Dinámica celeste |
Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación Fuerza central y conservativa Ecuación de la trayectoria Solución numérica de las ecuaciones Trayectorias hiperbólicas Órbita de transferencia Encuentros espaciales Trayectoria espiral Encuentro de una sonda espacial con Júpiter Orbitas de la misma energía Trayectoria de un proyectil (I) Trayectoria de un proyectil (II) Movimiento relativo Caída de un satélite en órbita hacia la Tierra. Los anillos de un planeta Movimiento bajo una fuerza central y una perturbación El problema de Euler
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El sistema Tierra-Luna fijo en el espacio Movimiento del sistema Tierra-Luna Movimiento de una partícula bajo la influencia de la Tierra y la Luna |
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En la página anterior, estudiamos el problema de Euler de los tres cuerpos, cuando dos de ellos están fijos en el espacio, y una tercera partícula de pequeña masa se mueve en el espacio circundante. Se supone el movimiento de la partícula se confina a un plano que contiene a los cuerpos fijos. En esta página, se plantea un problema algo más complicado. Supongamos que la Tierra y la Luna se mueven en órbitas circulares alrededor de su centro de masas común. Se desprecia la influencia del Sol y del resto de los planetas. Una nave espacial situada en una órbita circular de aparcamiento a una altura h sobre la superficie de la Tierra, enciende sus cohetes que le proporcionan una velocidad Δv adicional en la dirección tangente a su trayectoria circular. Supondremos que el tiempo de encendido de los cohetes es muy pequeño comparado con el tiempo que tarda la nave espacial en describir la órbita circular.
El sistema Tierra-Luna fijo en el espacioAntes de plantear las ecuaciones del movimiento, nos vamos a familiarizar con el sistema formado por la Tierra y la Luna resolviendo algunos problemas sencillos. Datos del sistema Tierra-Luna:
Supongamos que la Tierra y la Luna están fijos en el espacio. Vamos a calcular la velocidad mínima con la que se debe disparar una bala, desde la superficie de la Tierra, a lo largo en la dirección que une los centros de los dos cuerpos celestes, para que llegue a la Luna.
Entre la Tierra y la Luna hay un punto de equilibrio situado a una distancia x del centro de la Tierra. Un objeto de masa m situado en dicho punto experimenta dos fuerzas de atracción iguales y de sentido contrario. Como la masa de la Tierra es mayor que la masa de la Luna, dicho punto xe estará cerca de la Luna.
La posición de equilibrio en la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna, se encuentra a xe=345.7 ·106 m del centro de la Tierra. La energía potencial de la partícula bajo la acción de la fuerza de atracción de la Tierra y de la Luna es
En la figura, se muestra la gráfica de la energía potencial, la posición de equilibrio corresponde a un máximo de Ep(x), se trata de una posición de equilibrio inestable.
En el eje horizontal la distancia x se expresa en fracciones del radio de la Tierra de modo que xe=54.27·RT
Tendremos que disparar la bala desde la superficie de la Tierra con una velocidad v superior a una mínima La energía de la bala en la superficie de la Tierra x=RT es
La energía de la bala en la posición de equilibrio, es Poniendo ve=0, y aplicando el principio de conservación de la energía, obtenemos la velocidad mínima de disparo vT=11076.8 m/s Podemos comparar esta velocidad, con la velocidad de escape de la superficie de la Tierra únicamente
v=11190.7 m/s
Movimiento del sistema Tierra-Luna
La posición del centro de masas del sistema Tierra–Luna se encuentra entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna a una distancia rT de la Tierra y rL de la Luna, tal como se muestra en la figura. Como la masa de la Tierra es mayor que la masa de la Luna MT>ML luego, rT<rL. Situando el origen en el centro de masas.
Despejamos rT y rL
La posición del centro de masas del sistema Tierra-Luna está en el interior de la Tierra, más cerca de la superficie que del centro.
El centro de la Tierra describe una trayectoria circular de radio rT bajo la acción de la fuerza de atracción de la Luna, que dista d de su centro. Si Ω es la velocidad angular constante. Aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme a la Tierra
Despejamos la velocidad angular Ω de una u otra ecuación
El periodo P=2π/Ω=27.2 días
Movimiento de una partícula bajo la influencia de la Tierra y la LunaSituamos un Sistema de Referencia Inercial con origen en el centro de masas del sistema Tierra-Luna. En el instante t, el ángulo que forma la recta que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna forma un ángulo Ωt, con el eje X. Las posición de la partícula en el instante t es (x, y). La posición de la Luna es (rL·cos(Ωt), rL·sen(Ωt)). La posición de la Tierra es (-rT·cos(Ωt), -rT·sen(Ωt))
La distancia entre la Luna y la partícula y entre la Tierra y la partícula son respectivamente
Las componentes de la fuerza de atracción que ejerce la Luna y la Tierra sobre la partícula son
Aplicamos la segunda ley de Newton md2x/dt2=Fx, y md2y/dt2=Fy
Sistema de Referencia en rotaciónEstablecemos un nuevo Sistema de Referencia No Inercial con el mismo origen que se mueve con velocidad angular Ω, con respecto del Sistema de Referencia Inercial. El eje XR del nuevo Sistema de Referencia es la recta que pasa por el centro de la Tierra y el Centro de la Luna.
Calculamos las derivadas segundas de x e y
Introduciendo estas expresiones en las dos ecuaciones diferenciales de segundo orden, e igualando los coeficientes de cos(Ωt) y de sen(Ωt), obtenemos el siguiente sistema de dos educaciones diferenciales
Los dos términos en el primer miembro representan las componentes de las fuerzas de Coriolis y centrífuga por unidad de masa.
Constante del movimientoCuando se estudió el movimiento de una partícula de masa m bajo la fuerza de atracción de un cuerpo fijo en el espacio de masa M, las ecuaciones del movimiento eran
Multiplicamos la primera ecuación por dx/dt y la segunda ecuación por dy/dt y teniendo en cuenta que
Donde el símbolo punto encima de la letra indica derivada respecto del tiempo. Llegamos a
Integramos cada uno de los dos miembros
Donde C es una constante de integración, que es la energía por unidad de masa que se mantiene constante en todos los puntos de la trayectoria Volviendo de nuevo, a las dos ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de la partícula en el Sistema de Referencia en rotación. Multiplicamos la primera ecuación por dxR/dt y la segunda ecuación por dyR/dt y sumamos ambas ecuaciones, llegamos a
Integrando de forma similar a caso de una sola fuerza de atracción
J se denomina constante de Jacobi
Resolución numérica de las ecuaciones del movimientoAntes de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, es conveniente prepararlas para que el ordenador no maneje números excesivamente grandes o pequeños. Establecemos un sistema de unidades en el que la longitud se mide en unidades del radio de la Tierra, L=6.37·106 m y el tiempo en días, P=un día= 24·60·60=86400 s. En el nuevo sistema de unidades x=Lx', t=P·t', la primera ecuación diferencial se escribe
Con los datos de
y volviendo a la notación previa: x e y para la posición y t para el tiempo en el nuevo sistema de unidades. El sistema de ecuaciones diferenciales se escribe
Se resuelve este sistema de ecuaciones diferenciales por el procedimiento de Runge-Kutta, con un paso variable. Este paso, se ha elegido de modo que cuando la partícula está alejada de los cuerpos fijos el paso es grande y cuando está cerca de alguno de los dos cuerpos el paso es pequeño. En este sistema de unidades la constante J se expresa
Con los datos numéricos y volviendo a la notación previa: x e y para la posición y t para el tiempo en el nuevo sistema de unidades. La constante J se escribe en este nuevo sistema de unidades
El programa interactivo resuelve numéricamente las ecuaciones del movimiento y calcula la constante J . Se evalúa en cada instante el cociente
que denominaremos tanto por ciento de error. Cuando la constante J difiere de J0 de modo que el cociente es mayor que la unidad el programa interactivo se detiene, la trayectoria calculada puede que se desvíe significativamente de la real.
Condiciones iniciales
Por ejemplo, un satélite artificial que circunda la Tierra a una altura de h=1000 km o bien r=7.37·106 m lleva una velocidad de v=7356.6 m/s y tarda 1.75 horas en dar una vuelta completa. Un satélite geostacionario que tarda un día en dar una vuelta completa, se encuentra a una altura h=42250.5-3670=38580 km de altura, y su velocidad es v=3072.5 m/s Cuando la nave espacial se encuentra en la posición tal que hace un ángulo θ, con la dirección que une el centro de la Tierra y el centro de la Luna se encienden los cohetes por un breve intervalo de tiempo, dándole una velocidad adicional Δv en dirección tangente a la trayectoria En el instante t=0, la nave espacial parte de la posición x0=-rT+r·cosθ Con velocidad inicial v0x=-(v+Δv)·senθ Donde Δv es el incremento de velocidad proporcionado por los cohetes de la nave de forma casi instantánea.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio En la parte izquierda del applet, se observa el movimiento del sistema Tierra-Luna respecto del Sistema de Referencia Inercial con origen en el centro de masa de ambos cuerpos. En la parte derecha del applet, se observa el movimiento de la nave espacial alrededor de la Tierra, y a la vez la Tierra girando alrededor del c.m. del sistema.
Se pulsa el botón titulado Empieza En la parte superior derecha del applet, se proporcionan los datos del tiempo en días desde el momento del lanzamiento, la posición xR e yR de la nave espacial en fracciones del radio de la Tierra, respecto del Sistema de Referencia en rotación En la parte inferior, se proporciona el tanto por ciento de error, de la constante J del movimiento. Cuando es mayor que la unidad, el programa se detiene. Nota: Se ha de advertir al lector, que como el paso de integración de las ecuaciones diferenciales del movimiento es variable, la velocidad del punto que representa la partícula en el applet, no se corresponde con la velocidad real de la partícula.
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Harmon N. J. Leidel C., Lindner J. F. Optimal exit: Solar escape as a restricted three-body problem. Am. J. Phys. 71(9) September 2003, pp. 871-877
Viaje a la Luna
