Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

${\displaystyle \frac{dQ}{dt}=\alpha S(T-T_a)}$

Donde α es el coeficiente de intercambio de calor y S es el área del cuerpo.

Si la temperatura T del cuerpo es mayor que la temperatura del medio ambiente T_a, el cuerpo pierde una cantidad de calor dQ en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, disminuyendo su temperatura T en dT.

dQ=-m·c·dT

donde m=ρ V es la masa del cuerpo (ρ es la densidad y V es el volumen), y c el calor específico.

La ecuación que nos da la variación de la temperatura T del cuerpo en función del tiempo es

${\displaystyle \rho Vc\frac{dT}{dt}=-\alpha S(T-T_a)}$

o bien,

${\displaystyle \frac{dT}{dt}=-k(T-T_a)}$

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la temperatura del cuerpo es T₀.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{T_0}{\overset{T}{\int }}\frac{dT}{T-T_a}}=-k{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}}$

Obtenemos la relación lineal siguiente.

ln(T-T_a)=-k·t +ln(T₀-T_a)

Despejamos T

${\displaystyle T=T_a+(T_0-T_a)\exp (-kt)}$

T0=90; %temperatura inicial
Ta=10; %temperatura ambiente
k=0.00277; %constante
t=0:10:2000; %tiempo en s

T=Ta+(T0-Ta)*exp(-k*t);
plot(t,T,'b')
ylim([0 100])
grid on
xlabel('t (s)')
ylabel('T °C)')
title('Ley del enfriamiento de Newton')

Medida del calor específico de una sustancia

En la deducción anterior, hemos supuesto que el calor específico c no cambia con la temperatura, manteniéndose aproximadamente constante en el intervalo de temperaturas en la que se realiza el experimento.

Si medimos la temperatura del cuerpo durante su enfriamiento a intervalos regulares de tiempo, y realizamos una representación gráfica de ln(T-T_a) en función de t, veremos que los puntos se ajustan a una línea recta, de pendiente –k.

${\displaystyle k=\frac{\alpha S}{\rho Vc}}$

Medimos el área S de la muestra, su masa m=ρV mediante una balanza, y a partir de k calculamos el calor específico c.

Pero tenemos una cantidad desconocida, el coeficiente α , que depende de la forma y el tamaño de la muestra y el contacto entre la muestra y el medio que la rodea. Sin embargo, para varias sustancias metálicas en el aire, α tiene el mismo valor si las formas y los tamaños de todas las muestras son idénticas. Así, se puede determinar α para una sustancia metálica de calor específico conocido y luego, emplear este valor para determinar el calor específico de otra sustancia metálica de la misma forma y tamaño.

En la experiencia simulada, la forma de las muestras ensayadas es cúbica de lado d. El área de las caras de un cubo es S=6d² y su volumen V=d³. La expresión de la constante k será ahora

${\displaystyle k=\frac{6\alpha }{\rho dc}}$

La muestra que nos va a servir de referencia es el Aluminio cuya densidad es ρ_Al=2700 kg/m³ y calor específico c_Al=880 J/(K·kg).

1. Determinamos en una experiencia el valor de k_Al para una muestra de Aluminio de forma cúbica de lado d.

2. Determinamos en otra experiencia la el valor de k_x de una muestra de otro material, de densidad ρ_x conocida, de calor específico c_x desconocido, que tenga la misma forma cúbica y del mismo tamaño d.

Como el valor de α es el mismo. El valor del calor específico desconocido c_x lo obtenemos a partir de la siguiente relación.

${\displaystyle c_x=\frac{k_{Al}}{k_x}\frac{{\rho }_{Al}}{{\rho }_x}{c}_{Al}}$

Ejemplo: Determinar el calor específico del Hierro conocido el calor específico del Aluminio.

1. Sustancia de referencia Aluminio
• Temperatura inicial T₀=100ºC
• Tamaño de la muestra d=10 cm
• Densidad ρ_Al=2700 kg/m³
• Calor específico c_Al=880 Jl/(K·kg)

>> t=0:50:650;
>> T_Al=[100, 81.4,67.1,56.2,47.7,41.3,36.3,32.5,29.6,
27.4,25.7,24.3,23.3,22.6]-20;
>> plot(t,log(T_Al),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r');
>> xlabel('t(s)')
>> ylabel('log(T)')
>> grid on
>> title('Enfriamiento, Aluminio')

En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste.



Valor de la pendiente k_Al=0.00530

2. Sustancia Hierro
• Temperatura inicial T₀=100ºC
• Tamaño de la muestra d=10 cm
• Densidad ρ_x=7880 kg/m³.
• El calor específico del Hierro es

>> T_Fe=[100,87.0,76.1,67.0,59.3,52.9,47.6,43.1,39.4,
36.2,33.6,31.4,29.5,28.0]-20;
>> plot(t,log(T_Fe),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r');
>> xlabel('t(s)')
>> ylabel('log(T)')
>> grid on
>> title('Enfriamiento, Hierro')



Valor de la pendiente k_x=0.00355

Calor específico del hierro

${\displaystyle c_x=\frac{0.00530}{0.00355}\frac{2700}{7880}880=450.2\text{J/(K·mol)}}$

Actividades

En primer lugar, tenemos que elegir el Aluminio como sustancia de referencia en el control titulado Material.

Introducimos los siguientes datos:

• La temperatura inicial T₀ (menor de 100ºC) en el control titulado Temperatura.
• El tamaño de la muestra cúbica, la longitud de su lado d en cm, en el titulado Dimensión.

Se pulsa en le botón titulado Nuevo

La temperatura ambiente se ha fijado en el programa interactivo, T_a=20ºC.

En la parte izquierda, se observa un cubo de aluminio y un termómetro que indica su temperatura. En la parte derecha, se observa la evolución de su temperatura T a lo largo del tiempo t. Se toman medidas de la temperatura.

Se representa en el eje vertical ln(T-T₀), y en el eje horizontal el tiempo t en s. Se calcula la pendiente k_Al de la recta que ajusta a estos datos.

Anotamos el valor de la pendiente, k_Al, la densidad del Aluminio ρ_Al=2700 kg/m³, y el calor específico del Aluminio c_Al=880 J/(K·kg)

Tomamos ahora una muestra de otro metal de las mismas dimensiones seleccionándolo en el control de selección titulado Material.

Pulsamos el botón titulado Nuevo.

Observamos la evolución de su temperatura T en función del tiempo t.

Referencias

Panayotova S. An undergraduate experiment on thermal properties. Eur. J. Phys. 8 (October 1987) pp. 308-309