Movimiento relativo en el Sistema de Referencia Local

Sistema de referencia local

Supongamos inicialmente que la Tierra no gira. Situamos el Sistema de Referencia Inercial S' con origen en el centro de la Tierra, con el eje Z' en la dirección del eje de rotación. La posición de un punto P es

{ x'=r'sinθ'cosφ' y'=r'sinθ'sinφ' z'=r'cosθ'

Si el punto P está en la superficie de la Tierra de radio r'=R (radio de la Tierra)

R =Rsinθ'cosφ'· i ^ '+Rsinθ'sinφ'· j ^ '+Rcosθ'· k ^ '

El Sistema de Referencia Local S tiene su origen en el punto P, y los ejes orientados en la dirección radial, en la dirección Este (tangente al paralelo del lugar) y la dirección Sur (tangente al meridiano del lugar). Véase la figura debajo del código, más abajo.

Para determinar las direcciones de estos ejes, relacionando los vectores unitarios ( r ^ ', φ ^ ', θ ^ ') con ( i ^ ', j ^ ', k ^ ') del siguiente modo:

%x=theta, y=phi
>> syms x y;
>> r=[sin(x)*cos(y),sin(x)*sin(y),cos(x)];
>> phi=[-sin(y),cos(y),0];
>> simplify(cross(phi,r))
ans =[ cos(x)*cos(y), cos(x)*sin(y), -sin(x)]

Utilizamos MATLAB para dibujar el Sistema de Referencia Inercial S' con origen en el centro de la Tierra, y los ejes X', Y' y Z' en color azul. El ángulo θ=60° o bien, la latitud es λ=30°. La longitud se ha establecido en φ=0. Se muestra el plano local, tangente a la superficie esférica en el punto P y el Sistema de Referencia Local S cuyo origen está en el punto P, en color rojo los ejes señalados por las direcciones de los vectores unitarios ( r ^ ', φ ^ ', θ ^ ') . Dirección radial, tangente al paralelo, hacia el Este y tangente al meridiano del lugar, hacia el Sur

%esfera
R=1;
phi=linspace(0,pi,30);
theta=linspace(0,2*pi,40);
[phi,theta]=meshgrid(phi,theta);
x=R*sin(phi).*cos(theta);
y=R*sin(phi).*sin(theta);
z=R*cos(phi);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6],'EdgeAlpha',0.5,'FaceAlpha',0.5)
axis equal
 
%paralelo
theta=pi/3;
phi=0:0.1:2*pi;
x=sin(theta)*cos(phi);
y=sin(theta)*sin(phi);
z=cos(theta)*ones(1,length(x));
h1=line(x,y,z);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
%meridiano
phi=0;
theta=-pi:0.1:pi;
x=sin(theta)*cos(phi);
y=sin(theta)*sin(phi);
z=cos(theta);
h1=line(x,y,z);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
 
%plano tangente
phi=0;
theta=pi/3;
x0=sin(theta)*cos(phi);
y0=sin(theta)*sin(phi);
z0=cos(theta);
[x,y]=meshgrid(-0.2+x0:0.05:0.2+x0,-0.2+y0:0.05:0.2+y0);
z=(1-x*x0-y*y0)/z0;
hold on
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0,0,0.8])
 
%Sistema de referencia local S
h1=quiver3(x0,y0,z0,sin(theta)*cos(phi),sin(theta)*sin(phi), cos(theta));
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
h1=quiver3(x0,y0,z0,cos(theta)*cos(phi),cos(theta)*sin(phi), -sin(theta));
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
h1=quiver3(x0,y0,z0,-sin(phi),cos(phi),0);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
 
%sistema de referencia S'inercial
h1=quiver3(0,0,0, 1.5,0,0);
set(h1,'Color',[0,0,0.7],'LineWidth',1.5)
h1=quiver3(0,0,0, 0,1.5,0);
set(h1,'Color',[0,0,0.7],'LineWidth',1.5)
h1=quiver3(0,0,0, 0,0,1.5);
set(h1,'Color',[0,0,0.7],'LineWidth',1.5)
 
axis equal
view(60,10)
hold off
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')
title('Sistema de referencia local')

Sea un punto Q cercano a la superficie de la Tierra, su posición relativa al Sistema de Referencia Local S es

r =x θ ^ '+y φ ^ '+z r ^ ' r =(xcosθ'cosφ'ysinφ'+zsinθ'cosφ') i ^ '+ (xcosθ'sinφ'+ycosφ'+zsinθ'sinφ') j ^ '+ (xsinθ'+zcosθ') k ^ '

El vector posición de Q relativo al Sistema de Referencia Inercial S' en el centro de la Tierra es

r + R =(xcosθ'cosφ'ysinφ'+(R+z)sinθ'cosφ') i ^ '+ (xcosθ'sinφ'+ycosφ'+(R+z)sinθ'sinφ') j ^ '+ (xsinθ'+(R+z)cosθ') k ^ '

Relacionamos las componentes (x,y,z) del punto Q en el Sistema de Referencia Local S con las componentes de Q (x',y',z') en el Sistema de referencia S' con origen en el centro de la Tierra.

{ x'=xcosθ'cosφ'ysinφ'+(R+z)sinθ'cosφ' y'=xcosθ'sinφ'+ycosφ'+(R+z)sinθ'sinφ' z'=xsinθ'+(R+z)cosθ'

Una vez definido el Sistema de Referencia Local S, denominaremos a sus ejes X (hacia el Sur), Y (hacia el Este) y Z (vertical) y a los vectores unitarios a lo largo de los ejes ( i ^ , j ^ , k ^ ) . De modo, que el vector r posición del punto Q se escribe ahora

r =x i ^ +y j ^ +z k ^

Posición y velocidad de la partícula

Como la Tierra gira alrededor del eje Z' con velocidad angular constante Ω, entonces, φ'=Ω·t. Denominando α=θ'. La relación entre las componentes (x,y,z) del punto Q en el Sistema de Referencia Local S con las componentes de Q (x',y',z') en el Sistema de Referencia Inercial S' con origen en el centro de la Tierra es

{ x'=xcosαcos(Ωt)ysin(Ωt)+(R+z)sinαcos(Ωt) y'=xcosαsin(Ωt)+ycos(Ωt)+(R+z)sinαsin(Ωt) z'=xsinα+(R+z)cosα

Derivando con respecto del tiempo obtenemos las componentes de la velocidad de la partícula en el Sistema de Referencia Inercial S' conocidas las componentes de la velocidad de la partícula en el Sistema de Referencia Local S

{ dx' dt = dx dt cosαcos(Ωt) dy dt sin(Ωt)+ dz dt sinαcos(Ωt)Ω( xcosαsin(Ωt)+ycos(Ωt)+(R+z)sinαsin(Ωt) ) dy' dt = dx dt cosαsin(Ωt)+ dy dt cos(Ωt)+ dz dt sinαsin(Ωt)+Ω( xcosαcos(Ωt)ysin(Ωt)+(R+z)sinαcos(Ωt) ) dz' dt = dx dt sinα+ dz dt cosα

Calculamos la energía cinética T de la partícula en el Sistema de Referencia Inercial S'

T= 1 2 m( ( dx' dt ) 2 + ( dy' dt ) 2 + ( dz' dt ) 2 )= 1 2 m{ ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 + ( dz dt ) 2 + Ω 2 ( ( xcosα+(R+z)sinα ) 2 + y 2 )+Ω( 2( dy dt x dx dt y )cosα+2( dy dt (R+z) dz dt y )sinα ) }

Para obtener esta larga expresión, se ha utilizado Math Symbolic. En primer lugar, se emplean las variables: W=Ω, vx=dx/dt, vy=dy/dt, vz=dz/dt, x, y, Rz=R+z para nombrar símbolos matemáticos.

syms a W vx vy vz x y Rz;
vXp=vx*cos(a)*cos(W)-vy*sin(W)+vz*sin(a)*cos(W)-W*(x*cos(a)*sin(W)+
y*cos(W)+Rz*sin(a)*sin(W));
vYp=vx*cos(a)*sin(W)+vy*cos(W)+vz*sin(a)*sin(W)+W*(x*cos(a)*cos(W)-
y*sin(W)+Rz*sin(a)*cos(W));
vZp=-vx*sin(a)+vz*cos(a);
vp2=expand(vXp^2+vYp^2+vZp^2);
vp2=simplify(vp2)
collect(vp2, W)

La respuesta ans se convierte a lenguaje Latex mediante la función latex, se copia en MathType, y se edita, transformando las variables en símbolos matemáticos y completando las simplificaciones.

>> latex(ans)
ans =
\left( - {\mathrm{Rz}}^2\, {\cos\!\left(a\right)}^2 + {\mathrm{Rz}}^2 +
\sin\!\left(2\, a\right)\, \mathrm{Rz}\, x + x^2\, {\cos\!\left(a\right)}^2 +
y^2\right)\, W^2 + \left(2\, \mathrm{vy}\, x\, \cos\!\left(a\right) - 2\, 
\mathrm{vx}\, y\, \cos\!\left(a\right) - 2\, \mathrm{vz}\, y\, 
\sin\!\left(a\right) + 2\, \mathrm{Rz}\, \mathrm{vy}\, 
\sin\!\left(a\right)\right)\, W + \left({\mathrm{vx}}^2 + {\mathrm{vy}}^2 +
{\mathrm{vz}}^2\right)

Determinaremos la energía potencial V(x,y,z) en cada una de las situaciones que vamos a estudiar.

Ecuaciones del movimiento

La lagrangiana L=T-V de la partícula en el Sistema de Referencia Inercial S' es

L= 1 2 m( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 + ( dz dt ) 2 )+ 1 2 m Ω 2 ( ( xcosα+(R+z)sinα ) 2 + y 2 )+ mΩ( ( dy dt x dx dt y )cosα+( dy dt (R+z) dz dt y )sinα )V(x,y,z) L= 1 2 m( x ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 )+ 1 2 m Ω 2 ( ( xcosα+(R+z)sinα ) 2 + y 2 )+ mΩ( ( y ˙ x x ˙ y )cosα+( y ˙ (R+z) z ˙ y )sinα )V(x,y,z)

Las ecuaciones del movimiento se escriben

d dt ( L x ˙ ) L x =0 m d 2 x d t 2 2mΩ dy dt cosαm Ω 2 ( xcosα+(R+z)sinα )cosα+ V x =0 d dt ( L y ˙ ) L y =0 m d 2 y d t 2 +2mΩ( dx dt cosα+ dz dt sinα )m Ω 2 y+ V y =0 d dt ( L z ˙ ) L z =0 m d 2 z d t 2 2mΩ dy dt sinαm Ω 2 ( xcosα+(R+z)sinα )sinα+ V z =0

Caída de una partícula

El primer ejemplo que vamos a estudiar es una partícula que se deja caer desde una altura h. La energía potencial V(x,y,z)=mgz

Dado que el radio R de la Tierra es muy grande comparado con la altura h y la velocidad angular de roración de la Tierra Ω=2π/(24·60·60)=7.2722·10-5 rad/s es pequeña, las ecuaciones del movimiento se pueden aproximar a las siguientes

d 2 x d t 2 =2Ω dy dt cosα+ 1 2 Ω 2 Rsin(2α) d 2 y d t 2 =2Ω( dx dt cosα+ dz dt sinα ) d 2 z d t 2 =2Ω dy dt sinαg

Resolvemos este sistema de ecuaciones con las siguientes condiciones iniciales

t=0{ x=0 dx dt =0 y=0 dy dt =0 z=h dz dt =0

Integramos la primera y tercera ecuación diferencial, (variables separadas) con las condiciones iniciales especificadas. Denominamos k=Ω2Rsin(2α)/2

dx dt =2Ωycosα+k·t dz dt =2Ωysinαgt

Se sustituye dx/dt y dz/dt en la segunda ecuación diferencial

d 2 y d t 2 +4 Ω 2 y=2Ω( gsinαkcosα )t

La solución de esta ecuación diferencial es la suma de una particular y1=At y de la homogénea. Introducimos en la ecuación diferencial para determinar A

A= ( gsinαkcosα ) 2Ω

La ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea tiene dos raíces complejas conjugadas 2iΩ y -2iΩ. La solución completa es

y=Cexp( 2iΩt )+Dexp( 2iΩt )+ ( gsinαkcosα ) 2Ω t

Donde C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, y=0, y dy/dt=0.

y= ( gsinαkcosα ) 2Ω ( t sin( 2Ωt ) 2Ω )

Conocido y, integramos las ecuaciones de primer orden en x y en z con las condicines iniciales: en el instante t=0, y=0, y z=h.

x= 1 2 ( gsinαcosαk cos 2 α+k ) t 2 ( gsinαkcosα )cosα 4 Ω 2 ( 1cos( 2Ωt ) ) z=h 1 2 ( gcosα+ksinα )cosα· t 2 ( gsinαkcosα )sinα 4 Ω 2 ( 1cos( 2Ωt ) )

R=6.378e6; %radio de la tierra en m
W=2*pi/(24*3600); %velocidad angular de rotación de la Tierra
alfa=pi/6; %posición
k=W^2*R*sin(2*alfa)/2;
h=1000;  %altura de caída
x0=[0,0,0,0,h,0]; %condiciones iniciales
t=linspace(0,sqrt(2*h/9.8),200);
y=(9.8*sin(alfa)-k*cos(alfa))*(t-sin(2*W*t)/(2*W))/(2*W);
x=(9.8*sin(alfa)*cos(alfa)-k*cos(alfa)^2+k)*t.^2/2-
(9.8*sin(alfa)-k*cos(alfa))*cos(alfa)*(1-cos(2*W*t))/(4*W^2);
z=h-(9.8*cos(alfa)+k*sin(alfa))*cos(alfa)*t.^2/2-
(9.8*sin(alfa)-k*cos(alfa))*sin(alfa)*(1-cos(2*W*t))/(4*W^2);

plot3(x,y,z)
grid on
xlabel('X: N-S')
ylabel('y: O-E')
zlabel('Z, radial')
title('Caída de un cuerpo sobre la superficie de la tierra')
view(107,12)

>> x(end)
ans =    1.4905
>> y(end)
ans =    0.3454

Los números que aparecen en este cuadro se interpretan del siguiente modo (véase la gráfica): cuando la partícula llega al suelo z=0, la desviación hacia el Sur es x=1.4905, en el código x(end) y la desviación hacia el Este es y=0.3454, en el código y(end)

Comprobamos que se obtienen los mismos resultados resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales utilizando la función dsolve

syms x y z a W g k h;
eq1='D2x-2*W*Dy*cos(a)=k';
eq2='D2y+2*W*(Dx*cos(a)+Dz*sin(a))';
eq3='D2z-2*W*Dy*sin(a)=-g';
[x,y,z]=dsolve(eq1,eq2,eq3,'x(0)=0','y(0)=0','z(0)=h','Dx(0)=0',
'Dy(0)=0','Dz(0)=0');
h1=1000;
W1=2*pi/(24*3600);
g1=9.8;
a1=pi/6;
k1=W1^2*6.378e6*sin(2*a1)/2;
x1=subs(x,{a,W,g,k,h},{a1,W1,g1,k1,h1});
y1=subs(y,{a,W,g,k,h},{a1,W1,g1,k1,h1});
z1=subs(z,{a,W,g,k,h},{a1,W1,g1,k1,h1});
ezplot3(x1,y1,z1,[0,sqrt(2*h1/g1)])
grid on
xlabel('X: N-S')
ylabel('y: O-E')
zlabel('Z, radial')
title('Caída de un cuerpo sobre la superficie de la tierra')
view(107,12)

Fuerzas sobre la partícula en el Sistema de Referencia Local

En el Sistema de Referencia Local, las fuerzas que actúan sobre la partícula que se deja caer desde una altura h, son: el peso (en la dirección radial Z), la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga. Dividiendo entre la masa m obtenemos la ecuación vectorial

d 2 r d t 2 =g k ^ 2 Ω × d r dt Ω ×( Ω × r )

Aceleración de Coriolis

La aceleración de Coriolis es

a co =2 Ω × v

donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra y v es la velocidad del cuerpo medida en el Sistema de Referencia Local. Supongamos que la posición del observador es α.

La aceleración de Coriolis en el hemisferio Norte está dirigida hacia el Este y su módulo es

ay=2Ωv·sinα

Aceleración centrífuga

Si estamos en el hemisferio Norte, en un lugar α, una partícula situada en este punto describe una circunferencia de radio r=R·sinα. La aceleración centrífuga es radial y dirigida hacia afuera, tal como se indica en la figura, su módulo es

ac2r=Ω2R·sinα

Los datos del planeta Tierra son:

La aceleración centrífuga tiene dos componenentes:

Ecuaciones del movimiento

En el Sistema de Referencia Local, el movimiento de un cuerpo que se deja caer, desde la posición z=h, x=0, y=0, es la composición de tres movimientos:

R=6.378e6; %radio de la tierra en m
w=2*pi/(24*3600); %velocidad angular de rotación
h=1000; %altura
alfa=pi/6;  %posición
g=9.8-w^2*R*sin(alfa)^2;  %aceleración de la gravedad
t=0:0.025:sqrt(2*h/g);

z=h-g*t.^2/2;    %en m
y=w*g*t.^3*cos(alfa)/3; %en m
x=w^2*R*cos(alfa)*sin(alfa)*t.^2/2;  %en m
plot3(x,y,z)
grid on
xlabel('X: N-S')
ylabel('y: O-E')
zlabel('Z, radial')
title('Caída de un cuerpo sobre la superficie de la tierra')
view(107,12)

>> x(end)
ans =    1.4881
>> y(end)
ans =    0.5979

Los números que aparecen en este cuadro se interpretan del siguiente modo (véase la gráfica): cuando la partícula llega al suelo z=0, la desviación hacia el Sur es x=1.4881, en el código x(end) y la desviación hacia el Este es y=0.5979, en el código y(end)

Referencias

Eric Poisson. Advanced mechanics PHYS*3400. Lecture notes (January 2008). Department of Physics. University of Guelph.