La Tierra además de su movimiento orbital alrededor del Sol, tiene un movimiento de rotación alrededor de su eje. Por tanto, el momento angular total de la Tierra es la suma vectorial de su momento angular orbital y su momento angular de rotación alrededor de su eje.

Un electrón ligado a un átomo también gira sobre sí mismo, pero no podemos calcular su momento angular de rotación del mismo modo que calculamos el de la Tierra en función de su masa, radio y velocidad angular.

La idea de que el electrón tiene un movimiento de rotación fue propuesta en 1926 por G. Uhlenbeck y S. Goudsmit para explicar las características de los espectros de átomos con un solo electrón. La existencia del espín (rotación) del electrón está confirmada por muchos resultados experimentales, y se manifiesta de forma muy directa en el experimento de Stern-Gerlach, realizado en 1924.

Se postula la existencia de un momento angular intrínseco del electrón llamado espín $\overrightarrow{S}$ . Como el electrón es una partícula cargada, el espín del electrón debe dar lugar a un momento magnético $\overrightarrow{\mu }$ intrínseco o de espín. La relación que existente entre el vector momento magnético y el espín es

${\displaystyle \overrightarrow{\mu }=-g\frac{e}{2m}\overrightarrow{S}}$

donde g se denomina razón giromagnética del electrón, su valor experimental es aproximadamente 2.

El número de orientaciones del vector momento angular respecto a un eje Z fijo es 2S+1, tenemos para el caso del espín S=1/2 que la componente Z tiene dos valores permitidos $S_z=\pm \frac{1}{2}\hslash$ . Por lo que

${\displaystyle {\mu }_z=\pm {\mu }_B{\mu }_B=\frac{e\hslash }{2m}}$

μ_B se denomina magnetón de Bohr.

Sabiendo que carga del electrón e=1.6·10^-19 C, la masa m=9.1·10^-31 kg y la constante de Planck $\hslash$ =6.63·10^-34/(2π) Js. Obtenemos μ_B =9.27 10^-24 Am².

La energía de un dipolo magnético $\overrightarrow{\mu }$ en un campo magnético $\overrightarrow{B}$ que tiene la dirección del eje Z es el producto escalar

${\displaystyle U=-\overrightarrow{\mu }·\overrightarrow{B}=-{\mu }_{z}B=\pm {\mu }_{B}B}$

Si B es variable en la dirección Z, el dipolo magnético experimenta una fuerza

${\displaystyle F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}=\pm {\mu }_B\frac{\partial B}{\partial z}}$

que lo desviará de su trayectoria rectilínea. Si el dipolo magnético es paralelo al campo magnético, tiende a moverse en la dirección en la que el campo magnético aumenta, mientras que si el dipolo magnético es antiparalelo al campo magnético se moverá en la dirección en la que el campo magnético disminuye.

En el experimento se usa un haz de átomos hidrogenoides, como plata, litio, sodio, potasio y otros que constan de capas electrónicas completas salvo la última en la que tienen un electrón. El momento angular orbital l de dicho electrón es cero, por lo que está en el estado s.

Se selecciona un haz de átomos de una velocidad dada y se le hace atravesar una región en la que existe un campo magnético no homogéneo, tal como se muestra en la figura.

1. Movimiento del átomo en la región en la que se ha establecido un gradiente de campo magnético

Suponiendo que el gradiente de campo magnético es constante, la aceleración a lo largo del eje Z es constante, a lo largo del eje X es cero. Tenemos un movimiento curvilíneo bajo aceleración constante.

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_z=\frac{F_z}{m}\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v\\ v_z=a_{z}t\end{array}\{\begin{array}{l}x=vt\\ z=\frac{1}{2}{a}_z{t}^2\end{array}}$



Si la región en la que hay un gradiente de campo magnético tiene una anchura L, la desviación que experimenta el haz, véase la figura, vale

${\displaystyle z_0=\frac{1}{2}\frac{F_z}{m}{\left(\frac{L}{v}\right)}^2}$

2. Movimiento del átomo fuera de dicha región

Cuando el átomo de masa m abandona la región en la que hay un gradiente de campo magnético, sigue una trayectoria rectilínea con velocidad igual a la que tenía al abandonar la citada región. Las componentes de la velocidad serán

${\displaystyle v_x=v{v}_y=a_z\frac{L}{v}}$



La desviación total en la pantalla será

${\displaystyle d=z_0+\frac{v_y}{v_x}D=\left(\frac{\partial B}{\partial z}\right)\frac{{\mu }_{B}L}{m{v}^2}\left(\frac{L}{2}+D\right)}$

Midiendo d despejamos en dicha ecuación el valor μ_B del magnetón de Bohr.

Actividades

• Se selecciona el tipo de átomos, en el control de selección titulado Atomo. Entre paréntesis, se proporciona el peso atómico en gramos.

• Se introduce la Velocidad del haz de átomos

• Se pulsa el botón Nuevo.

• Se mide la desviación del haz en la pantalla, la regla está graduada en milímetros. A partir de dicha medida se obtiene el valor el valor μ_B del magnetón de Bohr. Se compara el valor calculado con su definición dada más arriba en términos de la carga del electrón, de su masa y de la constante h de Planck.

• La anchura de la región donde se establece un gradiente de campo magnético es L= 5 cm. La distancia entre el límite de dicha región y la pantalla es de D=15 cm. El gradiente del campo magnético es $\frac{\partial B}{\partial z}=2000\text{T/m}$.

• La masa m de un átomo en gramos es el cociente entre su peso atómico y el número de Avogadro 6.02·10²³ atomos/mol.

Ley de Curie

La experiencia de Stern-Gerlach se completa comprobando que el momento magnético medio de los átomos depositados es inversamente proporcional a la temperatura absoluta (ley de Curie).

Se calienta una sustancia paramagnética en un horno que emite un haz de átomos hidrogenoides eléctricamente neutros con la misma velocidad v, que siguen una trayectoria rectilínea hasta que se encuentran en una región en la que hay un gradiente de campo magnético. Sobre la placa de observación colocada perpendicularmente al haz observamos dos trazas finas del haz. Estas trazas son simétricas respecto de la dirección incidente, tal como se ha visto en la simulación.

La energía de un átomo de momento magnético $\overrightarrow{\mu }$ en el campo magnético $\overrightarrow{B}$ viene dado por el producto escalar

${\displaystyle E=-\overrightarrow{\mu }·\overrightarrow{B}}$

• Para los átomos cuyo momento $\overrightarrow{\mu }$ es paralelo a $\overrightarrow{B}$ vale E₁=-μ_BB
• Para los átomos cuyo momento $\overrightarrow{\mu }$ es antiparalelo a $\overrightarrow{B}$ vale E₂=+μ_BB

Los átomos pueden estar en uno u otro de los dos niveles de energía E₁ y E₂. Aplicando la fórmula de la distribución de Boltzmann podemos calcular la proporción de átomos que ocupan cada uno de los dos niveles de energía

${\displaystyle n_1=\frac{\exp \left(\frac{-E_1}{kT}\right)}{\exp \left(\frac{-E_1}{kT}\right)+\exp \left(\frac{-E_2}{kT}\right)}=\frac{1}{1+\exp \left(\frac{-2{\mu }_{B}B}{kT}\right)}}$

Naturalmente, n₂=1-n₁

n₁ es mayor que n₂, ya que la exponencial decreciente en el denominador no puede ser mayor que la unidad, ni menor que cero. Por tanto, hay más átomos con el momento paralelo al campo magnético que con el momento magnético apuntando en sentido contrario al campo. La sustancia presenta un momento magnético no nulo.

${\displaystyle \begin{array}{l}<\mu >=n_1{\mu }_B+n_2(-{\mu }_B)\\ <\mu >={\mu }_B\frac{1-\exp \left(\frac{-2{\mu }_{B}B}{kT}\right)}{1+\exp \left(\frac{-2{\mu }_{B}B}{kT}\right)}\end{array}}$

Como $\frac{{\mu }_{B}B}{kT}$ es mucho menor que la unidad (por ejemplo, si B=1 T y la temperatura T=300 K el cociente vale 0.0045. Téngase en cuenta que μ_B=9.3 10^-24 A m², y k=1.38 10^-23 J/K), utilizando el desarrollo en serie e^x=1+x+... se obtiene

${\displaystyle <\mu >=\frac{{\mu }_B^{2}B}{kT}}$

El momento magnético medio es inversamente proporcional a la temperatura absoluta de la sustancia, el comportamiento de los materiales paramagnéticos.