Se calienta una placa expuesta al Sol

Consideremos una placa de área A y espesor e, que está a la temperatura ambiente Ta. La superficie de la placa de área A está pintada de negro. En un instante dado, se expone al Sol que ilumina la placa con una intensidad constante de I W/m2. Vamos a determinar la evolución de la temperatura T de la placa a medida que transcurre el tiempo.

Supondremos que:

La variación de la temperatura T de la placa con el tiempo se obtiene integrando la ecuación diferencial de primer orden

mc dT dt =αS(T T a )+I·A

donde m=ρAe es la masa de la placa y c es el calor específico y ρ la densidad del material que está hecha la placa.

dT dt +kT=k T k= αS ρAec T = T a + I ρeck

Integramos la ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial siguiente: en el instante t=0, la temperatura de la placa es Ta.

T=( T a T )exp(kt)+ T

Al cabo de un tiempo muy grande t→∞ la placa alcanza la máxima temperatura T.

Ejemplo:

La máxima temperatura que alcanza la placa cuando se ilumina indefinidamente t→∞ es

  T = T a + I ρeck T =20+ 700 2700·0.002·880·2.77· 10 3 =73.1ºC

Ta=20; %temperatura inicial de la placa y ambiente
k=0.00277; %constante
I=700; %intensidad de la radiación incidente
e=0.002; %espesor de la placa
rho=2700; %densidad del aluminio
c=880; %calor específico del aluminio
Tf=Ta+I/(rho*e*c*k); %temperatura final

t=0:10:2000;
T=(Ta-Tf)*exp(-k*t)+Tf;
plot(t,T,'b')
ylim([0 100])
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('T (°C)')
title('Ley del enfriamiento de Newton')

Actividades

Se introduce

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La placa se calienta e incrementa su temperatura durante 20 minutos=1200 s hasta alcanzar la temperatura final Tf. Después se deja de iluminar la placa y esta se enfría.

En color rojo se dibuja la curva de calentamiento y en color azul la de enfriamiento.

La línea de puntos de color rojo es la asíntota horizontal T de la curva que describe el calentamiento de la placa.

Ejemplo:

Se ilumina la placa, al cabo de 1200 s alcanza una temperatura de Tf=71.3 ºC

Se deja de iluminar la placa, se pone el contador de tiempo a cero, y al cabo de t=1000 s la temperatura ha bajado a 23.2 ºC

Conocida la temperatura inicial Tf =71.3º y la temperatura en el instante t=1000 s, T=23.2 durante el proceso de enfriamiento, calculamos la constante k.

T=T0+(Tf-T0)exp(-kt)

23.2=20+(71.3-20)exp(-k·1000)

k·1000=ln( 3.2 51.3 )k=2.77· 10 3 s 1

La máxima temperatura que alcanza la placa cuando se ilumina indefinidamente t→∞ es

  T = T 0 + I ρeck T =20+ 700 2700·0.002·880·2.77· 10 3 =73.1ºC


Referencias

Gil S., Mayochi M., Pelliza L. J., Experimental estimation of the luminosity of the Sun. Am. J. Phys. 74 (8) August 2006, pp. 728-733