Dinámica celeste |
Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación Fuerza central y conservativa Ecuación de la trayectoria Solución numérica de las ecuaciones Trayectorias hiperbólicas Órbita de transferencia Encuentros espaciales Trayectoria espiral Encuentro de una sonda espacial con Júpiter Orbitas de la misma energía
Trayectoria de un proyectil (II) Movimiento relativo Caída de un satélite en órbita hacia la Tierra. Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación El problema de Euler Viaje a la Luna |
Ecuación de la trayectoria | |||
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En el capítulo de Cinemática estudiamos el movimiento de los proyectiles que describen trayectorias parabólicas en el plano horizontal local, suponiendo que la aceleración de la gravedad es constante. En esta página, vamos a determinar la trayectoria que sigue el proyectil que es disparado desde la superficie de la Tierra con velocidad inicial v0 haciendo un ángulo φ con el plano horizontal local.
Ecuación de la trayectoria
que se mantienen constantes en todos los puntos de la trayectoria. La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es
La ecuación de la trayectoria es independiente de la masa m del proyectil. Si la energía del proyectil es negativa E<0 la trayectoria es una elipse. La velocidad de disparo v0 debe ser menor que la velocidad de escape ve
En coordenadas polares, el proyectil sale de la posición R, θ0, y llega a la posición R, -θ0, donde
El alcance del proyectil, es la medida del arco a lo largo de la superficie de la Tierra entre la posición de disparo y la de impacto 2·R·(π-θ0) La distancia máxima al centro de la Tierra se calcula en la ecuación de la elipse en coordenadas polares con θ=π.
La altura máxima sobre la superficie de la Tierra es hmáx=rmáx-R
Tiempo de vueloPara calcular el tiempo de vuelo, vamos a utilizar el mismo procedimiento que empleamos para deducir la fórmula del periodo de un planeta, a partir de la ley de las áreas. El momento angular en coordenadas polares se escribe
Integrando
El primer miembro, es el área barrida por el radio vector cuando el proyectil se mueve desde la posición angular θ=θ0, a la posición θ=π. El tiempo de vuelo t se obtiene.
El área sombreada es el área de la porción de elipse comprendida entre x y a más el área del triángulo de base R·cos(π-θ0) y altura R·sen(π-θ0), siendo x=-c+R·cos(π-θ0) Sabiendo que la ecuación de la elipse es
donde a es el semieje mayor de la elipse, b el semieje menor, y c la semidistancia focal. El área de la porción de elipse comprendida entre x y a es
Para integrar, se ha hecho el cambio de variable x=a·sen z. Los nuevos límites de integración son:
El área sombreada vale, por tanto
Caso particular:El ángulo de disparo es φ=90º. El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El proyectil asciende y desciende cayendo hacia la Tierra a lo largo de la dirección radial. La máxima altura que alcanza, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de la energía y se despejando la incógnita r.
No podemos calcular de forma simple el tiempo que tarda el proyectil en volver a la superficie de la Tierra ya que la aceleración no es constante.
Ejemplos1.-Disparamos un proyectil desde algún lugar de la superficie de la Tierra con velocidad inicial v0= 7500 m/s a lo largo de la dirección radial Los datos del problema son los siguientes:
La máxima distancia al centro de la Tierra que alcanza el proyectil es r=11.56·106 m=1.815 radios terrestres La altura máxima es h=r-R=5.20·106 m 2.-Disparamos un proyectil desde algún lugar de la superficie de la Tierra con velocidad inicial v0= 7500 m/s en la dirección que hace φ=60º con el plano local La energía del proyectil y el momento angular valen L=6.37·106·7500·cos60º=2.39 ·1010 m kgm2/s
Trayectoria Conocidos los valores de la energía E y del momento angular L, calculamos el valor del parámetros geométricos de la elipse: d y la excentricidad ε ε=0.867 Con estos datos calculamos el ángulo θ0.
El alcance del proyectil es 2·R·(π-θ0)= 2·6.37·106·(π-2.68)=6.20·106 m Tiempo de vuelo Para calcular el tiempo de vuelo tenemos que calcular primero el área barrida por el radio vector desde la posición angular θ=θ0, a la posición θ=π sombreada de elipse y multiplicarla por dos En primer lugar, necesitamos los valores de los parámetros de la elipse:
a·senz1=-c-R·cosθ0 z1=6.73º=0.117 rad
Area=1.925·1013 El tiempo de vuelo es
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa la trayectoria seguida por el proyectil. En la parte superior derecha del applet, se proporcionan los datos de la distancia al centro de la Tierra medido en radios terrestres y el tiempo en segundos. |
Trayectoria de un
proyectil (I)
