James Clerk Maxwell. Edimburgo 6 de Enero 2017.

Las ecuaciones de Maxwell

En el capítulo Electromagnetismo hemos estudiado la interacción electromagnética que está asociada con una propiedad característica de las partículas denominada carga eléctrica.

La interacción electromagnética se describe en términos de dos campos: el campo eléctrico $\overrightarrow{E}$ y el campo magnético $\overrightarrow{B}$, que ejercen una fuerza sobre una partícula cargada con carga q que se mueve con velocidad $\overrightarrow{v}$.

${\displaystyle \overrightarrow{F}=q\left(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\right)}$

Los campos $\overrightarrow{E}$ y $\overrightarrow{B}$ vienen determinados por la distribución de las cargas y por sus movimientos (corrientes). La teoría del campo electromagnético se puede condensar en cuatro leyes denominadas ecuaciones de Maxwell que se pueden escribir en forma de integrales o de ecuaciones diferenciales

1. Ley de Gauss para el campo eléctrico

${\displaystyle {{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}=\frac{q}{{\epsilon }_0}}$

2. Ley de Gauss para el campo magnético

${\displaystyle {{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{B}·\overrightarrow{dS}=0}$

3. Ley de Faraday-Henry

${\displaystyle {{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dl}=-\frac{d}{dt}{{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{B}·\overrightarrow{dS}}$

4. Ley de Ampère-Maxwell

${\displaystyle {{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{B}·\overrightarrow{dl}={\mu }_{0}i+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{d}{dt}{{\displaystyle \oint }}^{\text{}}\overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS}}$

Maxwell a partir de un análisis cuidadoso de las ecuaciones del campo electromagnético llegó a predecir la existencia de las ondas electromagnéticas. Fue Heinrich Hertz quién realizó las primeras experiencias con ondas electromagnéticas.

No es muy complicado obtener las ecuaciones de las ondas electromagnéticas a partir de la expresión en forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell. Omitiremos esta deducción y señalaremos únicamente sus características esenciales.

1. Las ondas electromagnéticas están formadas por un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. La dirección de propagación está dada por el vector $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ .

En la figura, se muestra el aspecto de una onda electromagnética armónica en un instante dado



x=@(y) -2*cos(y); %eléctrico
z=@(y) 3*cos(y); %magnético
y=linspace(0,3*pi,100); %propagación
hold on
plot3(x(y),y,zeros(1,length(y)), 'b')
plot3(zeros(1,length(y)),y,z(y), 'r')
line([0,0,0],[0,3*pi,0],'color','k')
for y=0:pi/4:3*pi
    quiver3(0,y,0, x(y),0,0, 'color','b')
    quiver3(0,y,0, 0,0,z(y), 'color','r')
end
hold off
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
axis off
view(32,17)

2. Las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío con una velocidad c.

${\displaystyle c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}\approx 3·{10}^8\text{m/s}}$

3. Para una onda electromagnética armónica las amplitudes de los campos eléctrico E₀ y magnético B₀ están relacionados, B₀=E₀/c.

4. Las ondas electromagnéticas transportan energía y momento lineal.

La energía electromagnética que atraviesa una sección S en la unidad de tiempo es

${\displaystyle \underset{S}{{\displaystyle \int }}{c}^2{\epsilon }_0(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{dS}}$

El momento lineal p por unidad de volumen de una onda electromagnética es el cociente entre la densidad de energía electromagnética y la velocidad c.

${\displaystyle \overrightarrow{p}={\epsilon }_0(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})}$

El espectro electromagnético

Las ondas electromagnéticas cubren una amplia gama de frecuencias o de longitudes de ondas y pueden clasificarse según su principal fuente de producción. La clasificación no tiene límites precisos.

Fuente: Leonberger. Revealing the small range of radio-microwave frequencies. Phys. Educ. Vol. 37, September 2002, pp. 425-427

En la figura, se muestra las distintas regiones del espectro en escala logarítmica. En esta escala las ondas de radio y microondas ocupan un amplio espacio. En esta escala vemos todas las regiones del espectro, sin embargo, el tamaño relativo de las distintas regiones está muy distorsionado.

En esta otra figura, se representa las distintas regiones del espectro en escala lineal. Vemos como la región correspondiente a las ondas de radio y a las microondas es muy pequeña comparada con el resto de las regiones. El final de la región ultravioleta estaría varios metros a la derecha del lector y el final de los rayos X, varios kilómetros a la derecha del lector.

Por lo tanto, no se puede dibujar la representación lineal de todo el espectro electromagnético, por que sería de un tamaño gigantesco. Pero se puede dibujar la representación lineal de una fracción del espectro electromagnético, para darnos cuenta de las dimensiones relativas reales de sus distintas regiones.

Las características de las distintas regiones del especto son las siguientes 

Las ondas de radiofrecuencia

Sus frecuencias van de 0 a 10⁹ Hz, se usan en los sistemas de radio y televisión y se generan mediante circuitos oscilantes.

Las ondas de radiofrecuencia y las microondas son especialmente útiles por que en esta pequeña región del espectro las señales producidas pueden penetrar las nubes, la niebla y las paredes. Estas son las frecuencias que se usan para las comunicaciones vía satélite y entre teléfonos móviles. Organizaciones internacionales y los gobiernos elaboran normas para decidir que intervalos de frecuencias se usan para distintas actividades: entretenimiento, servicios públicos, defensa, etc.

En la figura, se representa la región de radiofrecuencia en dos escalas: logarítmica y lineal. La región denominada AM comprende el intervalo de 530 kHz a 1600 kHz, y la región denominada FM de 88 MHz a 108 MHz. La región FM permite a las emisoras proporcionar una excelente calidad de sonido debido a la naturaleza de la modulación en frecuencia.

Las microondas

Se usan en el radar y otros sistemas de comunicación, así como en el análisis de detalles muy finos de la estructura atómica y molecular. Se generan mediante dispositivos electrónicos.

La radiación infrarroja

Se subdivide en tres regiones: infrarrojo lejano, medio y cercano. Los cuerpos calientes producen radiación infrarroja y tienen muchas aplicaciones en la industria, medicina, astronomía, etc.

La luz visible

Es una región muy estrecha pero la más importante, ya que nuestra retina es sensible a las radiaciones de estas frecuencias. La luz visible es una región del espectro electromagnético comprendida entre 780 a 390 nm. Las diferentes sensaciones que la luz produce en el ojo, se denominan colores, dependen de la frecuencia (o de la longitud de onda electromagnética) y corresponden a los siguientes intervalos para una persona promedio:

Fuente: Hetch-Zajac. Optica. Addison-Wesley Iberoamericana (1986), pág 60

Esta es la imagen generada mediante un programa que convierte longitudes de onda en color RGB.

En esta figura, se comparan las radiaciones monocromáticas correspondientes a seis longitudes de onda. La longitud de onda que se señala a la derecha corrsponde a la mitad del color correspondiente. Por ejemplo, la región roja está comprendida en el intervalo (780-622) nm. La longitud de onda de la radiación monocromática representada en la figura es (780+622)/2=701 nm.

Radiación ultravioleta

Los átomos y moléculas sometidos a descargas eléctricas producen este tipo de radiación. No debemos de olvidar que la radiación ultravioleta es la componente principal de la radiación solar.

La energía de los fotones de la radiación ultravioleta es del orden de la energía de activación de muchas reacciones químicas lo que explica muchos de sus efectos.

El oxígeno se disocia en la ozonosfera por la acción de la radiación ultravioleta. Una molécula de oxígeno absorbe radiación de longitudes de onda en el intervalo entre 160 nm y 240 nm (o fotones de energía comprendida entre 7.8 eV y 5.2 eV) y se disocia en dos átomos de oxígeno.

O₂+fotón→O+O

El oxígeno atómico producido se combina con el oxígeno molecular para formar ozono, O₃, que a su vez se disocia fotoquímicamente por absorción de la radiación ultravioleta de longitud de onda comprendida entre 240 nm y 360 nm (o fotones de energía entre 5.2 eV y 3.4 eV).

O₃+fotón→O+O₂

Estas dos reacciones absorben prácticamente toda radiación ultravioleta que viene del Sol por lo que solamente llega una pequeña fracción a la superficie de la Tierra. Si desapareciese de la capa de ozono, la radiación ultravioleta destruiría muchos organismos a causa de las reacciones fotoquímicas.

La radiación ultravioleta y rayos X producidos por el Sol interactúa con los átomos y moléculas presentes en la alta atmósfera produciendo gran cantidad de iones y electrones libres (alrededor de 10¹¹ por m³). La región de la atmósfera situada a unos 80 km de altura se denomina por este motivo ionosfera.

Algunas de las reacciones que ocurren frecuentemente

Como resultado de esta ionización tienen lugar muchas reacciones secundarias.

Rayos X

Si se aceleran electrones y luego, se hacen chocar con una placa metálica, la radiación de frenado produce rayos X. Los rayos X se han utilizado en medicina desde el mismo momento en que los descubrió Röntgen debido a que los huesos absorben mucho más radiación que los tejidos blandos. Debido a la gran energía de los fotones de los rayos X son muy peligrosos para los organismos vivos.

Rayos gamma

Se producen en los procesos nucleares, por ejemplo, cuando se desintegran las sustancias radioactivas. Es también un componente de la radiación cósmica y tienen especial interés en astrofísica. La enorme energía de los fotones gamma los hace especialmente útiles para destruir células cancerosas. Pero son también peligrosos para los tejidos sanos por lo que la manipulación de rayos gamma requiere de un buen blindaje de protección.