Comprobación experimental de la ley de Stefan-Boltzmann

De acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann, la energía emitida por un cuerpo negro por unidad de área y por unidad de tiempo es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. La ley de Stefan-Boltzmann es también válida para cualquier otro cuerpo (gris) cuya superficie tenga un coeficiente de absorción (o emitancia) independiente de la longitud de onda.

En el experimento, el cuerpo gris está representado por el filamento incandescente de una lámpara.

El dispositivo experimental consta de una lámpara incandescente que produce la radiación, y una termopila de Moll que mide la intensidad de la radiación producida por la lámpara.

Se conecta una fuente de alimentación alterna a la lámpara. La f.e.m. de la fuente de alimentación se incrementa de voltio en voltio hasta un máximo de 8 voltios. Un amperímetro mide la intensidad de la corriente en el circuito formado por la fuente de alimentación y la resistencia del filamento de la lámpara.

La termopila tiene forma cilíndrica, hueca, que contiene un termopar en su interior. Las paredes interiores son cónicas y plateadas para que reflejen la radiación incidente y la enfoquen en el termopar. La radiación absorbida calienta el termopar produciendo un f.em. termoeléctrica de unos pocos milivoltios.

La ley de Stefan-Boltzmann relaciona dos variables: la intensidad emitida por el filamento, y su temperatura absoluta.

1. Medida de la intensidad de la radiación emitida por el filamento

La intensidad de la radiación Φ emitida por el filamento es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta T.

Φ =kT⁴

El flujo de energía (energía por unidad de tiempo) que absorbe la termopila es proporcional a Φ. Ahora bien, la termopila está a la temperatura ambiente T₀ y también emite radiación proporcionalmente a la cuarta potencia de T₀, de modo que la f.e.m. termoeléctrica U_ter vale

${\displaystyle U_{ter}=c\left(T^4-T_0^4\right)}$

donde c es una constante de proporcionalidad desconocida. Podemos despreciar T₀ frente a T, de modo que tomando logaritmos neperianos a ambos lados, se cumple que

${\displaystyle \ln U_{ter}=4\ln T+\text{cte}}$

La representación gráfica de la f.em. termoeléctrica U_ter frente a la temperatura absoluta del filamento T en una gráfica doblemente logarítmica conduce a una recta cuya pendiente debe ser próxima a 4.

2. Medida de la temperatura T del filamento

La medida de la temperatura del filamento se realiza indirectamente, midiendo su resistencia que varía con la temperatura. Para un filamento de volframio, su resistencia se relaciona con la temperatura de acuerdo con la ecuación

${\displaystyle R(t)=R_0(1+\alpha t+\beta t^2)}$



Donde R₀ =0.15 Ω , es la resistencia a 0ºC que nos proporciona el fabricante, t es la temperatura en grados centígrados, y los coeficientes α y β, valen para el volframio respectivamente, α =4.82 10^-3/K y β =6.76 10^-7 /K²

La resistencia del filamento R(t) se calcula aplicando la ley de Ohm, a partir de las indicaciones del voltímetro y del amperímetro.

${\displaystyle R(t)=\frac{V}{I}}$

La potencia de la lámpara es el producto V·I

Despejando t y teniendo en cuenta que la temperatura absoluta T del filamento es T=t+273, obtenemos

${\displaystyle T=273+\frac{1}{2\beta }\left(\sqrt{{\alpha }^2+4\beta \left(\frac{R(t)}{R_0}-1\right)}-\alpha \right)}$

El programa interactivo que viene a continuación realiza una práctica demostrativa, con los siguientes datos tomados de la práctica real descrita en el manual citado en las referencias

Calculamos la resistencia R(t) del filamento de la lámpara incandescente a partir de los datos de la primera y segunda columna. Conocida la resistencia R(t) obtenemos la temperatura del filamento T (tercera columna) con los datos de R₀ =0.15 Ω proporcionado por el fabricante y los datos de α =4.82 10^-3 y β =6.76 10^-7 del volframio. En la última columna, figuran los datos correspondientes a la lectura de la f.e.m. termoeléctrica U_ter.

R0=0.15;
alfa=4.82e-3;
beta=6.76e-7;
V=1:8; %voltímetro
I=[2.20,2.80,3.45,4.00,4.45,4.90,5.30,5.70]; %amperímetro
Ut=[0.15,0.62,1.30,2.20,3.20,4.45,5.90,7.50]; %teropila
R=V./I; %resistencia
T=273+(sqrt(alfa^2+4*beta*(R/R0-1))-alfa)/(2*beta); %temperatura absoluta

plot(log(T),log(Ut),'o','linewidth',1,'markersize',4,'markeredgecolor',
'r','markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('log(T)')
ylabel('log(U)')
title('Ley de Stefan-Boltzmann') 

Actividades

Pulsando en el botón Nuevo se comienza la experiencia

Pulsando en el botón titulado >> se incrementa la f.e.m. de la fuente de alimentación en un voltio.

El amperímetro mide la corriente que pasa por el filamento de la lámpara

El filamento de la lámpara emite luz y cambia de color a medida que se incrementa su temperatura, desde el color negro, pasando por el rojo, hacia el blanco. El número de rayos trazados indica que al aumentar la temperatura aumenta la intensidad de la radiación emitida. Los rayos inciden en la termopila, que muestra el valor de la f.e.m. termoeléctrica.

Cuando se ha completado la experiencia, se representan los datos experimentales y la recta que mejor ajusta, en una gráfica doblemente logarítmica. La pendiente de la recta es un valor próximo a 4 tal como nos predice la ley de Stefan-Boltzmann.

Medida de la constante h de Planck

Este experimento consta de una lámpara incasdencentese y un fototransistor. El filamento de la lámpara emite, como un cuerpo negro a la temperatura T, radiación de todas las frecuencias. Un filtro de color rojo, selecciona una frecuencia determinada. Esta luz ilumina un fototransistor produciendo una corriente eléctrica. El objetivo del experimento es la medida de la constante h de Planck

La intensidad (energía por unidad de área y unidad de tiempo) por unidad de frecuencia para la frecuencia f, de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresión.

${\displaystyle \frac{d{W}_f}{df}=\frac{2\pi h}{c^2}\frac{f^3}{\exp (hf/kT)-1}}$

donde c=3·10⁸ m/s es la velocidad de la luz, k=1.3805·10^-23 J/K es la constante de Boltzmann, T es la temperatura del emisor y h=6.6256·10^-34 J·s, es la constante de Planck.

El cociente medido a dos temperaturas diferentes T₁ y T₂ para la misma frecuencia f es

${\displaystyle \frac{I_1}{I_2}=\frac{\exp \left(\frac{hf}{k{T}_2}\right)-1}{\exp \left(\frac{hf}{k{T}_1}\right)-1}}$

Para la luz roja de longitudes de onda λ=c/f comprendidas en el intervalo (0.622-0.78)·10^-6 m y para temperaturas menores que 2500 K

${\displaystyle \exp \left(\frac{\text{6}\text{.6256·}{10}^{-34}\frac{3·{10}^8}{0.78·{10}^{-6}}}{\text{1}\text{.3805}·{10}^{-23}·2500}\right)=1610>>1}$

Por lo que hacemos la aproximación

${\displaystyle \frac{I_1}{I_2}\approx \frac{\exp \left(\frac{hf}{k{T}_2}\right)}{\exp \left(\frac{hf}{k{T}_1}\right)}}$

Temperatura del filamento

Consideramos que el filamento de la lámpara se comporta como un cuerpo negro a la temperatura T, la energía emitida por unidad de tiempo es P=AσT⁴, será igual a la energía por unidad de tiempo disipada P=i²R, donde i es la intesidad que pasa por el filamento de la lámpara cuya resistencia es R, A es el área del filamento y σ la constante de Stefan.

La resistencia R del filamento no es constante, sino que varía con la temperatura T. Supondremos que la relación entre temperatura y resistencia es de la forma

${\displaystyle T={\left(\frac{R}{R_0}\right)}^{\gamma }{T}_0}$

R₀=197 Ω es la resistencia del filamento de la lámpara a la temperatura T₀=473 K y γ es una constante a determinar

${\displaystyle \begin{array}{l}P=A\sigma T^4=A\sigma {\left(\frac{R}{R_0}\right)}^{4\gamma }{T}_0^4\\ \log (P)=4\gamma \log (R)+\text{cte}\end{array}}$

que es la ecuación de una recta de pendiente 4γ

Los datos tomados en el circuito que calienta el filamento de la lámpara son

Conocida la ddp V y la intensidad i, calculamos la resistencia R=V/i y la potencia P=i²R. Representamos en el eje X, log(R) y en el eje Y, log(P). La figura nos muestra los valores experimentales (puntos de color rojo) y la recta que mejor ajusta

V=[33,57,76,96,109,143,164,183,198,207]; %ddp
i=[0.068,0.087,0.100,0.113,0.120,0.140,0.148,0.157,0.164,0.168]; %intensidad
R=V./i; %resistencia
plot(log(R),log((i.^2).*R),'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r',
'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('log(R)')
ylabel('log(P)')
title('Cálculo del coeficiente \gamma')

En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste.

La pendiente de la recta 4γ es el valor del coeficiente p1=2.9791. El resultado es γ=0.7448.

Una vez que se ha determinado el valor de γ, se calcula la temperatura T del filamento para cada valor de la resistencia R=V/i mediante la fórmula

${\displaystyle T={\left(\frac{R}{197}\right)}^{0.\text{7448}}473}$

>> gamma=0.7448;
>> T=(R/197).^gamma*473
T =   1.0e+03 *
0.9257    1.1576    1.2929    1.4048    1.4765    1.6114    1.7122    1.7779
    1.8251    1.8530

Corriente en el fototransistor

La luz de color rojo, de longitud de onda λ=0.752·10^-7 m que ilumina al fototransistor genera una corriente i. Para cada temperatura del filamento (primera columna) de la lámpara se genera una corriente en el fototransistor de intensidad que se especifica en la segunda columna

Comparamos la intensidad I₁ de la luz roja que llega al fototransistor cuando la temperatura del filamento de la lámpara es T₁ y la que llega I_n cuando la temperatura del filamento es T_n, n=2,3,4...

${\displaystyle \frac{I_1}{I_n}\approx \frac{\exp \left(\frac{hf}{k{T}_n}\right)}{\exp \left(\frac{hf}{k{T}_1}\right)}}$

La corriente i generada en el fototransistor es proporcional a la intensidad de la luz I que lo ilumina.

${\displaystyle \begin{array}{l}\log \left(\frac{i_1}{i_n}\right)=\frac{hf}{k{T}_n}-\frac{hf}{k{T}_1}\\ \frac{k\lambda }{c}\log \left(\frac{i_n}{i_1}\right)=h\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_n}\right)\end{array}}$

Representamos en el eje X, el término entre paréntesis de la derecha, (1/T₁-1/T_n) y en el eje Y el miembro de la izquierda, con k=1.3805·10^-23 J/K, c=3·10⁸ m/s y λ=0.752·10^-7 m. Representamos los valores experimentales (puntos de color rojo) y la recta que mejor ajusta. Calculamos su pendiente h

V=[33,57,76,96,109,143,164,183,198,207]; %ddp
i=[0.068,0.087,0.100,0.113,0.120,0.140,0.148,0.157,0.164,0.168]; %intensidad
%intensidad fototransistor
ip=[0.0019,0.0565,0.2420,0.6980,1.2050,3.1151,4.6501,6.0094,6.7502,6.8503];
R=V./i; %resistencia
gamma=0.7448;
lambda=0.752e-6; %longitud de onda (color rojo)
T=(R/197).^gamma*473; %temperaturas del filamento
y=(1.3805e-23*lambda/3e8)*1e34*log(ip(2:end)/ip(1));
x=(1/T(1)-1./T(2:end));
plot(x,y,'ro','markersize',3,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
grid on
ylabel('\lambda•k•log(i_n/i_1)/c')
xlabel('1/T_1-1/T_n')
title('Cálculo de h')

En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1*x+p2 de ajuste.

La pendiente es el valor del coeficiente p1=5.2097. Como ambos miembros se multiplicaron por 10³⁴ para no trabajar con números excesivamente pequeños, el resultado es h=5.2097·10^-34 J·s.

Actividades

Pulsando en el botón Nuevo se comienza la experiencia

Pulsando en el botón titulado >> se incrementa la f.e.m. de la fuente de alimentación.

El voltímetro mide la fem y el amperímetro mide la corriente que pasa por el filamento de la lámpara

El filamento de la lámpara emite luz y cambia de color a medida que se incrementa su temperatura, desde el color negro, pasando por el rojo, hacia el blanco. El número de rayos trazados indica que al aumentar la temperatura aumenta la intensidad de la radiación emitida. El filtro de color rojo, solamente deja pasar la radiación en un intervalo próximo a λ=0.752·10^-7 m. Los rayos inciden en el fototransistor, que muestra el valor de intensidad de la corriente generada en mA.

Cuando se ha completado la experiencia, se representan los resultados experimentales y la recta que mejor ajusta. La pendiente de la recta es un valor próximo a h=6.6256·10^-34 J·s

Referencias

University Laboratory Experiments. Physics. Volume 4. PHYWE. Pág. 3.17.

Graciela Brizuela, Alfredo Juan. Planck's constant determination using light bulb. Am. J. Phys. 64 (6) June 1996, pp. 819-821