Movimiento relativo de rotación uniforme

Sea S'un sistema de referencia inercial X',Y',Z' y sea S un sistema de referencia X,Y,Z en rotación. Los orígenes de ambos sistemas de referencia coinciden así como los ejes Z y Z'.

Vamos a utilizar coordenadas esféricas de modo que la posición de un punto P en el sistema S es (r, φ, θ) y el sistema inercial S' es (r', φ', θ'). Dado que el origen de S y S' es el mismo r=r', y como los ejes Z y Z' coinciden θ=θ'. Los ángulos φ y φ' están relacionados por φ'=φ+Ωt

La posición de P en el sistema inercial S' y en el sistema S en rotación son, respectivamente

S{ x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ S'{ x'=rsinθcosφ' y'=rsinθsinφ' z'=rcosθ

Como vemos z'=z. Relacionamos utilizando notación compleja x',y' con x,y

x+iy=rsinθ( cosφ+isinφ )=rsinθexp(iφ) x'+iy'=rsinθexp(iφ')=rsinθexp(iφ+iΩt)= exp(iΩt)·rsinθexp(iφ)=exp(iΩt)·( x+iy ) x'+iy'=( xcos( Ωt )ysin( Ωt ) )+i( ycos( Ωt )+xsin( Ωt ) )

El resultado es

{ x'=xcos( Ωt )ysin( Ωt ) y'=ycos( Ωt )+xsin( Ωt ) z'=z

Derivando con respecto del tiempo relacionamos las componentes de la velocidad en ambos sistemas de referencia

{ dx' dt = dx dt cos( Ωt ) dy dt sin( Ωt )Ω( xsin( Ωt )+ycos( Ωt ) ) dy' dt = dy dt cos( Ωt )+ dx dt sin( Ωt )Ω( ysin( Ωt )xcos( Ωt ) ) dz' dt = dz dt

Calculamos el cuadrado del módulo de la velocidad para obtener la expresión de la energía cinética T'=mv'2/2 en términos de la energía cinética T=mv2/2 en el sistema S

( ( dx' dt ) 2 + ( dy' dt ) 2 + ( dz' dt ) 2 ) =( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 + ( dz dt ) 2 )2Ω( y dx dt x dy dt )+ Ω 2 ( x 2 + y 2 )

Sea V(x,y,z) la energía potencial de la partícula en el sistema S o V(x',y',z') en el sistema inercial S'

La lagrangiana L=T'-V de la partícula en el sistema inercial S' es

L= 1 2 m( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 + ( dz dt ) 2 )mΩ( y dx dt x dy dt )+ 1 2 m Ω 2 ( x 2 + y 2 )V(x,y,z) L= 1 2 m( x ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 )mΩ( y x ˙ x y ˙ )+ 1 2 m Ω 2 ( x 2 + y 2 )V(x,y,z)

Ecuaciones del movimiento

Las tres ecuaciones se pueden expresar en una sola ecuación vectorial:

La velocidad angular de rotación Ω , es un vector que tiene la dirección del eje Z, sentido la regla del sacacorchos, Ω =Ω k ^

m d 2 r d t 2 =( V x i ^ + V y j ^ + V z k ^ )+2m( Ω dy dt i ^ Ω dx dt j ^ )+m( Ω 2 x i ^ + Ω 2 y j ^ ) m d 2 r d t 2 = V2m Ω × d r dt m Ω ×( Ω × r )

El primer término es la fuerza aplicada, el segundo término es la fuerza de Coriolis y el tercer término la fuerza centrífuga.

m d 2 r d t 2 = F a + F co + F c

La fuerza centrífuga F c tiene dirección radial, es la responsable del incremento del radio de la trayectoria y la fuerza de Coriolis F co es perpendicular a la velocidad v = d r dt es responsable de su curvatura.

Movimiento de una partícula a lo largo del eje X

El ejemplo más sencillo es el de una partícula se lanza con velocidad v0 desde el origen a lo largo del eje X sobre una plataforma en rotación con velocidad angular constante Ω. Vamos a determinar la trayectoria vista por el observador inercial.

En este caso V(x,y,z)=0. El movimiento tiene lugar en el plano XY de la plataforma. Las ecuaciones del movimiento son

d 2 x d t 2 2Ω dy dt Ω 2 x=0 d 2 y d t 2 +2Ω dx dt Ω 2 y=0

Utilizando notación compleja

ξ=x+iy d 2 ξ d t 2 2Ω( dy dt i dx dt ) Ω 2 ξ=0 d 2 ξ d t 2 +2Ωi( dx dt +i dy dt ) Ω 2 ξ=0 d 2 ξ d t 2 +2Ωi dξ dt Ω 2 ξ=0

Resolvemos la ecuación diferencial utilizando la función MATLAB dsolve

>> syms W x;
>> z=dsolve('D2x+2*1i*W*Dx-W^2*x=0','Dx(0)=0.1','x(0)=0');
>> z=subs(z,W,2);
>> ezplot(real(z),imag(z),[0,10])

Las raíces de la ecuación característica son

s 2 +2Ωis Ω 2 =0{ s 1 =iΩ s 2 =iΩ

La solución de esta ecuación diferencial lineal con raíces repetidas es

ξ=Cexp( iΩt )+Dtexp( iΩt )

Donde C y D son números complejos cuya parte real e imaginaria se determinan a partir de las condiciones iniciales:

t=0{ dx dt = x ˙ 0 dy dt = y ˙ 0 x= x 0 y= y 0

El resultado es

C= x 0 +i y 0 D=( x ˙ 0 Ω y 0 )+i( y ˙ 0 +Ω x 0 )

Las expresiones de x e y en función del tiempo son:

x=( C r + D r t )cos(Ωt)+( C i + D i t )sin(Ωt) y=( C r + D r t )sin(Ωt)+( C i + D i t )cos(Ωt)

Si la partícula sale del origen x0=0, y0=0, con velocidad v0=0 a lo largo del eje X, x ˙ 0 = v 0 y ˙ 0 = v 0

C=0;
D=0.1; %velocidad inicial de la partícula
W=2; %velocidad angular de rotación
t=0:0.05:10;
x=(real(C)+real(D)*t).*cos(W*t)+(imag(C)+imag(D)*t).*sin(W*t);
y=-(real(C)+real(D)*t).*sin(W*t)+(imag(C)+imag(D)*t).*cos(W*t);
plot(x,y)
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Movimiento en una plataforma en rotación')

Obtenemos la misma trayectoria que en la página Movimiento relativo de rotación uniforme

Movimiento de una partícula unida a un muelle elástico

Vamos a estudiar el comportamiento de una partícula de masa m unida a uno de los extremos de un muelle elástico de constante k mientras que el otro está sujeto al eje de la plataforma en rotación. Si el muelle está sobre la plataforma, en el plano XY, la energía potencial del muelle será

V(x,y)= 1 2 k( x 2 + y 2 )= 1 2 m ω 2 ( x 2 + y 2 )

Las ecuaciones del movimiento para este sistema son

d 2 x d t 2 2Ω dy dt +( ω 2 Ω 2 )x=0 d 2 y d t 2 +2Ω dx dt +( ω 2 Ω 2 )y=0 d 2 z d t 2 =0

La trayectoria de la partícula está confinado al plano XY de la plataforma en rotación. Utilizando notación compleja ξ=x+iy

ξ=x+iy d 2 ξ d t 2 2Ω( dy dt i dx dt )+( ω 2 Ω 2 )ξ=0 d 2 ξ d t 2 +2Ωi dξ dt +( ω 2 Ω 2 )ξ=0

Resolvemos la ecuación diferencial utilizando la función MATLAB dsolve

>> syms w W x;
>> z=dsolve('D2x+2*1i*W*Dx+(w^2-W^2)*x=0','Dx(0)=0+0.4*1i','x(0)=1+0*1i');
>> z=subs(z,{w,W},{1,0.8});
>> ezplot(real(z),imag(z),[0,40])

Las raíces de la ecuación característica

s 2 +2Ωis+( ω 2 Ω 2 )=0{ s 1 =i( ωΩ ) s 2 =i( ω+Ω )

La solución de la ecuación diferencial es

ξ=Cexp( i(ωΩ)t )+Dexp( i(ω+Ω)t )

Donde C y D son números complejos cuya parte real e imaginaria se determinan a partir de las condiciones iniciales:

t=0{ x= x 0 dx dt = x ˙ 0 y= y 0 dy dt = y ˙ 0

El resultado es

C= 1 2 ( ( 1+ Ω ω ) x 0 + y ˙ 0 ω )+i( ( 1+ Ω ω ) y 0 x ˙ 0 ω ) D= 1 2 ( ( 1 Ω ω ) x 0 y ˙ 0 ω )+i( ( 1 Ω ω ) y 0 + x ˙ 0 ω )

La posición de la partícula en la plataforma, sus coordenadas x e y en función del tiempo t son:

x= C r cos(ωΩ)t+ D r cos(ω+Ω)t C i sin(ωΩ)t+ D i sin(ω+Ω)t y= C i cos(ωΩ)t+ D i cos(ω+Ω)t+ C r sin(ωΩ)t D r sin(ω+Ω)t

Donde Cr es la parte real del coeficiente C, Ci es la parte imaginaria y lo mismo cabe decir del coeficiente D

w=1;  %sqrt(k/m)
W=0.7;  %velocidad rotación
x0=1;   %posición inicial
y0=0;
vx0=0; %velocidad inicial
vy0=0.4;
%coeficientes
C=((1+W/w)*x0+vy0/w+1i*((1+W/w)*y0-vx0/w))/2;
D=((1-W/w)*x0-vy0/w+1i*((1-W/w)*y0+vx0/w))/2;
t=0:0.01:40;
x=real(C)*cos((w-W)*t)+real(D)*cos((w+W)*t)-imag(C)*sin((w-W)*t)
+imag(D)*sin((w+W)*t);
y=imag(C)*cos((w-W)*t)+imag(D)*cos((w+W)*t)+real(C)*sin((w-W)*t)
-real(D)*sin((w+W)*t);
plot(x,y)
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Muelle sobre una plataforma en rotación')

Actividades

Especificamos los parámetros del sistema

Especificamos las condiciones iniciales

Si la trayectoria aparece grande o se ve pequeña, se puede reducir o aumentar la escala para ajustarla a la ventana gráfica, en el control titulado Escala

Se sugiere al lector probar los siguientes casos: Ω=1, y Ω=0.8