El cuerpo negro. Ejemplos

La lámpara incandescente

La lámpara incandescente se inventó en 1870. La primera lámpara consistía en un filamento de carbón contenida en un recipiente de vidrio en el que se había hecho el vacío. Esta lámpara duraba muy poco y fue sustituida por lámparas de filamento metálico, principalmente de volframio.

La lámpara incandescente funciona cuando un filamento metálico se calienta a altas temperaturas. Los electrones de los átomos emiten energía en todas las longitudes de onda. Cuando una parte importante de la radiación emitida está en el espectro visible, decimos que está incandescente.

Para que un sólido emita radiación visible tiene que estar a una temperatura de 850 K, entonces lo vemos de color rojo. Comparando con la temperatura de 6500 K de la fotosfera solar, podemos afirmar que es imposible conseguir calentar un objeto sólido a esta temperatura sin que se funda, para que emita el mismo espectro de la radiación que el Sol.

El volframio es el metal que tiene a la vez la temperatura más alta de fusión 3680 K y el menor grado de evaporación. El carbono soporta temperaturas más elevadas antes de fundirse pero se evapora rápidamente.

En la práctica, la temperatura más alta que soporta una lámpara incandescente ordinaria fabricada con filamento de volframio es de 2900 K. A estas temperaturas solamente, una pequeña fracción de de la energía emitida está en la región visible (0.78 a 0.38 µm), menos del 11%, la mayor parte de es radiación infrarroja. Por lo que las lámparas incandescentes son poco eficientes en la emisión de luz visible.

lambda1=input('límite inferior micrómetros): ');
lambda2=input('límite superior micrómetros): ');
T=input('Temperatura (K): ');
h=6.6256e-34;
k=1.3805e-23;
c=2.9979e8;
total=2*pi^5*k^4*T^4/(15*c^2*h^3);
a=h*c/(lambda1*1e-6*k*T);
b=h*c/(lambda2*1e-6*k*T);
f=@(x) (x.^3)./(exp(x)-1);
res=integral(f,a,b)*15/pi^4; 
fprintf('proporción : %2.1f\n',res*100)
fprintf('intensidad (W/m2): %5.1f\n',res*total)
límite inferior micrómetros): 0.78
límite superior micrómetros): 0.38
Temperatura (K): 2900
proporción : 11.2
intensidad (W/m2): 447791.9

Hemos supuesto que el filamento se comporta como un cuerpo negro, ignorando la emisividad ε que depende la temperatura y de la longitud de onda y el coeficiente de transmisión del vidrio de la lámpara. Por ejemplo, la emisividad del volframio a la longitud de onda de 0.65·10-6 m (color rojo) y al la temperatura de 2900 K es de ε=0.420.

Al final dee esta página, se explicará como se determina la temperatura del filamento de una lámpara incandescente a partir de la medida de su resistencia.

Temperatura de un satélite

En este problema se pretende calcular la temperatura de un satélite artificial cuya forma es la de una esfera de radio rs=1 m. Supondremos que la temperatura del satélite es uniforme en toda su superficie y que está en una órbita cercana a la Tierra pero no en su sombra. Datos:

  1. El satélite absorbe en la unidad de tiempo energía procedente del Sol en todas las frecuencias

  2. I·π r s 2 =σ T 4 R 2 r 2 π r s 2

    Supondremos que el satélite es un cuerpo negro a la temperatura Ts que emite energía por unidad de tiempo al espacio en todas las frecuencias

    4π r s 2 σ T s 4

    En el equilibrio, igualando la emisión y absorción de energía, obtenemos

    T 4 R 2 r 2 =4 T s 4 6000 4 (6.96· 10 8 ) 2 (1.49· 10 11 ) 2 =4 T s 4

    Ts=290 K=17ºC

    >> r=1.49e11; %radio de la órbita circular de la Tierra
    >> R=6.96e8; %radio del Sol
    >> T=6000; %temperatura del Sol
    >> Ts=nthroot(T^4*R^2/(4*r^2),4)
    Ts =  289.9664
  3. En muchas aplicaciones es necesario mantener el satélite tan frío como sea posible. Para enfriar el satélite se utiliza un recubrimiento que refleja la luz por encima de una frecuencia fc tal que hfc/k=1200 K

  4. La intensidad de la radiación absorbida en el intervalo de frecuencias (0, fc) es

    W( 0, f c )= 2π k 4 T 4 c 2 h 3 0 x c x 3 e x 1 dx x= hf kT x c = h f c kT = 1200 6000 =0.2 W( 0, f c )= 2π k 4 T 4 c 2 h 3 ( 0 x 3 e x 1 dx x c x 3 e x 1 dx )= 2π k 4 T 4 c 2 h 3 ( π 4 15 π 4 15 F( x c ) )=σ T 4 ( 1F( x c ) )

    Donde la función F(xc) se define

    F( x c )= 15 π 4 x c x 3 e x 1 dx

    >> format long
    >> f=@(x) (x.^3)./(exp(x)-1);
    >> integral(f,0.2,inf)*15/pi^4
    ans =   0.999619337768793

    La función F(x) se puede obtener mediante el desarrollo en serie

    F( x )= 15 π 4 n=1 exp(nx) n ( x 3 + 3 x 2 n + 6x n 2 + 6 n 3 )

    Tomando N=100 términos del desarrollo en serie

    >> x=0.2;
    >> n=1:100;
    >> sum((exp(-n*x).*(x^3+(3*x^2)./n+(6*x)./n.^2+6./n.^3))./n)*15/pi^4
    ans =   0.999619337768666

    Lo que indica que la energía absorbida es solamente la pequeña proporción δ=1- F(0.2)=3.8066·10-4 de la energía total incidente σT4 en todas las frecuencias.

    La energía por unidad de tiempo absorbida por el satélite con el recubrimiento es, por tanto,

    δ·σ T 4 R 2 r 2 π r s 2

    Debido al recubrimiento son reflejadas hacia el interior del cuerpo cuya temperatura es Ts las radiaciones de frecuencia comprendida entre 0 a fc

    σ T s 4 ( 1F(x ' c ) )x ' c = h f c k T s = 1200 T s

    La energía emitida por el cuerpo en la unidad de tiempo será

    4π r s 2 σ T s 4 F(x ' c )

    En el equilibrio, igualamos absorción y emisión

    δ· T 4 R 2 r 2 =4 T s 4 F( 1200 T s )

    Resolvemos la ecuación transcendente para calcular la temperatura Ts del satélite.

    Ts=123 K

    r=1.49e11; %radio de la órbita circular de la Tierra
    R=6.96e8; %radio del Sol
    T=6000; %temperatura del Sol
    xc=0.2; %límite inferior de la integral
    f=@(x) (x.^3)./(exp(x)-1);
    delta=1-integral(f,xc,inf)*15/pi^4;
    g=@(x) 4*x^4*integral(f,1200/x,inf)*15/pi^4-delta*T^4*R^2/r^2;
    Ts=fzero(g,100)
    Ts =  123.3346
  5. Supongamos que el satélite artificial dispone de paneles solares que generan electricidad, la energía generada por los circuitos dentro del satélite actúa como una fuente de calor. Suponiendo que la potencia disipada es de 1000 W, calcular la temperatura final del satélite

  6. La energía absorbida  más la generada internamente será igual a la energía disipada

    δ·σ T 4 R 2 r 2 π r s 2 +1000=4π r s 2 σ T s 4 F(x ' c )x ' c = h f c k T s = 1200 T s 3.8066· 10 4 ·5.67· 10 8 · 6000 4 (6.96· 10 8 ) 2 (1.49· 10 11 ) 2 π· 1.0 2 +1000= 4π· 1.0 2 · 5.67· 10 8 T s 4 F( 1200 T s ) 0.61+1000=4π· 1.0 2 ·5.67· 10 8 T s 4 F( 1200 T s )

    La energía generada internamente es muy superior a la energía absorbida procedente del Sol. Resolviendo la ecuación transcendente obtenemos

    Ts=261 K

    r=1.49e11; %radio de la órbita circular de la Tierra
    R=6.96e8; %radio del Sol
    T=6000; %temperatura del Sol
    rs=1; %radio del satélite
    sigma=5.67e-8; %constante
    xc=0.2; %límite de frecuencias
    f=@(x) (x.^3)./(exp(x)-1);
    delta=1-integral(f,xc,inf)*15/pi^4;
    g=@(x) 4*pi*rs^2*sigma*x^4*integral(f,1200/x,inf)*15/pi^4-1000-
    delta*sigma*T^4*R^2*pi*rs^2/r^2;
    Ts=fzero(g,200)
    Ts =  261.0917

Referencias

Problema 3, propuesto en la XXIII Olimpiada Internacional de Física, Helsinki-Espoo, Finlandia (1992)

Variación de la temperatura de un pequeño cuerpo situado en el interior de una cavidad

Supongamos un pequeño cuerpo esférico de radio r, suspendido en el interior de una gran cavidad en la que se ha hecho el vacío y cuyas paredes se encuentran a la temperatura T0. Si la temperatura inicial de la bola esférica es T al cabo de un cierto tiempo, se habrá alcanzado el equilibrio en el que la temperatura de la esfera será la misma que la de las paredes de la cavidad.

Como hemos visto al estudiar las propiedades de la superficie de un cuerpo, el valor del coeficiente de absorción a está comprendido entre 0 (para un reflector perfecto) y 1 (para una superficie idealmente negra). En vez de a, se suele emplear la denominada emitancia relativa e de la superficie que es numéricamente igual a a.

  1. Energía radiante emitida por el pequeño cuerpo
  2. La cantidad de energía radiante emitida por unidad de área y por unidad de tiempo desde la superficie de un cuerpo a temperatura T, viene dada por la expresión

    I=eσ T 4 W/m 2

    La ley de Stefan-Boltzmann es también válida para cualquier otro cuerpo (gris) cuya superficie tenga un coeficiente de absorción (o emitancia) independiente de la longitud de onda.

    Multiplicando por el área de la superficie del pequeño cuerpo, obtenemos la energía Pe que pierde el cuerpo en la unidad de tiempo debido a la emisión de la radiación.

    P e =eσ T 4 4π r 2

  3. Energía radiante absorbida por el cuerpo
  4. También incide energía radiante sobre la superficie del cuerpo. Una parte de la energía incidente es absorbida Pa que se obtiene multiplicando la intensidad de la radiación por el área de su superficie, por la fracción a de la energía incidente que es absorbida. Como hemos dicho, este factor a es numéricamente igual a e.

    P a =eσ T 0 4 4π r 2

  5. Variación en la temperatura del cuerpo con el tiempo
  6. La cantidad de energía neta por unidad de tiempo (perdida o ganada) es igual a la diferencia entre la energía radiante absorbida y la emitida .

    dQ dt = P a P e

    La cantidad de energía radiante ganada (perdida) se emplea en aumentar (disminuir) la temperatura del cuerpo. Si la masa del cuerpo es m, y su calor específico del cuerpo es cv, escribimos

    dQ=m c v dT

    La temperatura del cuerpo varía con el tiempo hasta que se establece el equilibrio térmico a la temperatura T0 de las paredes de la cavidad.

    dT dt = 3eσ ρ c v r ( T 0 4 T 4 )

    donde hemos sustituido la masa m por el producto de la densidad ρ por el volumen de la pequeña esfera de radio r.

Se puede integrar esta ecuación diferencial, dando uan función implícita de T respecto de t. En este caso resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos

El script, nos permite investigar los factores de los que depende el tiempo que tarda una bolita de radio r, densidad ρ , calor específico cv, y emisividad e, en alcanzar el equilibrio térmico con una cavidad grande cuyas paredes se mantienen una temperatura constante T0.

Investigaremos con cuatro materiales cuyas propiedades se proporcionan en la siguiente tabla

  Densidad kg/m3 Calor específico J/(kg·K)
Hierro 7880 450
Aluminio 2700 880
Plomo 11350 130
Sodio 975 1300

Se representa la temperatura del cuerpo en función del tiempo. En el eje vertical se mide la temperatura en grados centígrados, y en el eje horizontal se mide el tiempo en minutos.

sigma=5.67e-8; %constante de Stefan-Boltzmann
e=0.8; %emitancia menor que la unidad
T0=1200+273; %temperatura de la cavidad
Te=25+273;  %temperatura inicial de la esfera
rho=7880; %densidad del hierro
c=450; %calor específico del hierro
r=0.1; %radio de la bolita
k=3*e*sigma*T0^3/(rho*c*r);

f=@(t,x) k*(1-x^4);
tspan=[0,30*60]; %30 minutos
[t,x]=ode45(f,tspan,Te/T0);
plot(t/60,x*T0-273) %(minutos, grados centígrados)
grid on
xlabel('t (min)')
ylabel('T °C');
title('Temperatura de la bolita')

La intensidad de la radiación emitida por la esfera es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta (cambia con dicha temperatura). La intensidad de la radiación absorbida por el pequeño cuerpo , es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta de la cavidad (no se modifica).

El cuerpo aumenta su temperatura cuando la cantidad de energía absorbida en la unidad de tiempo es superior a la emitida, y disminuye su temperatura cuando la cantidad de energía emitida en la unidad de tiempo es superior a la absorbida. Cuando se alcanza la situación de equilibrio, ambas cantidades son iguales.

Comprobación experimental de la ley de Stefan-Boltzmann

De acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann, la energía emitida por un cuerpo negro por unidad de área y por unidad de tiempo es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. La ley de Stefan-Boltzmann es también válida para cualquier otro cuerpo (gris) cuya superficie tenga un coeficiente de absorción (o emitancia) independiente de la longitud de onda.

En el experimento, el cuerpo gris está representado por el filamento incandescente de una lámpara.

El dispositivo experimental consta de una lámpara incandescente que produce la radiación, y una termopila de Moll que mide la intensidad de la radiación producida por la lámpara.

Se conecta una fuente de alimentación alterna a la lámpara. La f.e.m. de la fuente de alimentación se incrementa de voltio en voltio hasta un máximo de 8 voltios. Un amperímetro mide la intensidad de la corriente en el circuito formado por la fuente de alimentación y la resistencia del filamento de la lámpara.

La termopila tiene forma cilíndrica, hueca, que contiene un termopar en su interior. Las paredes interiores son cónicas y plateadas para que reflejen la radiación incidente y la enfoquen en el termopar. La radiación absorbida calienta el termopar produciendo un f.em. termoeléctrica de unos pocos milivoltios.

La ley de Stefan-Boltzmann relaciona dos variables: la intensidad emitida por el filamento, y su temperatura absoluta.

  1. Medida de la intensidad de la radiación emitida por el filamento
  2. La intensidad de la radiación Φ emitida por el filamento es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta T.

    Φ =kT4

    El flujo de energía (energía por unidad de tiempo) que absorbe la termopila es proporcional a Φ. Ahora bien, la termopila está a la temperatura ambiente T0 y también emite radiación proporcionalmente a la cuarta potencia de T0, de modo que la f.e.m. termoeléctrica Uter vale

    U ter =c( T 4 T 0 4 )

    donde c es una constante de proporcionalidad desconocida. Podemos despreciar T0 frente a T, de modo que tomando logaritmos neperianos a ambos lados, se cumple que

    ln U ter =4lnT+cte

    La representación gráfica de la f.em. termoeléctrica Uter frente a la temperatura absoluta del filamento T en una gráfica doblemente logarítmica conduce a una recta cuya pendiente debe ser próxima a 4.

  3. Medida de la temperatura T del filamento
  4. La medida de la temperatura del filamento se realiza indirectamente, midiendo su resistencia que varía con la temperatura. Para un filamento de volframio, su resistencia se relaciona con la temperatura de acuerdo con la ecuación

    R(t)= R 0 (1+αt+β t 2 )

    Donde R0 =0.15 Ω , es la resistencia a 0ºC que nos proporciona el fabricante, t es la temperatura en grados centígrados, y los coeficientes α y β, valen para el volframio respectivamente, α =4.82 10-3/K y β =6.76 10-7 /K2

    La resistencia del filamento R(t) se calcula aplicando la ley de Ohm, a partir de las indicaciones del voltímetro y del amperímetro.

    R(t)= V I

    La potencia de la lámpara es el producto V·I

    Despejando t y teniendo en cuenta que la temperatura absoluta T del filamento es T=t+273, obtenemos

    T=273+ 1 2β ( α 2 +4β( R(t) R 0 1 ) α )

Actividades

El applet que viene a continuación realiza una práctica demostrativa, con los siguientes datos tomados de la práctica real descrita en el manual citado en las referencias

Voltímero (V) Amperímetro (A) Temperatura del filamento T(K) Termopila Uter (mV)
1 2.20 672 0.15
2 2.80 983 0.62
3 3.45 1160 1.30
4 4.00 1300 2.20
5 4.45 1430 3.20
6 4.90 1540 4.45
7 5.30 1630 5.90
8 5.70 1720 7.50

Calculamos la resistencia R(t) del filamento de la lámpara incandescente a partir de los datos de la primera y segunda columna. Conocida la resistencia R(t) obtenemos la temperatura del filamento T (tercera columna) con los datos de R0 =0.15 Ω proporcionado por el fabricante y los datos de α =4.82 10-3 y β =6.76 10-7 del volframio. En la última columna, figuran los datos correspondientes a la lectura de la f.e.m. termoeléctrica Uter.

R0=0.15;
alfa=4.82e-3;
beta=6.76e-7;
V=1:8; %voltímetro
I=[2.20,2.80,3.45,4.00,4.45,4.90,5.30,5.70]; %amperímetro
Ut=[0.15,0.62,1.30,2.20,3.20,4.45,5.90,7.50]; %teropila
R=V./I; %resistencia
T=273+(sqrt(alfa^2+4*beta*(R/R0-1))-alfa)/(2*beta); %temperatura absoluta

plot(log(T),log(Ut),'o','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor',
'r','markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('log(T)')
ylabel('log(U)')
title('Ley de Stefan-Boltzmann') 

Actividades

Pulsando en el botón Nuevo se comienza la experiencia

Pulsando en el botón titulado >> se incrementa la f.e.m. de la fuente de alimentación en un voltio.

El amperímetro mide la corriente que pasa por el filamento de la lámpara

El filamento de la lámpara emite luz y cambia de color a medida que se incrementa su temperatura, desde el color negro, pasando por el rojo, hacia el blanco. El número de rayos trazados indica que al aumentar la temperatura aumenta la intensidad de la radiación emitida. Los rayos inciden en la termopila, que muestra el valor de la f.e.m. termoeléctrica.

Cuando se ha completado la experiencia, se representan los datos experimentales y la recta que mejor ajusta, en una gráfica doblemente logarítmica. La pendiente de la recta es un valor próximo a 4 tal como nos predice la ley de Stefan-Boltzmann.

Referencias

University Laboratory Experiments. Physics. Volume 4. PHYWE. Pág. 3.17.