La lámpara incandescente se inventó en 1870. La primera lámpara consistía en un filamento de carbón contenida en un recipiente de vidrio en el que se había hecho el vacío. Esta lámpara duraba muy poco y fue sustituida por lámparas de filamento metálico, principalmente de volframio.

La lámpara incandescente funciona cuando un filamento metálico se calienta a altas temperaturas. Los electrones de los átomos emiten energía en todas las longitudes de onda. Cuando una parte importante de la radiación emitida está en el espectro visible, decimos que está incandescente.

Para que un sólido emita radiación visible tiene que estar a una temperatura de 850 K, entonces lo vemos de color rojo. Comparando con la temperatura de 6500 K de la fotosfera solar, podemos afirmar que es imposible conseguir calentar un objeto sólido a esta temperatura sin que se funda, para que emita el mismo espectro de la radiación que el Sol.

El volframio es el metal que tiene a la vez la temperatura más alta de fusión 3680 K y el menor grado de evaporación. El carbono soporta temperaturas más elevadas antes de fundirse pero se evapora rápidamente.

En la práctica, la temperatura más alta que soporta una lámpara incandescente ordinaria fabricada con filamento de volframio es de 2900 K. A estas temperaturas solamente, una pequeña fracción de de la energía emitida está en la región visible (0.78 a 0.38 µm), menos del 11%, la mayor parte de es radiación infrarroja. Por lo que las lámparas incandescentes son poco eficientes en la emisión de luz visible.

lambda1=input('límite inferior micrómetros): ');
lambda2=input('límite superior micrómetros): ');
T=input('Temperatura (K): ');
h=6.6256e-34;
k=1.3805e-23;
c=2.9979e8;
total=2*pi^5*k^4*T^4/(15*c^2*h^3);
a=h*c/(lambda1*1e-6*k*T);
b=h*c/(lambda2*1e-6*k*T);
f=@(x) (x.^3)./(exp(x)-1);
res=integral(f,a,b)*15/pi^4; 
fprintf('proporción : %2.1f\n',res*100)
fprintf('intensidad (W/m2): %5.1f\n',res*total)

límite inferior micrómetros): 0.78
límite superior micrómetros): 0.38
Temperatura (K): 2900
proporción : 11.2
intensidad (W/m2): 447791.9

Hemos supuesto que el filamento se comporta como un cuerpo negro, ignorando la emisividad ε que depende la temperatura y de la longitud de onda y el coeficiente de transmisión del vidrio de la lámpara. Por ejemplo, la emisividad del volframio a la longitud de onda de 0.65·10^-6 m (color rojo) y a la temperatura de 2900 K es de ε=0.420.

Resistencia

La resistividad del volframio depende de la temperatura

Fuente: W. E. Forsythe, E. M. Watson. Resistance and Radiation of Tungsten as a Function of Temperature. J.O.S.A: April 1934, Volume 24

Representamos lnρ en función de ln(T/T₀), donde T₀=293 K

T=[293,300:100:3000];
rho=[5.50,5.65,8.00,10.48,13.07,15.75,18.51,22.35,24.26,27.23,30.26,33.29,
36.37,39.50,42.67,45.88,49.12,52.40,55.71,59.05,62.42,65.82,69.25,72.71,
76.20,79.71,83.25,86.81,90.40];
plot(log(T/T(1)),log(rho),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('ln(T/T_0)')
ylabel('\rho')
title('Resistividad del volframio')

Vemos que los puntos se sitúan sobre una línea recta

${\displaystyle \begin{array}{l}\rho (T)=\rho (T_0){\left(\frac{T}{T_0}\right)}^n\\ \ln \rho =\ln {\rho }_0+n\frac{T}{T_0}\end{array}}$

Cuya pendiente es n y cuya ordenada en el origen es lnρ(T₀)

En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla Linear en Types of fits. Al lado de la casilla Equation, aparece la ecuación de la recta de ajuste y=1.202x+1.711

Los resultados son

• Exponente, n=1.202
• Resistividad ρ(T₀), a la temperatura ambiente T₀=293 K, exp(1.711)·10^-8=5.5345·10^-8 Ω·m

Autoinducción

El filamento de volframio de la lámpara que se estudia, tiene forma de hélice de diámetro 0.15 mm, de N=93 vueltas y de pocos centímetros de longitud

El coeficiente de autoinducción de un solenoide es

${\displaystyle L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}S}{l}}$

Teniendo en cuenta que μ₀=4π10^-7 y las dimensiones de solenoide, S es el área de la sección y l la longitud, el coeficiente de autoinducción L es muy pequeño, así como la impedancia ωL. Supondremos por tanto, que el filamento solamente tiene resistencia

Medida de la temperatura del filamento

La resistencia de un conductor de longitud l y sección S=πr² es

${\displaystyle R=\rho \frac{l}{S}=\rho \frac{l}{\pi r^2}}$

La resistencia de un filamento de radio r=1.25·10^-5 m y longitud l=0.037 m a la temperatura T₀=293 K es R(T₀)=4.1717 Ω. La resistencia medida es 3.95 Ω

La resistencia del mismo filamento calentado a la temperatura T es

${\displaystyle R(T)=R(T_0){\left(\frac{T}{T_0}\right)}^n}$

Ejemplo: Se ha medido la resistencia de un filamento a la temperatura ambiente, R(T₀)=3.95 Ω y a continuación, la resistencia R(T)=44.4 Ω a otra temperatura T desconocida

${\displaystyle T=T_0{\left(\frac{R(T)}{R(T_0)}\right)}^{1/n}}$

>> 293*(44.4/3.95)^(1/1.202)
ans =2.1931e+03

La temperatura del filamento es T=2193 K

Efecto de la dilatación térmica

Utilizando el catetómetro se han medido las longitud de un filamento de volframio entre las temperaturas de 1200 a 2500 K encontrándose la siguiente relación

${\displaystyle \frac{l-l_0}{l_0}=0.00245\left(\frac{T-300}{1000}\right)+0.000567{\left(\frac{T-300}{1000}\right)}^2}$

siendo l₀ la longitud del filamento a 300 K

Fuente: Irving Langmuir. The characteristics of tungsten filament as a function of temperature. Descargado en este enlace

Representamos el incremento relativo de longitud (l-l₀)/l₀ en función de la temperatura T. Incluyendo los dos términos, cuadrático, (azul) o solamente el primero, lineal, (rosa)

hold on
f=@(T) 0.00245*(T-300)/1000+0.000567*(T-300).^2/1000^2;
fplot(f, [1200,2500])
fplot(@(T) 0.00245*(T-300)/1000, [1200,2500])
hold off
grid on
xlabel('T')
ylabel('(l-l_0)/l_0')
legend('cuadrático','lineal','location', 'best')
title('Dilatación del volframio')

Si solamente incluimos el término lineal (recta inferior)

${\displaystyle \frac{l-l_0}{l_0}\approx \beta \Delta T,l=l_0\left(1+\beta \Delta T\right)}$

con β=0.00245/1000=2.45·10^-6 K^-1

La resistencia del filamento cambia muy poco por efecto de la dilatación térmica, ya que β(T-T₀)<<1, es muy pequeño

${\displaystyle \begin{array}{l}R(T)=\rho (T)\frac{l_0\left(1+\beta \Delta T\right)}{S_0{\left(1+\beta \Delta T\right)}^2}\\ \frac{R(T)}{R(T_0)}=\frac{\rho (T)}{\rho (T_0)}\frac{1}{1+\beta \Delta T}\end{array}}$

Donde S₀ y l₀ son la sección y la longitud del filamento a la temperatura T₀=300 K

A la temperatura T=2193 K el término β(T-300)=0.0046, despreciable frente a la unidad

Establecimiento de la temperatura T

Calor específico del volframio

Buscamos en Internet datos acerca del calor específico del volframio y encontramos la figura 2 del artículo, que reproducimos con MATLAB

Mingyue Zhao, Zhangjian Zhou, Ming Zhong, Jun Tan, Youyun Lian, Xiang Liu. Thermal shock behavior offine grained W-Y₂O₃ materials fabricated via two different manufacturing technologies. Journal of Nuclear Materials 470 (2016) 236e243

El calor específico c_p del volframio cambia con la temperatura, con un incremento notable cuando la temperatura es elevada

c_p=124.62+0.0255·T J/(kg K) entre las temperaturas 298≤T≤2500 K, después crece rápidamente entre 2500 y 3680 K, c_p=754.58-0.4757·T+9.9476·10^-5T²

hold on
fplot(@(T) 124.62+0.0255*T, [298,2500])
fplot(@(T) 754.58-0.4757*T+9.947e-5*T.^2, [2500,3680])
hold off
grid on
xlabel('T')
ylabel('c_p')
title('Calor específico del volframio')

El filamento está inicialmente a la temperatura ambiente T₀=293 K. Se pusa el interruptor de la luz y al cabo de muy poco tiempo (imperceptible), alcanza la temperatura T=2193 K. Supondremos que todo el calor generado en el filamento por efecto Joule V²/R, se emplea en incrementar la temperatura del filamento

${\displaystyle \begin{array}{l}m{c}_p\frac{dT}{dt}=\frac{V^2}{R(T)}\\ \left({\rho }_W\pi r^{2}l\right)c_p(T)\frac{dT}{dt}=\frac{V^2}{R(T_0)}{\left(\frac{T_0}{T}\right)}^n\\ t=\frac{\left({\rho }_W\pi r^{2}l\right)R(T_0)}{V^2{T}_0^{\mu }}{\displaystyle \underset{293}{\overset{2193}{\int }}{T}^n{c}_p(T)dT}\\ t=\frac{\left({\rho }_W\pi r^{2}l\right)R(T_0)}{V^2{T}_0^{\mu }}{\displaystyle \underset{293}{\overset{2193}{\int }}\left(124.62+0.0255T\right)T^{n}dT}\\ t=\frac{\left({\rho }_W\pi r^{2}l\right)R(T_0)}{V^2{T}_0^{\mu }}{124.62\frac{T^{n+1}}{n+1}+0.0255\frac{T^{n+2}}{n+2}|}_{293}^{2193}\end{array}}$

Los datos son:

• Densidad del volframio, ρ_W=19 340 kg/m³
• Radio del filamento, r=1.25·10^-5 m
• Longitud del filamento, l=0.037 m
• Resistencia medida a T₀=293 K, R(T₀)=3.95 Ω
• fem alterna, V=6.3 V
• Temperatura del filamento, T=2193 K

n=1.202;
f1=@(T) 124.62*T^(n+1)/(n+1)+0.0255*T^(n+2)/(n+2);
t=19340*pi*1.25e-5^2*0.037*3.95*(f1(2193)-f1(293))/(6.3^2*293^n);
disp(t)

El resultado es t=0.0632 s. El tiempo real será algo más grande

Tiempo de vida de una lámpara

Relación entre temperatura T del filamento y su radio r

La ley de Joule nos da la energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia

${\displaystyle P_e=i^{2}R(T)=\frac{V^2}{R(T)}=\frac{V^2\left(\pi r^2\right)}{\rho (T)l}=\frac{V^2\left(\pi r^2\right)}{\rho (T_0)l}{\left(\frac{T_0}{T}\right)}^n}$

Cuando se ha establecido la temperatura T en el filamento, esta energía se convierte principalmente en radiación algo en el visible pero sobre todo en el infrarrojo, en la conducción del calor a través de los cables que conectan el casquillo con el filamento, el gas que hay en la lámpara que impide la evaporación del metal, etc.

${\displaystyle P_r=\sigma \epsilon (T)A\left(T^4-T_0^4\right)}$

donde σ=5.670·10^-8 W/(m²K⁴) y A es el área de la superficie lateral de un cilindro de radio r y longitud l

ε(T) es la emisividad del volframio que varía con la temperatura y la longitud de onda. Las medidas tomadas (tabla VIII) pág 329 de Irving Langmuir, indican que esta variación es demasiado pequeña para tenerla en cuenta, su valor cambia de 0.440 a 0.525. Tomaremos el valor de ε=0.5, constante e independiente de la temperatura.

Por otra parte, la temperatura ambiente T₀=293 K es pequeña respecto de la temperatura de operación de la lámpara T=2193, por lo que el cociente (T₀/T)⁴<<1

${\displaystyle P_r\approx \sigma \epsilon \left(2\pi rl\right)T^4}$

Supondremos que la energía por unidad de tiempo producida en la resistencia se transforma integramente en energía de la radiación a la temperatura T

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{V^2\left(\pi r^2\right)}{\rho (T_0)l}{\left(\frac{T_0}{T}\right)}^n=\sigma \epsilon \left(2\pi rl\right)T^4\\ T^{n+4}=\frac{V^2{T}_0^n}{2\rho (T_0)l^2\sigma \epsilon }r\\ T={\left(\frac{V^2{T}_0^n}{2\rho (T_0)l^2\sigma \epsilon }\alpha r_0\right)}^{1/(n+4)}=k{\alpha }^{1/(n+4)}\end{array}}$

Los datos son los siguientes:

• fem alterna, V=6.3 V
• Exponenente n=1.202
• Temperatura ambiente, T₀=293 K
• Resistividad a esta temperatura, ρ(T₀)=5.5345·10^-8 Ω·m
• Longitud del filamento, l=0.037 m
• Emisividad, ε=0.5
• Constante, σ=5.670·10^-8 W/(m²K⁴)
• Radio inicial del filamento, r₀=1.25·10^-5 m

>> n=1.202;
>> k=(6.3^2*293^n*2.15e-5/(2*5.5345e-8*0.037^2*5.67e-8*0.5)^(1/(n+4)))
k =   1.7171e+03

El valor de la constante k=1717. Representamos la temperatura T del filamento en función del radio r, o mejor, del parámetro α=r/r₀

n=1.202;
k=1717.1;
fplot(@(x) k*x.^(1/(4+n)),[0,1])
grid on
xlabel('\alpha')
ylabel('T')
title('Temperatura - radio')

Para α=1 o r=r₀=1.25·10^-5 m, T=k=1717 K algo menor que la que se había determinado mediante la medida de la resistencia, T=2193 K

Evaporación del filamento

En una lámpara real, un pequeño segmento del filamento eleva su temperatura, se empieza a evaporar y finalmente, se interrumpe el paso de la corriente eléctrica, la lámpara se ha fundido. En este apartado, supondremos que todo el filamento se va evaporando de forma uniforme

En el artículo titulado

Dulli C Agrawal, V Jayaram Menon. Lifetime and temperature of incandescent lamps. Phys. Educ. 33 (1) January 1998, pp. 55-58

Encontramos datos relativos al la evaporación del volframio entre las temperaturas 1000 a 3655 K

Representamos los datos de J en función de la temperatura T

T=[1000:100:3600,3655];
J=[5.32e-33,2.17e-29,3.21e-26,4.35e-23,2.51e-21,2.37e-19,1.25e-17,4.17e-16,
8.81e-15,1.41e-13,1.76e-12,1.66e-11,1.25e-10,8.00e-10,4.26e-9,2.03e-8,8.41e-8,
3.19e-7,1.10e-6,3.30e-6,9.95e-6,2.60e-5,6.38e-5,1.56e-4,3.47e-4,7.54e-4,1.51e-3,
2.28e-3];
plot(T,J,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('T')
ylabel('J')
title('Evaporación del volframio')

La evaporación del volframio comienza a ser significativa a partir de 3000 K.

Representamos los datos de lnJ en función de la temperatura lnT para ver si se pueden ajustar a alguna función

T=[1000:100:3600,3655];
J=[5.32e-33,2.17e-29,3.21e-26,4.35e-23,2.51e-21,2.37e-19,1.25e-17,4.17e-16,
8.81e-15,1.41e-13,1.76e-12,1.66e-11,1.25e-10,8.00e-10,4.26e-9,2.03e-8,8.41e-8,
3.19e-7,1.10e-6,3.30e-6,9.95e-6,2.60e-5,6.38e-5,1.56e-4,3.47e-4,7.54e-4,1.51e-3,
2.28e-3];
plot(log(T),log(J),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('lnT')
ylabel('lnJ')
title('Evaporación del volframio')

En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla Quadratic en Types of fits. Al lado de la casilla Equation aparece la ecuación del polinomio de ajuste de segundo grado, y=-25.42x²+435.6x-1869

Representamos los datos experimentales y la función que mejor ajusta a estos datos

T=[1000:100:3600,3655];
J=[5.32e-33,2.17e-29,3.21e-26,4.35e-23,2.51e-21,2.37e-19,1.25e-17,4.17e-16,
8.81e-15,1.41e-13,1.76e-12,1.66e-11,1.25e-10,8.00e-10,4.26e-9,2.03e-8,8.41e-8,
3.19e-7,1.10e-6,3.30e-6,9.95e-6,2.60e-5,6.38e-5,1.56e-4,3.47e-4,7.54e-4,1.51e-3,
2.28e-3];
hold on
plot(T,J,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
J=@(T) exp(-25.42*log(T).^2+435.6*log(T)-1869);
fplot(J,[1000,3700])
hold off
grid on
xlabel('T')
ylabel('J')
title('Evaporación del volframio')

El coeficiente de evaporación J(T) se define

${\displaystyle J(T)=-\frac{1}{A}\frac{dm}{dt}=-\frac{1}{2\pi rl}\frac{d\left({\rho }_W\pi r^{2}l\right)}{dt}=-{\rho }_W\frac{dr}{dt}}$

A es la superficie lateral del filamento cilíndrico de radio r y longitud l. m es la masa del filamento. El signo negativo indica que la masa disminuye con el tiempo. La unidad del coeficiente de evaporación es kg/(m²s)

${\displaystyle \begin{array}{l}t=-{\rho }_W{\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}\frac{dr}{J(r)}}=-{\rho }_W{r}_0{\displaystyle \underset{1}{\overset{\alpha }{\int }}\frac{d\alpha }{J(\alpha )}}\\ J(T)=\exp \left(-25.42{\left(\ln (T)\right)}^2+435.6·\ln (T)-1869\right)\\ T=k{\alpha }^{1/(n+4)}\end{array}}$

Se resuelve la integral definida por procedimientos numéricos utilizando la función integral de MATLAB

n=1.202;
k=1717.1;
T=@(x) k*x.^(1/(4+n));
f=@(x) 1./exp(-25.42*log(T(x)).^2+435.6*log(T(x))-1869);
t=19340*1.25e-5*integral(f,1/2,1);
disp(t)

El tiempo que tarda en evaporarse el filamento de forma uniforme hasta la mitad de su radio α=1/2, es t=4.1440·10¹⁶ s=1.1511·10¹³ horas. La lámpara real dura bastante menos, del orden de cientos a miles 10³ de horas

Referencias

Paul Gluck, John King. Physics of Incandescent lamp Burnout. The Physics Teacher, Vol. 46, January 2008. pp. 29-35

V Jayaram Menon, Dulli C Agrawal. Switching time of a 100 watt bulb. Phys. Educ. 34 (1) January 1999, pp. 34-36