravitación Universal”, observamos que un proyectil disparado desde una cierta altura describe una trayectoria elíptica en uno de cuyos focos está el centro de la Tierra. Las trayectorias parabólicas son aproximaciones de trayectorias elípticas, cuando el alcance y la altura máxima del proyectil son muy pequeños en comparación con el radio de la Tierra. Supondremos también que la Tierra no gira sobre su eje. El efecto de la rotación de la Tierra se describirá en la página titulada “Desviación hacia el este de un cuerpo que cae”. En esta página, vamos a determinar la trayectoria que sigue el proyectil que es disparado desde una altura h, con velocidad inicial v0 haciendo un ángulo φ con la dirección radial. A lo largo de esta página, necesitaremos los siguientes datos:
Ecuación de la trayectoria
Si la energía del proyectil es negativa E<0 su trayectoria es una elipse, su excentricidad ε<1. Conocido d y ε, se calcula el semieje mayor a, que es la media aritmética de los radios mínimo (θ=0) y máximo (θ=π) de la elipse.
La semidistancia focal, c=ε·a El semieje menor b de la elipse
Velocidad del proyectil en el punto de impactoComo la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria, la velocidad v con la que impacta el proyectil en la superficie de la Tierra es independiente de la masa m del proyectil y del ángulo de disparo. Se obtiene poniendo r=R (radio de la Tierra) en la ecuación de la energía, y despejando la incógnita v
Tiempo de vueloPara calcular el tiempo de vuelo, vamos a utilizar el mismo procedimiento que empleamos para deducir la fórmula del periodo de un planeta, a partir de la ley de las áreas. El momento angular en coordenadas polares se escribe
Integrando
El primer miembro, es el área barrida por el radio vector cuando se mueve desde la posición angular θ, a la posición θ=π. Despejando t se obtiene.
Vamos ahora a estudiar los distintos casos que se pueden presentar
El ángulo de disparo es φ=0º.
La máxima altura que alcanza, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de la energía y se despejando la incógnita r.
No podemos calcular de forma simple el tiempo que tarda el proyectil en impactar sobre la superficie de la Tierra ya que la aceleración no es constante. Ejemplo Lanzamos un proyectil desde la altura h=6000 km con velocidad inicial v0= 4500 m/s en la dirección radial r0=6.0·106+6.37·106 m
El ángulo de disparo es φ=180º.
Ejemplo Lanzamos un proyectil desde la posición r0=6.0·106+6.37·106 m con velocidad inicial v0= 4500 m/s en la dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra
El ángulo de disparo es φ=90º.Alcance máximo
El alcance máximo se produce cuando el perigeo es R, y el apogeo es r0=h+R. Como el momento angular y la energía son constantes en todos los puntos de la trayectoria y en particular, en el perigeo y en el apogeo, tenemos que
Los datos son r0 y R y las incógnitas v y v0. La velocidad de disparo es
Ejemplo: Sea h=6000 km o bien, la distancia a lo largo de la dirección radial es r0=12.37·106 m Calculamos la velocidad de disparo, v0=4681.969 m/s El semieje mayor de la elipse es a=(R+r0)/2=14.37·106 m El tiempo de vuelo es la mitad del periodo
t=P/2=4512 s Posición del punto de impacto
Como vemos en la figura, el proyectil sale de la posición θ=π, e impacta en la posición θ=π-α cuando r=R. Poniendo r=R en la ecuación de la trayectoria, despejamos el ángulo θ.
Ejemplo: Continuando con los mismos datos de los casos anteriores:
Obtenemos los valores del momento angular y de la energía del proyectil L=5.57·1010 m kgm2/s Conocida la energía y el momento angular, se determina la ecuación de la trayectoria, el valor del parámetro d y la excentricidad ε ε=0.372 Con estos datos, poniendo r=6.37·106 m en la ecuación de la trayectoria obtenemos el ángulo θ=0.934 rad. La distancia angular entre el punto de impacto y la posición de disparo es α=π-0.934=2.20 rad Denominado alcance a la longitud del arco s de circunferencia de la Tierra que corresponde a esta distancia angular, s=R·α=14.03·106 m Tiempo de vuelo
El área sombreada es el área barrida por el radio vector entre las posiciones angulares θ y π. En otras palabras, es la porción de elipse comprendida entre x y a menos el área del triángulo de base R·cosθ y altura R·senθ, siendo x=-c-R·cosθ Sabiendo que la ecuación de la elipse es
donde a es el semieje mayor de la elipse, b el semieje menor, y c la semidistancia focal. El área de la porción de elipse comprendida entre x y a es
Para integrar, se ha hecho el cambio de variable x=a·sen z. Los nuevos límites de integración son:
El área sombreada vale, por tanto
Para calcular el área necesitamos los siguientes datos
A continuación, obtenemos z1 que es a función del ángulo θ=0.934 rad de la posición de impacto. Después de hacer algunas operaciones con la calculadora obtenemos el valor del área barrida por el radio vector A=1.022·1014. Finalmente, el tiempo de vuelo t es
El ángulo de disparo es φ<90ºTrayectoria
Continuando con los datos de los casos anteriores
La energía del proyectil no cambia, pero cambia el momento angular L=2.78·1010 m kgm2/s Conocida la energía y el momento angular se determina la ecuación de la trayectoria, el valor del parámetro d y la excentricidad ε ε=0.886 Con estos datos calculamos el ángulo girado por el eje mayor de la elipse β=2.83 rad. Posición del punto de impacto
Como vemos en la figura, calculamos el ángulo de impacto poniendo en la ecuación de la elipse r=R, lo que nos da el ángulo θ señalado en la figura, del mismo modo que en el caso anterior
Relacionamos los ángulos θ, α y β. para calcular la distancia angular α entre el punto de impacto y la posición de disparo. α=2π-θ-β Ejemplo: con los datos anteriores θ=2.47, y β=2.83 rad, la distancia angular α=0.981 rad (56.2º) Tiempo de vuelo
El tiempo de vuelo es proporcional a la suma de las áreas sombreadas de elipse Las áreas se calculan como en el caso anterior. En primer lugar, necesitamos los valores de los parámetros de la elipse:
Calculamos el área de la porción de elipse por encima del eje mayor, que es el área barrida por el radio vector desde la posición angular θ=2.47 hasta θ=π. Necesitamos conocer previamente, z1, que es a su vez función del ángulo θ de la posición de impacto. -R·cosθ-c=a·sen z1
El resultado es A1=5.1786·1013 Calculamos el área por debajo del eje mayor barrida por el radio vector desde la posición angular β=2.83 rad hasta β =π. Necesitamos conocer previamente, z1, que es a su vez función del ángulo β=2.83 rad que reemplaza al ángulo θ en la fórmula del área y r0 reemplaza a R -r0·cosβ-c=a·sen z1
El resultado es A2=3.6620·1013 El tiempo de vuelo es
El ángulo de disparo es φ>90º.Trayectoria
Como vemos en la figura, la trayectoria que sigue el proyectil es una elipse, pero que está girada un ángulo β. Este ángulo se calcula poniendo r=r0 en la ecuación de la trayectoria
Con estos datos calculamos el ángulo β=2.83 rad (color rojo) que gira el eje mayor de la elipse que es la solución que tomamos en el caso anterior, pero también es solución el ángulo β=2π-2.83=3.45 rad.(color azul) Posición del punto de impacto
En el apartado anterior, calculamos el ángulo de impacto poniendo en la ecuación de la elipse r=R, lo que nos daba el ángulo θ=2.47 rad
Relacionamos los ángulos θ, α y β. para calcular el ángulo de impacto α. α+θ+β-π =π o bien, α=2π-β-θ=0.36 rad (20.4º) que es la misma relación que obtuvimos en el caso anterior. Tiempo de vuelo
Estas dos áreas coinciden con las áreas A1 y A2 calculadas en el caso anterior El tiempo de vuelo es
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se excluyen los ángulos 0, y 180º ya que su análisis es más simple y dan lugar, a errores por desbordamiento en la rutina principal de cálculo. Se observa el movimiento del proyectil, y se proporcionan los datos de la distancia angular entre el punto de impacto sobre la superficie de la Tierra y el lugar del lanzamiento, así como el tiempo de vuelo empleado por el proyectil. Si la velocidad es grande, puede ocurrir que el proyectil se ponga en órbita alrededor de la Tierra. Como ejercicios se sugiere,
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Trayectoria de un
proyectil (II)
