Pozos rectangulares de potencial, <em>E</em>>0

Pozos rectangulares de potencial, E>0

Pozo de potencial

Se ha resuelto la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial para energías E<V₀, obteniendo los niveles de energía y las funciones de onda de la partícula

En este apartado, resolveremos la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial de profundidad -V₀ cuando la energía de la partícula E>0

$\begin{array}{l} - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + V (x) \cdot ψ (x) = E \cdot ψ (x) \\ V (x) = {\begin{cases} 0, x > a \\ - V_{0}, - a \leq x \leq a \\ 0, x < - a \end{cases} \end{array}$

Consideramos tres regiones

Región I, x<-a

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + \frac{2 m}{ℏ^{2}} E \cdot ψ (x) = 0, k^{2} = \frac{2 m}{ℏ^{2}} E \\ ψ_{I} (x) = A e^{i k x} + B e^{- i k x} \end{array}$

El primer término, es la función de onda de la partícula incidente y el segundo, de la reflejada

Región II, -a≤x<a

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + \frac{2 m}{ℏ^{2}} (V_{0} + E) ψ (x) = 0, q^{2} = \frac{2 m}{ℏ^{2}} (V_{0} + E) \\ ψ_{I I} (x) = C e^{i q x} + D e^{- i q x} \end{array}$

Región III, x>a

$\begin{array}{l} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + \frac{2 m}{ℏ^{2}} E \cdot ψ (x) = 0, k^{2} = \frac{2 m}{ℏ^{2}} E \\ ψ_{I I I} (x) = F e^{i k x} \end{array}$

No hay partículas que se muevan desde la derecha hacia la izquierda en la región III, el término Gexp(-ikx) no está presente

Ahora, vamos a determinar los coeficientes B, C, D y F en función de A, para lo que se precisan cuatro ecuaciones

La función de onda es continua en x=-a y también su derivada primera

$\begin{array}{l} {\begin{cases} ψ_{I} (- a) = ψ_{I I} (- a) \\ {\frac{d ψ_{I} (x)}{d x} |}_{x = - a} = {\frac{d ψ_{I I} (x)}{d x} |}_{x = - a} \end{cases} \\ {\begin{cases} A e^{- i k a} + B e^{i k a} = C e^{- i q a} + D e^{i q a} \\ k (A e^{- i k a} - B e^{i k a}) = q (C e^{- i q a} - D e^{i q a}) \end{cases} \end{array}$

La función de onda es continua en x=a y también su derivada primera

$\begin{array}{l} {\begin{cases} ψ_{I I} (a) = ψ_{I I I} (a) \\ {\frac{d ψ_{I I} (x)}{d x} |}_{x = a} = {\frac{d ψ_{I I I} (x)}{d x} |}_{x = a} \end{cases} \\ {\begin{cases} C e^{i q a} + D e^{- i q a} = F e^{i k a} \\ q (C e^{i q a} - D e^{- i q a}) = k F e^{i k a} \end{cases} \end{array}$

Para resolver el sistema de cuatro ecuaciones, despejamos los coeficientes C y D

$\begin{array}{l} {\begin{cases} (1 + \frac{k}{q}) A e^{- i k a} + (1 - \frac{k}{q}) B e^{i k a} = 2 C e^{- i q a} \\ (1 - \frac{k}{q}) A e^{- i k a} + (1 + \frac{k}{q}) B e^{i k a} = 2 D e^{i q a} \end{cases} \\ {\begin{cases} (1 + \frac{k}{q}) F e^{i k a} = 2 C e^{i q a} \\ (1 - \frac{k}{q}) F e^{i k a} = 2 D e^{- i q a} \end{cases} \end{array}$

Llegamos al sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, B y F

${\begin{cases} (1 + \frac{k}{q}) A e^{- i k a} + (1 - \frac{k}{q}) B e^{i k a} = (1 + \frac{k}{q}) F e^{i k a} e^{- 2 i q a} \\ (1 - \frac{k}{q}) A e^{- i k a} + (1 + \frac{k}{q}) B e^{i k a} = (1 - \frac{k}{q}) F e^{i k a} e^{2 i q a} \end{cases}$

Las expresiones de los coeficientes en términos de k y a son

$\begin{array}{l} F = \frac{2 k q A e^{- 2 i k a}}{2 k q \cos (2 q a) - i (k^{2} + q^{2}) \sin (2 q a)} \\ B = \frac{i (q^{2} - k^{2}) \sin (2 q a) \exp (- 2 i k a)}{2 q k \cos (2 q a) - i (q^{2} + k^{2}) \sin (2 q a)} A \\ C = \frac{k (q + k) e^{- i (k + q) a}}{2 q k \cos (2 q a) - i (q^{2} + k^{2}) \sin (2 q a)} A \\ D = \frac{k (q - k) e^{i (q - k) a}}{2 q k \cos (2 q a) - i (q^{2} + k^{2}) \sin (2 q a)} A \end{array}$

Coeficiente de transmisión T

Los coeficientes de reflexión R y transmisión T son

$\begin{array}{l} T = {| \frac{F}{A} |}^{2} = \frac{4 k^{2} q^{2}}{4 k^{2} q^{2} \cos^{2} (2 q a) + {(q^{2} + k^{2})}^{2} \sin^{2} (2 q a)} \\ R = {| \frac{B}{A} |}^{2} = \frac{{(q^{2} - k^{2})}^{2} \sin^{2} (2 q a)}{4 k^{2} q^{2} \cos^{2} (2 q a) + {(q^{2} + k^{2})}^{2} \sin^{2} (2 q a)} \end{array}$

Comprobamos que R+T=1

El coeficiente T toma el valor 1 cuando 2qa=nπ, n=1, 2, 3...

$E_{n} = {(\frac{n π}{2 a})}^{2} - V_{0}, n = 1,2,3...$

Representamos el coeficiente de transmisión T para un pozo de achura 2a=2·1 y profundidad V₀=2

a=1;
V0=2;
ee=linspace(0,10,200);
T=zeros(1,length(ee));
i=1;
for E=ee
    q=sqrt(V0+E);
    k=sqrt(E);
    T(i)=4*k^2*q^2/(4*q^2*k^2*cos(2*q*a)^2+(q^2+k^2)^2*sin(2*q*a)^2);
    i=i+1;
end
plot(ee,T);
E1=(pi/(2*a))^2-V0;
line([E1,E1],[0,1],'lineStyle','--')
E1=(pi/a)^2-V0;
line([E1,E1],[0,1],'lineStyle','--')
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('E')
ylabel('T')
title('Coeficiente de transmisión')

Función de onda

Comprobamos que la función de onda es continua en x=-a y en x=+a

Representamos la función de onda en las tres regiones, para la energía E=0.15 en un pozo de anchura 2a=2·1 y profundidad V₀=2

a=1; %anchura
V0=2; %profundidad
E=0.15; %energía (cambiar)
q=sqrt(V0+E);
k=sqrt(E);
A=1;
den=2*q*k*cos(2*q*a)-1i*(q^2+k^2)*sin(2*q*a);
F=2*k*q*exp(-2*1i*k*a)/den;
B=1i*(q^2-k^2)*sin(2*q*a)*exp(-2*1i*k*a)/den;
C=k*(q+k)*exp(-1i*(k+q)*a)/den;
D=k*(q-k)*exp(1i*(q-k)*a)/den;

hold on
fplot(@(x) real(A*exp(1i*k*x)+B*exp(-1i*k*x)),[-30*a,-a]) incidente+reflejada
%fplot(@(x) real(A*exp(1i*k*x)),[-30*a,-a]) %incidente
%fplot(@(x) real(B*exp(-1i*k*x)),[-30*a,-a]) %reflejada
fplot(@(x) real(C*exp(1i*q*x)+D*exp(-1i*q*x)),[-a,a])
fplot(@(x) real(F*exp(1i*k*x)),[a,30*a]) %transmitida
hold off

grid on
xlabel('x')
ylabel('\Phi(x)')
title('Función de onda')

Se muestra la función de onda, en la región I (color azul), II (color rojo) y III (color amarillo)

Separamos la parte incidente de la función de onda de la reflejada, en la región I

Solución numérica

La solución analítica, es complicada, cuando se incrementa el número de pozos, pero es posible calcular el coeficiente de transmisión en forma matricial

El primer sistema de dos ecuaciones se escribe en forma matricial

$\begin{array}{l} {\begin{cases} A e^{- i k a} + B e^{i k a} = C e^{- i q a} + D e^{i q a} \\ k (A e^{- i k a} - B e^{i k a}) = q (C e^{- i q a} - D e^{i q a}) \end{cases} \\ (\begin{matrix} e^{- i k a} & e^{i k a} \\ k e^{- i k a} & - k e^{i k a} \end{matrix}) (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{- i q a} & e^{i q a} \\ q e^{- i q a} & - q e^{i q a} \end{matrix}) (\begin{matrix} C \\ D \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) = {(\begin{matrix} e^{- i k a} & e^{i k a} \\ k e^{- i k a} & - k e^{i k a} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} e^{- i q a} & e^{i q a} \\ q e^{- i q a} & - q e^{i q a} \end{matrix}) (\begin{matrix} C \\ D \end{matrix}) \end{array}$

El segundo sistema de dos ecuaciones se escribe en forma matricial. Asignamos a F=1

$\begin{array}{l} {\begin{cases} C e^{i q a} + D e^{- i q a} = F e^{i k a} \\ q (C e^{i q a} - D e^{- i q a}) = k F e^{i k a} \end{cases} \\ (\begin{matrix} e^{i q a} & e^{- i q a} \\ q e^{i q a} & - q e^{- i q a} \end{matrix}) (\begin{matrix} C \\ D \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{i k a} \\ k e^{i k a} \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} C \\ D \end{matrix}) = {(\begin{matrix} e^{i q a} & e^{- i q a} \\ q e^{i q a} & - q e^{- i q a} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} e^{i k a} \\ k e^{i k a} \end{matrix}) \end{array}$

El resultado es

$(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) = {(\begin{matrix} e^{- i k a} & e^{i k a} \\ k e^{- i k a} & - k e^{i k a} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} e^{- i q a} & e^{i q a} \\ q e^{- i q a} & - q e^{i q a} \end{matrix}) {(\begin{matrix} e^{i q a} & e^{- i q a} \\ q e^{i q a} & - q e^{- i q a} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} e^{i k a} \\ k e^{i k a} \end{matrix})$

Los coeficientes de reflexión R y transmisión T son

$R = {| \frac{B}{A} |}^{2}, T = \frac{1}{{| A |}^{2}}$

La matriz inversa de la matriz A es

${(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})}^{- 1} = \frac{1}{| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |} (\begin{matrix} a_{22} & - a_{12} \\ - a_{21} & a_{11} \end{matrix})$

Llamamos a M y su inversa M^-1 a

$M (r, z) = (\begin{matrix} e^{i r z} & e^{- i r z} \\ r e^{i r z} & - r e -^{i r z} \end{matrix}), M^{- 1} (r, z) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} e^{- i r z} & \frac{e^{- i r z}}{r} \\ e^{i r z} & - \frac{e^{i r z}}{r} \end{matrix})$

donde r puede ser k o q y z la abscisa de los puntos de discontinuidad del potencial V(x)

$(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) = {M^{- 1} (k, - a) M (q, - a)} {M^{- 1} (q, a) (\begin{matrix} e^{i k a} \\ k e^{i k a} \end{matrix})}$

Representamos el coeficiente de transmisión T para un pozo de achura 2a=2·1, y profundidad V₀=2. Obtenemos los mismos resultados

a=1;
V0=2;
ee=linspace(0,10,200);
T=zeros(1,length(ee));
i=1;
for E=ee
    q=sqrt(V0+E);
    k=sqrt(E);
    f=@(z,r) [exp(1i*r*z) exp(-1i*r*z); r*exp(1i*r*z) -r*exp(-1i*r*z)]; 
    g=@(z,r) [exp(-1i*r*z) exp(-1i*r*z)/r; exp(1i*r*z) -exp(1i*r*z)/r]/2;  
    M=(g(-a,k)*f(-a,q))*(g(a,q)*[exp(1i*k*(a));k*exp(1i*k*(a))]);
    T(i)=1/abs(M(1))^2;
    i=i+1;
end
plot(ee,T);
E1=(pi/a)^2-V0;
line([E1,E1],[0,1],'lineStyle','--')
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('E')
ylabel('T')
title('Coeficiente de transmisión')

Dos pozos de potencial

Vamos a calcular el coeficiente de transmisión T de un sistema de dos pozos de potencial de anchura a, separados una distancia 2d, la profundidad de los pozos es -V₀

La función de onda en las cinco regiones es

$\begin{array}{l} {\begin{cases} ψ_{I} (x) = A_{1} e^{i k x} + B_{1} e^{- i k x}, - \infty < x < - d - a \\ ψ_{I I} (x) = A_{2} e^{i q x} + B_{2} e^{- i q x}, - d - a \leq x < - d \\ ψ_{I I I} (x) = A_{3} e^{i k x} + B_{3} e^{- i k x}, - d \leq x < d \\ ψ_{I V} (x) = A_{4} e^{i q x} + B_{4} e^{- i q x}, d \leq x < d + a \\ ψ_{V} (x) = A_{5} e^{i k x}, d + a \leq x < \infty \end{cases} \\ k^{2} = \frac{2 m}{ℏ^{2}} E, q^{2} = \frac{2 m}{ℏ^{2}} (V_{0} + E) \end{array}$

Expresamos las condiciones de continuidad en forma matricial

$\begin{array}{l} z = - d - a, (\begin{matrix} e^{i k z} & e^{- i k z} \\ k e^{i k z} & - k e^{i k z} \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{1} \\ B_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{i q z} & e^{- i q z} \\ q e^{i q z} & - q e^{i q z} \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{2} \\ B_{2} \end{matrix}) \\ z = - d, (\begin{matrix} e^{i q z} & e^{- i q z} \\ q e^{i q z} & - q e^{i q z} \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{2} \\ B_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{i k z} & e^{- i k z} \\ k e^{i k z} & - k e^{i k z} \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{3} \\ B_{3} \end{matrix}) \\ z = d, (\begin{matrix} e^{i k z} & e^{- i k z} \\ k e^{i k z} & - k e^{i k z} \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{3} \\ B_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{i q z} & e^{- i q z} \\ q e^{i q z} & - q e^{i q z} \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{4} \\ B_{4} \end{matrix}) \\ z = d + a, (\begin{matrix} e^{i q z} & e^{- i q z} \\ q e^{i q z} & - q e^{i q z} \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{4} \\ B_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{i k z} \\ k e^{i k z} \end{matrix}) \end{array}$

Coeficiente de transmisión

En términos de la matriz M y su inversa M^-1

$(\begin{matrix} A_{1} \\ B_{1} \end{matrix}) = {M^{- 1} (k, - d - a) M (q, - d - a)} {M^{- 1} (q, - d) M (k, - d)} {M^{- 1} (k, d) M (q, d)} {M^{- 1} (q, d + a) (\begin{matrix} e^{i k (d + a)} \\ k e^{i k (d + a)} \end{matrix})}$

El coeficiente de transmisión T y el de reflexión R son

$T = \frac{1}{{| A_{1} |}^{2}}, R = {| \frac{B_{1}}{A_{1}} |}^{2}$

Representamos el coeficiente de transmisión T para dos pozos de achura a=5, separación 2d=2·5 y profundidad V₀=25.

a=5; %anchura
d=5; %separación
V0=25; %profundidad
ee=linspace(0,25,300);
T=zeros(1,length(ee));
i=1;
for E=ee
    q=sqrt(V0+E);
    k=sqrt(E);
    f=@(z,r) [exp(1i*r*z) exp(-1i*r*z); r*exp(1i*r*z) -r*exp(-1i*r*z)]; 
    g=@(z,r) [exp(-1i*r*z) exp(-1i*r*z)/r; exp(1i*r*z) -exp(1i*r*z)/r]/2;  
    M=(g(-d-a,k)*f(-d-a,q))*(g(-d,q)*f(-d,k))*(g(d,k)*f(d,q))*
(g(d+a,q)*[exp(1i*k*(d+a));k*exp(1i*k*(d+a))]);
    T(i)=1/abs(M(1))^2;
    i=i+1;
end
plot(ee,T);
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('E')
ylabel('T')
title('Coeficiente de transmisión')

Apreciamos que hay varios valores de la energía E para los cuales el coeficiente de transmisión T es la unidad

Función de onda

Representamos la función de onda para la energía E=2, para el sistema formado por dos pozos de achura a=5, separación 2d=2·5 y profundidad V₀=25.

a=5; %anchura
d=5; %separación
V0=25; %profundidad
E=2; %energía (cambiar)
q=sqrt(V0+E);
k=sqrt(E);
f=@(z,r) [exp(1i*r*z) exp(-1i*r*z); r*exp(1i*r*z) -r*exp(-1i*r*z)]; 
g=@(z,r) [exp(-1i*r*z) exp(-1i*r*z)/r; exp(1i*r*z) -exp(1i*r*z)/r]/2;  
M=(g(-d-a,k)*f(-d-a,q))*(g(-d,q)*f(-d,k))*(g(d,k)*f(d,q))*(g(d+a,q)*
[exp(1i*k*(d+a));k*exp(1i*k*(d+a))]);
A5=1/M(1);
B1=M(2)/M(1);
A1=1;
R=g(-d-a,q)*f(-d-a,k)*[A1;B1];
A2=R(1); B2=R(2);
R=g(-d,k)*f(-d,q)*R;
A3=R(1); B3=R(2);
R=g(d,q)*f(d,k)*R;
A4=R(1); B4=R(2);
hold on
%incidente+reflejada
fplot(@(x) real(A1*exp(1i*k*x)+B1*exp(-1i*k*x)),[-d-2*a,-d-a]); 
% fplot(@(x) real(A1*exp(1i*k*x)),[-d-2*a,-d-a]); %incidente
% fplot(@(x) real(B1*exp(-1i*k*x)),[-d-2*a,-d-a]); %reflejada
fplot(@(x) real(A2*exp(1i*q*x)+B2*exp(-1i*q*x)),[-d-a,-d]);
fplot(@(x) real(A3*exp(1i*k*x)+B3*exp(-1i*k*x)),[-d,d]);
fplot(@(x) real(A4*exp(1i*q*x)+B4*exp(-1i*q*x)),[d,d+a]);
fplot(@(x) real(A5*exp(1i*k*x)),[d+a, d+2*a]); %transmitida
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('\Psi(x)')
title('Función de onda')

Separamos la parte incidente de la función de onda de la reflejada, en la región I

Referencias

B Stect, C Jpdrzejek. Resonance scattering by a double square-well potential. Eur. J. Phys. 11 (1990) pp. 75-81