Choque elástico de un fotón con un espejo móvil

Consideremos un fotón de energía hf0 y de momento lineal hf0/c, que choca oblicuamente con una superficie perfectamente reflectante de masa M que se mueve con velocidad v. Supondremos que esta velocidad es pequeña comparada con la velocidad c de la luz, v<<c.

Como consecuencia del choque elástico entre el fotón y la superficie reflectante, el ángulo de incidencia θ1 no será igual al de reflexión, θ2, ni la frecuencia del fotón f0 incidente será igual al la frecuencia f del fotón reflejado por dicha superficie.

Principios de conservación

La ecuación de conservación del momento lineal a lo largo del eje Y y la ecuación de conservación de la energía se escriben

MΔv= h c ( f 0 cos θ 1 +fcos θ 2 ) h f 0 =hf+v·( MΔv )+ 1 2M ( MΔv ) 2

Se transforman en la ecuación

h f 0 =hf+ hv c ( f 0 cos θ 1 +fcos θ 2 )+ h 2 2M c 2 ( f 0 cos θ 1 +fcos θ 2 ) 2

El tercer término se puede despreciar, ya que en el numerador aparece el cuadrado de la constante h de Planck, en el denominador aparece la masa del espejo, M multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz, c

f 0 f+ f 0 v c ( f 0 cos θ 1 +fcos θ 2 ) f= f 0 1 v c cos θ 1 1+ v c cos θ 2

Relación entre le ángulo de incidencia y el reflejado

La ecuación de conservación del momento lineal a lo largo del eje X se escribe, f0sinθ1=fsinθ2. Conocida la relación entre las frecuencias f0 y f

( 1+ v c cos θ 2 )sin θ 1 =( 1 v c cos θ 1 )sin θ 2

Despejamos cosθ2, siguiendo el mismo procedimiento que al final de la página titulada 'Principio de Fermat'

Elevamos al cuadrado para sustituir sin2θ2=1-cos2θ2, obteniendo una ecuación de segundo grado en cosθ2

( 1 v c cos θ 1 ) 2 ( 1 cos 2 θ 2 )= ( 1+ v c cos θ 2 ) 2 ( 1 cos 2 θ 1 ) ( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 ) cos 2 θ 2 +( 2 v c (1 cos 2 θ 1 ) )cos θ 2 +2 v c cos θ 1 ( 1+ v 2 c 2 ) cos 2 θ 1 =0 cos θ 2 = v c ( 1 cos 2 θ 1 )± v 2 c 2 ( 1 cos 2 θ 1 ) 2 ( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 )( 2 v c ( 1+ v 2 c 2 )cos θ 1 )cos θ 1 ( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 )

Utilizamos Math Symbolic de MATLAB para simplificar y factorizar el discriminante. Llamamos k a v/c y x a cosθ1

>> syms k x;
>> y=k^2*(1-x^2)^2-(1+k^2-2*k*x)*(2*k*x-(1+k^2)*x^2);
>> factor(y)
 ans =[ k - x, k - x, k*x - 1, k*x - 1]

Las dos raíces de la ecuación de segundo grado son

cos θ 2 = v c ( 1 cos 2 θ 1 )±( v c cos θ 1 )( v c cos θ 1 1 ) ( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 ) ( cos θ 2 ) 1 = 2 v c +( 1+ v 2 c 2 )cos θ 1 ( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 ) ( cos θ 2 ) 2 = 2 v c cos 2 θ 1 ( 1+ v 2 c 2 )cos θ 1 ( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 )

De las dos soluciones solamente una es correcta, probamos cuando el espejo está inmóvil v=0, el ángulo de incidencia tiene que ser igual al de reflexión, θ1=θ2

La relación entre el ángulo de incidencia θ1 y de reflexión θ2, es

cos θ 2 = ( 1+ v 2 c 2 )cos θ 1 2 v c ( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 )

Relación entre frecuencias

Sustituyendo cosθ2 en la relación de frecuencias

f= f 0 1 v c cos θ 1 1+ v c cos θ 2 f= f 0 ( 1 v c cos θ 1 )( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 ) ( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 )+ v c ( ( 1+ v 2 c 2 )cos θ 1 2 v c ) f= f 0 ( 1 v c cos θ 1 )( 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 ) 1 v 2 c 2 v c cos θ 1 + v 3 c 3 cos θ 1

Simplificamos

f= f 0 1+ v 2 c 2 2 v c cos θ 1 1 v 2 c 2

Obteniendo el mismo resultado que en la página titulada 'Efecto Doppler en las ondas electromagnéticas'

Referencias

Aleksandar Gjurchinovski. Reflection from a moving mirror-a simple derivation using the photon model of light. Eur. J. Phys. 34 (2013) pp. L1-L4