El principio de Fermat

Ley de la reflexión

Sea una fuente S que emite rayos que se reflejan en una superficie horizontal reflectante y llegan al observador situado en el punto P. Como la luz se propaga en el mismo medio homogéneo, para encontrar la trayectoria que sigue un rayo de luz tal que emplee un tiempo mínimo en recorrerla, equivale encontrar la trayectoria cuya longitud es mínima.

Imaginemos que un rayo emitido por S se refleja en A y llega a P. La longitud del camino seguido por este rayo es SAP y esta longitud es igual a S’AP, siendo S’ la fuente puntual S reflejada en la superficie. Esta línea es quebrada y por tanto, de mayor longitud que la línea recta S’BP, que tiene igual longitud que SBP.

Para la línea SBP, el ángulo de incidencia θi (que forma el rayo incidente, con la normal a la superficie reflectante) es igual al ángulo de reflexión θr (que forma el rayo reflejado con dicha normal.

Ley de la refracción

Calculamos el tiempo que tarda un rayo de luz en ir de la fuente S hasta llegar al observador P. El primer tramo SO lo recorre en el primer medio con velocidad v1 y el segundo tramo OP lo recorre en el segundo medio con una velocidad v2.

t= SO v 1 + OP v 2 = h 2 + x 2 v 1 + b 2 + (ax) 2 v 2

El tiempo t es una función de la posición x de O. La función t(x) tendrá un mínimo en la posición x en la que se cumple que la derivada primera de t respecto de x a cero

dt dx = x v 1 h 2 + x 2 + (ax) v 2 b 2 + (ax) 2 =0

Esto es equivalente a escribir

sin θ 1 v 1 = sin θ 2 v 2

Se define el índice de refracción n de un medio como el cociente de la velocidad de la luz en el vacío c entre la velocidad v de propagación de la luz en dicho medio, n=c/v.

La ley de Snell de la refracción se escribe: n1·sinθ1=n2·sinθ2

Actividades

Se introduce

Se representa la fuente S en la parte superior y el observador P en la parte inferior. Sus posiciones se asignan aleatoriamente dentro de ciertos límites.

La posición x del punto O, en la superficie de separación entre los dos medios, se puede modificar en el control titulado Posición

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se traza el camino SOP y se calcula el tiempo que tarda la luz en recorrerlo. Se mueve el punto O hacia la izquierda o hacia la derecha hasta encontrar la trayectoria real SOP seguida por el rayo de luz. Para ayudarnos en esta tarea, se proporciona en la parte superior izquierda, el tiempo empleado por el rayo de luz en recorrer la trayectoria actual y el tiempo empleado por el rayo de luz en recorrer la trayectoria anterior. Para encontrar la trayectoria seguida por el rayo de luz el tiempo actual tiene que ser siempre inferior al tiempo anterior

Cuando se encuentra la trayectoria SOP real que sigue el rayo de luz, se representa el rayo incidente, el refractado y se proporcionan los datos del ángulo de incidencia y de refracción. Con estos datos comprobamos la ley de la refeacción

Ejemplo:

Introducimos los valores de las velocidades

Medimos en las escalas graduadas las posiciones de S, (punto de color azul en la parte superior) y P (punto de color azul en la parte inferior), generadas de forma aleatoria por el programa

Con el control denominado Posición movemos la cruz de color roja hasta la posición x=-1.8

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El tiempo que emplea la luz en recorrer el camino SOP es

t= (2.4(1.8)) 2 + 3.3 2 1.0 + (3.1(1.8)) 2 + (2.0) 2 4.0 =5.92

Se mueve la cruz de color roja a otra posición y se vuelve a pulsar el botón titulado Nuevo. Así, hasta encontrar la trayectoria real seguida por un rayo de luz entre la posición S y la P.

Para la posición x=1.6 encontramos la trayectoria real SOP que sigue el rayo de luz.

El ángulo θ1 que forma el rayo incidente con la normal a la superficie de separación es

tan θ 1 = x S x O y S = 2.41.6 3.3 θ 1 =13.6º tan θ 2 = x P x O y P = 3.11.6 2.0 θ 2 =67.0º  

Comprobamos la ley de Snell de la refracción

sin θ 1 v 1 = sin θ 2 v 2 sin13.6 1.0 sin67.0 4.0


Cálculo de la posición x

Consideremos el siguiente problema. Un bañista está en peligro de ahogarse en un río en la posición B (x2,y2), el socorrista está en tierra en la posición A (x1,y1). La velocidad de desplazamiento del socorrista en tierra es v1 y en el agua es v2. ┬┐Qué camino debería seguir el socorrista para llegar a B en el tiempo más corto posible?

Llamemos k=v1/v2. La ley de la refracción se escribe

sin θ 1 = v 1 v 2 sin θ 2 x 1 x y 1 2 + ( x 1 x ) 2 =k (x x 2 ) y 2 2 + ( x x 2 ) 2

Elevando al cuadrado, obtenemos la ecuación

( x 1 x ) 2 ( y 2 2 + ( x x 2 ) 2 ) k 2 ( y 1 2 + ( x 1 x ) 2 ) ( x x 2 ) 2 =0

Utilizamos MATLAB para obtener las raíces de la ecuación en a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0

>> syms k x x1 x2 y1 y2;
>> z=(x1-x)^2*(y2^2+(x-x2)^2)-k^2*(y1^2+(x1-x)^2)*(x-x2)^2;
>> collect(z)
ans =(1 - k^2)*x^4 + (2*k^2*x1 - 2*x2 - 2*x1 + 2*k^2*x2)*x^3 +
 (4*x1*x2 - k^2*(x1^2 + y1^2) - k^2*x2^2 + x1^2 + x2^2 + y2^2 - 
4*k^2*x1*x2)*x^2 + (2*k^2*x1*x2^2 - 2*x1*(x2^2 + y2^2) 
- 2*x1^2*x2 + 2*k^2*x2*(x1^2 + y1^2))*x + x1^2*(x2^2 + y2^2) -
 k^2*x2^2*(x1^2 + y1^2)

Probamos con los siguientes valores: k=v1/v2=1/4, x1=1.6, y1=4, x2=-1.1, y2=-2.4

>>  z1=subs(z,{k,x1,y1,x2,y2},{1/4,1.6,4,-1.1,-2.4});
>> collect(z1)
ans =(15*x^4)/16 - (15*x^3)/16 + (2711*x^2)/1600 - (9491*x)/500 + 41099/2500
>> solve(z1)
ans =
                                         2.4465320619722248043283614253126
                                        0.94309804430104907919242963600088
 - 2.4844300896274989917057297598565*i - 1.1948150531366369417603955306568
   2.4844300896274989917057297598565*i - 1.1948150531366369417603955306568

De las cuatro raíces, dos son complejas, y de las dos reales, solamente es válida la segunda, ya que la solución x deberá estar en el intervalo (x1,x2)

Propagación en un medio no homogéneo

El principio de Fermat afirma, que la trayectoria real que sigue un rayo de luz entre dos puntos es aquella en la que emplea un tiempo mínimo en recorrerla.

Hemos visto como se deduce de una manera sencilla las leyes de la reflexión y de la refracción de este principio

El índice de refracción n es el cociente entre la velocidad de la luz c en el vacío y la velocidad v de la luz en un medio material transparente. n=c/v

El tiempo que tarda la luz en recorrer el camino AB es

A B dt = A B ds v = 1 c A B nds

Esta última integral, se denomina camino óptico

En general el índice de refracción n no es constante sino que varía con x, con y o ambos, n=n(x, y). Para que el tiempo sea mínimo, tenemos que calcular el extremo de la funcional

I= A B n(x,y) d x 2 +d y 2 = A B n(x,y) 1+ ( dy dx ) 2 dx = A B n(x,y) 1+ y ˙ 2 dx

Ley de Snell de la refracción

Supongamos que el indice de refración varía con x, n=n(x). Como la función f

f(x,y, y ˙ )=n(x) 1+ y ˙ 2

no depende de y. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe

d dx ( f y ˙ )=0 n(x) y ˙ 1+ y ˙ 2 =C dy dx = C n 2 C

Cuando el índice de refracción n es constante, la trayectoria y=y(x) es una línea recta

Consideremos el caso más sencillo: el índice de refracción n varía con x de la siguiente forma

n(x)={ n 1 x 1 x x m n 2 x m x x 2

La ecuación de la recta que une el punto (x1, y1) con (xm, ym) es

tan θ 1 = y y 1 x x 1 = C n 1 2 C x 1 x x m

La ecuación de la recta que une el punto (xm, ym) con (x2, y2) es

tan θ 2 = y y m x x m = C n 2 2 C x m x x 2

Relacionamos los ángulos θ1 y θ2

tan 2 θ 1 = C n 1 2 C tan 2 θ 2 = C n 2 2 C

En términos del sinθ

sin 2 θ 1 = C n 1 2 sin 2 θ 2 = C n 2 2 n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2

que es la ley de Snell de la refracción

El índice de refracción n varía con la altura y

Consideremos ahora, un medio no homogéneo en el que el índice de refracción n varía con la altura y, n=n(y). Un ejemplo similar se estudia en la página titulada Espejismos

Como la función f

f(x,y, y ˙ )=n(y) 1+ y ˙ 2

no depende de x. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe

f y ˙ ( f y ˙ )= C 1 n(y) 1+ y ˙ 2 = C 1

Despejamos dy/dx e integramos

dx= C 1 dy n 2 (y) C 1 2 x= C 1 dy n 2 (y) C 1 2 + C 2

Como ejemplo, supongamos que el índice de refracción n se incrementa linealmente con la altura y, n(y)=n0(1+αy)

x= C 1 dy n 0 2 (1+αy) 2 C 1 2 + C 2 x= C 1 n 0 α dy ( 1 α +y ) 2 C 1 2 n 0 2 α 2 + C 2

Como los parámetros n0 y α son constantes, los incorporamos a la constante indeterminada C1 para disponer de una expresión más simplificada

x= C 1 dy ( 1 α +y ) 2 C 1 2 + C 2

Sea u=(1/α+y)/C1, du=dy/C1

x= C 1 du u 2 1 + C 2

u=coshz, du=sinhz·dz

x= C 1 z+ C 2 x= C 1 cosh 1 ( 1 C 1 ( 1 α +y ) )+ C 2 1 C 1 ( 1 α +y )=cosh( x C 2 C 1 ) y= 1 α + C 1 cosh( x C 2 C 1 )

Esta es la ecuación d ela trayectoria. Calculamos las constantes C1 y C2 sabiendo que para x=0, y=y0 y el rayo forma un ángulo θ con el eje X.

y 0 = 1 α + C 1 cosh( C 2 C 1 )

La pendiente dy/dx del rayo en x=0 es

tanθ= ( dy dx ) x=0 =sinh( C 2 C 1 )

Teniendo en cuenta las relaciones

cosh 2 z sinh 2 z=1 1+ tan 2 θ= 1 cos 2 θ

Despejamos C1 y C2

C 1 =( y 0 + 1 α )cosθ C 2 = C 1 sinh 1 ( tanθ )

Posición del mínimo de la trayectoria

dy dx =sinh( x C 2 C 1 )

La pendiente es cero para xm=C2

y m = 1 α + C 1 = 1 α +( y 0 + 1 α )cosθ

Un rayo que sale de y0 con θ=0, tiene el mínimo xm=0 e ym=y0, en el punto de partida.

Trazamos los rayos que salen del punto x=0, y0=10, haciendo ángulos de -60, -30, 0, 30 y 60° con el eje X. Los rayos se propagan en un medio no homogéneo con índice de refracción que crece linealmente con la altura y, con α=2.3

alfa=2.3;
y0=10;
hold on
for th=(-60:30:60)*pi/180
    c1=(y0+1/alfa)*cos(th);
    c2=-c1*asinh(tan(th));
    f=@(x) -1/alfa+c1*cosh((x-c2)/c1);
    fplot(f,[0,10])
end
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Trazado de rayos')

Comprobamos con la herramienta Data cursor de la ventana gráfica que el mínimo para la trayectoria cuyo ángulo θ=60°, es xm=6.87, ym=4.78

>> th=-pi/3;
>> c1=(y0+1/alfa)*cos(th);
>> c2=-c1*asinh(tan(th))
c2 =    6.8711
>>  ym=-1/alfa+(y0+1/alfa)*cos(th)
ym =    4.7826