Movimiento relativo sobre la superficie de la Tierra

La ecuación del movimiento de una partícula de masa m que se mueve sobre la superficie de la Tierra, en movimiento de rotación con velocidad angular constante Ω es:

m d 2 r d t 2 = F a 2m Ω × d r dt m Ω ×( Ω × r )

Donde F a es la fuerza aplicada. Si el eje de giro coincide con el eje Z, es decir, si el vector velocidad angular Ω lleva esta la dirección, entonces

m d 2 r d t 2 = F a +( 2mΩ dy dt i ^ 2mΩ dx dt j ^ )+(m Ω 2 x i ^ +m Ω 2 y j ^ )

Una partícula situada sobre la superficie de la Tierra está sometida a dos fuerzas de dirección radial y de sentido contrario, el peso mg y la reacción de la superficie T

F a =(Tmg)( x R i ^ + y R j ^ + z R k ^ )

Las ecuaciones del movimiento a lo largo de los tres ejes son:

m d 2 x d t 2 =(Tmg) x R +2mΩ dy dt +m Ω 2 x m d 2 y d t 2 =(Tmg) y R 2mΩ dx dt +m Ω 2 y m d 2 z d t 2 =(Tmg) z R

El cuerpo se moverá sobre la superficie de la Tierra siempre que T>0. Expresamos el sistema de tres ecuaciones diferenciales en coordenadas polares. Designamos R como radio de la Tierra, supuesta esférica

{ x=Rsinθcosφ y=Rsinθsinφ z=Rcosθ

Calculamos la derivada primera de x, y, z respecto del tiempo t

{ dx dt =Rcosθcosφ dθ dt Rsinθsinφ dφ dt dy dt =Rcosθsinφ dθ dt +Rsinθcosφ dφ dt dz dt =Rsinθ dθ dt

Calculamos la derivada segunda de x, y, z respecto del tiempo t

{ d 2 x d t 2 =Rsinθcosφ ( dθ dt ) 2 +Rcosθcosφ d 2 θ d t 2 2Rcosθsinφ dθ dt dφ dt Rsinθcosφ ( dφ dt ) 2 Rsinθsinφ d 2 φ d t 2 d 2 y d t 2 =Rsinθsinφ ( dθ dt ) 2 +Rcosθsinφ d 2 θ d t 2 +2Rcosθcosφ dθ dt dφ dt Rsinθsinφ ( dφ dt ) 2 +Rsinθcosφ d 2 φ d t 2 d 2 z d t 2 =Rcosθ ( dθ dt ) 2 Rsinθ d 2 θ d t 2

Introducimos estos resultados en las ecuaciones del movimiento. Despejamos T en la tercera ecuación y la sustituimos en las dos primeras. Se simplifica, la masa m y el radio R y nos queda un sistema de dos ecuaciones diferenciales

{ cosφ sinθ d 2 θ d t 2 sinθsinφ d 2 φ d t 2 2cosθsinφ dθ dt dφ dt sinθcosφ ( dφ dt ) 2 =2Ωcosθsinφ dθ dt +2Ωsinθcosφ dφ dt + Ω 2 sinθcosφ sinφ sinθ d 2 θ d t 2 +sinθcosφ d 2 φ d t 2 +2cosθcosφ dθ dt dφ dt sinθsinφ ( dφ dt ) 2 =2Ωcosθcosφ dθ dt +2Ωsinθsinφ dφ dt + Ω 2 sinθsinφ

Despejamos en este sistema de dos ecuaciones,las derivadas segundas, d 2 φ d t 2 y d 2 θ d t 2

Nos queda el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales

{ d 2 θ d t 2 =sinθcosθ( ( dφ dt ) 2 +2Ω dφ dt + Ω 2 ) d 2 φ d t 2 =2 cosθ sinθ ( Ω dθ dt + dθ dt dφ dt )

Que se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales

t=0{ φ=0 dφ dt = φ ˙ 0 θ= θ 0 dθ dt = θ ˙ 0

Se obtiene una gran variedad de trayectorias modificando las condiciones iniciales. Fijamos la posición de lanzamiento: θ0=π/3 y φ0=0. Modificamos la velocidad inicial:

En letra cursiva, el vector x0 que en el código establece las condiciones iniciales

La partícula se mantiene sobre la superficie de la Tierra siempre que T≥0

T=mg+ mR z d 2 z d t 2 T=mgmR( ( dθ dt ) 2 +tanθ d 2 θ d t 2 )

En caso contrario, se podría imaginar que una fuerza en dirección radial mantendría la partícula sobre la superficie de la Tierra.

Creamos un script, para trazar las trayectorias de la partícula sobre la superficie esférica, integrando el sistema de dos ecuaciones diferenciales mediante ode45. En la figura (más abajo), se representa la trayectoria seguida por la partícula cuando se lanza hacia el norte con velocidad 0.5

R=1; %radio de la Tierra
W=1; %velocidad angular de rotación
x0=[pi/3,-0.5,0,0]; %condiciones iniciales: [theta, dtheta/dt, phi,dphi/dt]
tspan=[0,7];
% x(1)=theta, x(2)=dtheta/dt,x(3)=phi, x(4)=dphi/dt
fg=@(t,x)[x(2); sin(x(1))*cos(x(1))*(x(4)^2+2*W*x(4)+W^2); x(4);
 -2*cos(x(1))*(W*x(2)+x(2)*x(4))/sin(x(1))];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);
xp=R*sin(x(:,1)).*cos(x(:,3));
yp=R*sin(x(:,1)).*sin(x(:,3));
zp=R*cos(x(:,1));
 
%esfera
phi=linspace(0,pi,30);
theta=linspace(0,2*pi,40);
[phi,theta]=meshgrid(phi,theta);
x=R*sin(phi).*cos(theta);
y=R*sin(phi).*sin(theta);
z=R*cos(phi);
h1=mesh(x,y,z);
set(h1,'EdgeColor',[0.6,0.6,0.6],'EdgeAlpha',0.5,'FaceAlpha',0.5)
axis equal
 
%trayectoria
h1=line(xp,yp,zp);
set(h1,'Color',[.7,0,0],'LineWidth',1.5)
view (130,20)
hold off
axis equal
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento sobre la superficie de la Tierra')

Referencias

A. Amengual. Noninertial trajectories on a fast rotating planet. Am. J. Phys. 68 (12) December 2000, pp. 1106-1108