Dinámica celeste |
Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación Fuerza central y conservativa Ecuación de la trayectoria Solución numérica de las ecuaciones Trayectorias hiperbólicas Órbita de transferencia Trayectoria espiral Encuentros espaciales Encuentro de una sonda espacial con Júpiter Orbitas de la misma energía Trayectoria de un proyectil (I) Trayectoria de un proyectil (II) Movimiento relativo Caída de un satélite en órbita hacia la Tierra. Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación El problema de Euler Viaje a la Luna |
Movimiento circular de la nave espacial
alrededor de la Tierra Movimiento del cuerpo que está a una cierta altura sobre la nave espacial Posición relativa del cuerpo respecto de la nave espacial Movimiento de un cuerpo que se lanza desde la nave espacial Descripción del movimiento relativo del cuerpo. Solución numérica. Una solución analítica sencilla |
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Hemos estudiado que las naves espaciales describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el centro de la Tierra. Supongamos que una nave espacial describe una órbita circular de radio r0. En un momento dado, se lanza un cuerpo con una velocidad u relativa a la nave espacial en cualquier dirección, contenida en el plano de su órbita. Supondremos el cuerpo es pequeño de modo que su lanzamiento no altera apreciablemente la trayectoria circular de la nave espacial. Vamos a comprobar la complejidad de las trayectorias que describe el cuerpo visto por un astronauta que viaja en la nave espacial. Finalmente, efectuaremos algunas aproximaciones para describirlas de forma analítica
Movimiento circular de la nave espacial alrededor de la Tierra
donde G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y M=5.98·1024 kg es la masa de la Tierra y R=6.37·106 m es su radio. Ejemplo: Supongamos que la nave espacial describe una órbita circular a una altura de 4000 km por encima de la superficie de la Tierra r0=6.37·106+4.0·106 =10.37·106 m El tiempo que tarda en dar una vuelta es P0=2πr0/v0=10506 s
Movimiento del cuerpo que está a una cierta altura sobre la nave espacialConsideremos primero, el caso más simple, el movimiento de un cuerpo que está a una distancia h de la nave espacial medida a lo largo de la dirección radial y que en el instante inicial, tiene su misma velocidad. Se suelta el cuerpo y comprobamos que ambos se mueven en órbitas distintas. Vamos a considerar dos casos que h sea positiva, la altura del cuerpo sea mayor que el de la nave espacial, y que h sea negativa, la altura del cuerpo sea menor que la de la nave espacial. La constancia del momento angular y de la energía del cuerpo nos permiten calcular la distancia máxima o mínima r2 y su velocidad v2, conocidas la distancia mínima o máxima r1=r0+h y su velocidad v1=v0.
El semieje mayor de la elipse es a=(r1+r2)/2 y el periodo P, o tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa es En la figura, vemos la trayectoria seguida por un cuerpo sujeto a la nave espacial y que se suelta en el instante inicial con la misma velocidad v0 que lleva la nave. En la figura de la izquierda, la altura del objeto es menor que el de la nave espacial, h<0, el cuerpo va por delante de la nave. En la figura de la derecha, la altura del objeto es mayor que el de la nave espacial, h>0, el cuerpo va por detrás de la nave. Ejemplo:
Posición relativa del cuerpo respecto de la nave espacialLa posición del cuerpo respecto del Sistema de Referencia Inercial situado en el centro de la Tierra es x=r·cos(θ) donde r y θ son funciones del tiempo t, véase la ecuación de la trayectoria
En el Sistema de Referencia no Inercial el eje X' es la dirección radial, y el eje Y' es la dirección tangente a la circunferencia de radio r0. Si x'>0 el cuerpo está por encima de la nave espacial, y si x'<0 el cuerpo está por debajo. Si y'>0 el cuerpo se mueve por delante y si y'<0 el cuerpo se mueve detrás de la nave espacial.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza En la parte izquierda del applet, se representa el movimiento de los dos cuerpos alrededor de la Tierra:
A la derecha del applet, se representa la trayectoria seguida por el cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial.
Las distancias tanto en el eje horizontal Y' como en el vertical X' están expresadas en km. Para poder ver adecuadamente la trayectoria, se puede elegir la escala en el control de selección titulado Escala y a continuación, se pulsa el botón titulado Empieza. |
Movimiento de un cuerpo que se lanza desde la nave espacialSupongamos que un cuerpo de pequeña masa se lanza desde una nave espacial con velocidad relativa u y haciendo un ángulo α respecto del eje X' (dirección radial).
La velocidad v del cuerpo y su dirección φ respecto al Sistema Inercial de Referencia situado en el centro de la Tierra, se calculan sumando los vectores v=u+v0 de la figura. Sus componentes son: vx=u·cosα El módulo de la velocidad resultante v y su dirección φ son:
La ecuación de la trayectoria del cuerpo de masa m está determinada por la energía y el momento angular
La trayectoria es independiente de la masa m del cuerpo y es una elipse si E<0, cuyo semieje mayor está girado un cierto ángulo que se calcula poniendo r=r0 en la ecuación de la trayectoria y despejando el ángulo θ. Véase las páginas tituladas "Órbitas de la misma energía", "Trayectoria de un proyectil disparado desde una altura h sobre la superficie de la Tierra" y "Choque de un meteorito con la Tierra".
Ejemplo: Sea r0=6.37·106+4.0·106, (4000 km de altura sobre la superficie de la Tierra)
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza En la parte izquierda del applet, se representa el movimiento de los dos cuerpos alrededor de la Tierra:
A la derecha del applet, se representa la trayectoria seguida por el cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial.
Las distancias tanto en el eje horizontal Y' como en el vertical X' están expresadas en km. Para poder ver adecuadamente la trayectoria, se puede elegir la escala en el control de selección titulado Escala, y a continuación se pulsa el botón titulado Empieza.
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Descripción del movimiento relativo del cuerpo. Solución numérica.El cuerpo de masa m está sometido a una fuerza atractiva F cuya dirección es radial y apuntando hacia el centro de la Tierra. El módulo de la fuerza viene dado por la ley de la Gravitación Universal
Siendo r la distancia entre el centro del cuerpo y el centro de la Tierra, y x e y su posición respecto del Sistema de Referencia Inercial cuyo origen está situado en el centro de la Tierra.
Aplicando la segunda ley de Newton, y expresando la aceleración como derivada segunda de la posición, tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Las relaciones entre las coordenadas del cuerpo medidas en el Sistema de Referencia Inercial (x, y) y las medidas en el Sistema de Referencia no Inercial (x’, y’) son x=x’cos(ωt)-y’sen(ωt) Calculamos las derivadas segundas de x y de y respecto del tiempo t, d2x/dt2 y d2y/dt2, obtenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales en términos de x’ e y’ y de sus derivadas. Multiplicamos la primera ecuación por cos(ωt) y la segunda por sen(ωt) y las sumamos. Obtenemos la ecuación diferencial Multiplicamos la primera ecuación por -sen(ωt) y la segunda por cos(ωt) y las sumamos. Obtenemos la ecuación diferencial Los dos términos que han aparecido en la parte izquierda de la ecuación diferencial representan las pseudofuerzas por unidad de masa, denominadas de Coriolis y centrífuga. Dadas las condiciones iniciales (posición y velocidad inicial), el sistema de dos ecuaciones diferenciales se puede integrar aplicando un procedimiento numérico.
Como la nave espacial dista r0 del centro de la Tierra, la posición del cuerpo vista por un astronauta que viaja en la nave espacial tiene por abscisa x’-r0 y por ordenada y’, véase la figura del apartado "Posición relativa del cuerpo respecto de la nave espacial"
Una solución analítica sencillaUn astronauta que sale de la nave espacial adquiere su velocidad relativa mediante el impulso de pequeños cohetes situados en su mochila, o mediante la acción de los músculos de sus brazos o sus piernas apoyados en el exterior de la nave. En ambos casos, la velocidad relativa u del astronauta respecto de la nave espacial es muy pequeña comparada con la velocidad v0 de la nave, y el tiempo que tarda en moverse de un lugar a otro es muy pequeño comparado con el periodo P0 o tiempo que tarda la nave en completar una órbita. En la siguiente tabla, se proporcionan algunos datos.
Sin embargo, como vamos a comprobar en este apartado, la desviación de la trayectoria seguida por el astronauta u otro cuerpo cualquiera respecto de la rectilínea es muy acusada incluso para pequeños desplazamientos. De nuevo, consideramos que la nave espacial se mueve en una órbita circular de radio r0. En el Sistema de Referencia (S. R.) Inercial cuyo origen es el centro de la Tierra, la posición de la nave espacial viene dada por el vector r0, de módulo r0 constante y que gira con velocidad angular constante ω=v0/r0. La posición del cuerpo está indicada por el vector r. Describimos el movimiento del astronauta en el S. R. no Inercial con origen en la nave y cuyos ejes son la dirección radial y tangencial, respectivamente. Estos ejes que denominaremos X’ e Y’ giran con velocidad angular ω, vistos desde el S. R. Inercial situado en la Tierra, véase el apartado titulado "Descripción del movimiento del cuerpo. Solución numérica" Las fórmulas que relacionan la velocidad v’ y de la aceleración a’ medidas en el S. R. no Inercial con la velocidad v y aceleración a medidas en el S. R. Inercial son las siguientes: ω=ωk es el vector velocidad angular de rotación cuya dirección (eje Z) es perpendicular al plano de la órbita y cuyo sentido apunta hacia el lector, si la nave espacial gira en sentido antihorario, v’ es la velocidad del astronauta en el S. R. no Inercial. Por razón de simplicidad, restringiremos el movimiento del cuerpo al plano de la órbita de la nave. Para obtener una expresión analítica sencilla, supondremos que las fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza centrífuga son iguales y opuestas en las proximidades de la órbita circular de radio r0, en la que se va a mover el cuerpo. Esta es la razón de la sensación de carencia de peso que experimenta un astronauta en el interior de la nave y por la cual, observamos a éstos moverse libremente. Supondremos por tanto, que la única aceleración que afecta al cuerpo en el S. R. ligado a la nave es la de Coriolis. La aceleración a’ del astronauta en el S. R. no Inercial es a’≈-2ωk×(vx’i+vy’j)=2ωvy’i-2ωvx’j En forma de ecuación diferencial, escribiremos Derivando de nuevo con respecto del tiempo, se desacoplan las dos ecuaciones diferenciales Tenemos dos ecuaciones diferenciales cuya solución es similar a la de un Movimiento Armónico Simple (MAS) pero en la velocidad (no en la posición). vx’=Asen(2ωt)+Bcos(2ωt) Los coeficientes A, B, C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, el cuerpo sale del origen x’=0, y’=0 con velocidad inicial v0x’=u·cosα, v0y’=u·senα, y cuyas componentes de la aceleración (derivada de la velocidad) inicial son a0x’=2ωv0y’ y a0y’= -2ωv0x’ Integramos de nuevo, teniendo en cuenta que el cuerpo sale del origen x’=0, y’=0 en el instante t=0. Casos particulares
En la figura, se muestra las trayectorias seguidas por un cuerpo que el lanzado en el interior de la nave espacial con una velocidad de 0.3 m/s en varias direcciones. La nave espacial se encuentra describiendo una órbita circular 400 km de altura. La flecha de color rojo señala la dirección y sentido del movimiento de la nave espacial. Cuanto menor es la velocidad del cuerpo, y cuanto mayor es la velocidad angular de la nave espacial más se desvía la trayectoria seguida por el cuerpo de la rectilínea.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza El applet representa una estación espacial de 100 m de longitud. Se lanza un cuerpo desde el centro de la nave en una determinada dirección. La recta de color rojo, señala la trayectoria que seguiría el cuerpo en una nave espacial situada en una región libre de fuerzas. La curva en color azul señala la trayectoria del cuerpo cuya dirección de la velocidad es desviada por la aceleración de Coriolis. Podemos medir la desviación que experimenta el astronauta y la influencia de la altura de la nave espacial o de su distancia al centro de la Tierra, r0, la dirección α de la velocidad inicial y el módulo u de dicha velocidad.
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Una solución analítica más completaLa solución dada en el apartado anterior es válida solamente
En este apartado, presentamos una solución que no realiza unas aproximaciones tan drásticas y por tanto, hacen que su validez sea más general. La fórmula que relaciona la aceleración a’ medidas en el S. R. no inercial con la aceleración a medida en el S. R. inercial es la siguiente:
La relación entre los tres vectores es r=r0+r’, La aceleración a’ se escribe Si la distancia entre el cuerpo y la nave espacial se mantiene pequeña comparada el radio r0 de la órbita de la nave espacial, podemos desarrollar en serie, la aceleración de la gravedad y despreciar los términos en (r’/r0)2. El módulo del vector r=r0+r’, es El módulo de la aceleración de la gravedad se aproxima a La aceleración a' del cuerpo en el S. R. no Inercial es En una órbita circular de radio r0, la fuerza centrífuga y la fuerza de atracción se anulan, de modo que se cancelan el primer y sexto término de la larga expresión de la aceleración a’ y además, se desprecia el cuarto término en r’2/r0 La compensación de la fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza centrífuga producen el sentido de ingravidez que experimentan los astronautas en una nave espacial La aceleración a’ del cuerpo en el S.R. no Inercial se puede aproximar a
Restringiendo el movimiento del cuerpo al plano de la órbita, se calculan los productos vectoriales de los vectores: r’=x’i+y’j Resultando el sistema de ecuaciones diferenciales Derivando la primera ecuación diferencial, y sustituyendo la segunda en la primera, desacoplamos el sistema de dos ecuaciones diferenciales Tenemos una ecuación diferencial cuya solución es similar a la de un Movimiento Armónico Simple (MAS) pero en la velocidad (no en la posición) vx’=Asen(ωt)+Bcos(ωt) Los coeficientes A, B, se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, el cuerpo sale del origen x’=0, y’=0 con velocidad inicial v0x’=u·cosα, v0y’=u·senα y cuyas componentes de la aceleración inicial son a0x’=2ωv0y’ y a0y’=-2ωv0x’ vx’=2v0y’sen(ωt)+v0x’cos(ωt) o bien, Integramos de nuevo, teniendo en cuenta que el cuerpo sale del origen x’=0, en el instante t=0 Integramos la segunda ecuación diferencial El resultado es Se integra de nuevo, con la condición inicial de que x’=0, en el instante t=0. Casos particulares
En la figura, vemos que la trayectoria en este caso es compleja. A la izquierda, vemos su evolución durante los primeros instantes y a la derecha, durante algo menos de dos periodos de revolución de la nave espacial.
ReferenciasButikov E. I. Relative motion of orbiting bodies. Am. J. Phys. 69 (1) January 2001, pp. 63-67 Freedman R. A., Helmy I., Zimmerman P. D. Simplified navigation for self-propelled astronauts. Am. J. Phys. 43 (5) May 1975, pp. 438-440 |