Consideremos el potencial representado en la figura que consta de dos escalones y que se denomina barrera de potencial de altura V₀ y anchura a.

El caso más interesante se da, cuando la energía de las partículas sea menor que la de la barrera. La Mecánica Clásica requiere que una partícula proveniente de la izquierda con E<V₀ se refleje en el origen x=0, ya que en la región (0, a) la energía cinética de la partícula es negativa.

Las partículas que hayan penetrado una distancia mayor o igual que a, tendrían una energía cinética igual a su energía total (la energía potencial vuelve a ser cero) y por tanto, se moverán hacia la derecha con igual velocidad que las incidentes. Estas partículas que han atravesado la barrera se denominan transmitidas y han pasado de la primera a la tercera región de potencial a través de la región intermedia, clásicamente prohibida (la energía cinética de la partícula es negativa).

Una barrera de potencial

Discutiremos ahora el problema desde el punto de vista de la Mecánica Cuántica, resolviendo la ecuación de Schrödinger en las tres regiones y aplicando las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en los puntos x=0, y x=a.

Resolveremos primero, el caso en el que la energía de las partículas E es menor que la del escalón V₀, el caso más interesante desde el punto de vista físico. Posteriormente, estudiamos el caso en el que la energía de la partícula E es mayor que la del escalón E>V₀.

E<V₀

• Región I, x<0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{\psi }_1}{d{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\psi }_1=0\hfill \\ {\psi }_1(x)=A\exp (ikx)+B\exp (-ikx)k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}\hfill \end{array}}$

• Región II, 0<x<a, aquí E<V₀

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{\psi }_2}{d{x}^2}+\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}{\psi }_2=0\\ {\psi }_2(x)=C\exp (qx)+D\exp (-qx),q^2=\frac{2m(V_0-E)}{{\hslash }^2}\end{array}}$

• Región III, x>a

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{\psi }_3}{d{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\psi }_3=0\hfill \\ {\psi }_3(x)=F\exp (ikx)\hfill \end{array}}$

La función de onda Ψ₁(x) contiene las partículas incidentes y reflejadas, Ψ₂(x) decrece exponencialmente, la exponencial positiva no está excluida ya que la región clásicamente prohibida no es indefinida como en el caso del escalón de potencial. Debido a que Ψ₂(x) no ha alcanzado el valor cero en x=a, la función de onda continúa a la derecha de dicho punto, con amplitud F. La función de onda Ψ₃(x) representa las partículas transmitidas.

Desde el punto de vista de la Mecánica Cuántica, es posible que una partícula atraviese la barrera de potencial aún cuando su energía cinética sea menor que la altura de la barrera.

• Aplicamos las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en los puntos x=0

${\displaystyle \begin{array}{l}{\psi }_1(0)={\psi }_2(0),{\frac{d{\psi }_1}{dx}|}_{x=0}={\frac{d{\psi }_2}{dx}|}_{x=0}\hfill \\ A+B=C+D\hfill \\ ikA-ikB=qC-qD\hfill \end{array}}$

• Aplicamos las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en los puntos x=a

${\displaystyle \begin{array}{l}{\psi }_2(a)={\psi }_3(a),{\frac{d{\psi }_2}{dx}|}_{x=a}={\frac{d{\psi }_3}{dx}|}_{x=a}\hfill \\ C\exp (qa)+D\exp (-qa)=F\exp (ika)\hfill \\ qC\exp (qa)-qD\exp (-qa)=ikF\exp (ika)\hfill \end{array}}$

Para calcular el coeficiente de transmisión T=|F/A|² tenemos que relacionar el coeficiente F con A

A partir, de las dos primeras ecuaciones despejamos C y D

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}C+D=A+B\\ C-D=\frac{ik}{q}\left(A-B\right)\end{array}\\ 2C=\left(1+\frac{ik}{q}\right)A+\left(1-\frac{ik}{q}\right)B\\ 2D=\left(1-\frac{ik}{q}\right)A+\left(1+\frac{ik}{q}\right)B\end{array}}$

A partir, de las otras dos ecuaciones despejamos C y D

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}C{e}^{qa}+D{e}^{-qa}=F{e}^{ika}\\ C{e}^{qa}-D{e}^{-qa}=\frac{ik}{q}F{e}^{ika}\end{array}\\ 2C=\left(1+\frac{ik}{q}\right)F{e}^{ika}{e}^{-qa}\\ 2D=\left(1-\frac{ik}{q}\right)F{e}^{ika}{e}^{qa}\end{array}}$

Llegamos al sistema de dos ecuaciones y despejamos F

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\left(1+\frac{ik}{q}\right)A+\left(1-\frac{ik}{q}\right)B=\left(1+\frac{ik}{q}\right)F{e}^{ika}{e}^{-qa}\\ \left(1-\frac{ik}{q}\right)A+\left(1+\frac{ik}{q}\right)B=\left(1-\frac{ik}{q}\right)F{e}^{ika}{e}^{qa}\end{array}\\ F=\frac{2ikq{e}^{-ika}A}{2ikq\cosh (qa)-\left(q^2-k^2\right)\sinh (qa)}\end{array}}$

El cuadrado de su módulo es

${\displaystyle {\left|F\right|}^2=\frac{4k^2{q}^2{\left|A\right|}^2}{4k^2{q}^2{\cosh }^2(qa)+{\left(q^2-k^2\right)}^2{\sinh }^2(qa)}=\frac{4k^2{q}^2{\left|A\right|}^2}{4k^2{q}^2+{\left(q^2+k^2\right)}^2{\sinh }^2(qa)}}$

Se denomina coeficiente de transmisión a la proporción de partículas incidentes que son transmitidas

${\displaystyle T=\frac{J_t}{J_i}=\frac{v|F{|}^2}{v|A{|}^2}=\frac{4E(V_0-E)}{4E(V_0-E)+V_0^2{\sinh }^2(qa)}}$

Aproximación

Cuando la barrera es alta (V₀ grande) y estrecha (a pequeño), y la energía de las partículas E es pequeña, aproximamos sinh(qa)≈qa

${\displaystyle T={\left|\frac{F}{A}\right|}^2\approx \frac{4k^2}{4k^2+{\left(q^2+k^2\right)}^2{a}^2}=\frac{4E}{4E+\frac{2m}{{\hslash }^2}{V}_0^2{a}^2}}$

Un resultado similar se obtiene para una barrera de potencial delta de Dirac

El coeficiente de transmisión disminuye rápidamente a medida que se incrementa la anchura de la barrera de potencial.

Representamos el coeficiente de transmisión T para una barrera de anchura a=0.5 y de altura V₀=2

a=0.5; %anchura barrera
V0=2; %altura
ee=linspace(0,V0,200);
T=zeros(1,length(ee));
i=1;
for E=ee
    q=sqrt(V0-E);
    T(i)=4*E*(V0-E)/(4*E*(V0-E)+V0^2*sinh(q*a)^2);
    i=i+1;
end
plot(ee,T);
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('E')
ylabel('T')
title('Coeficiente de transmisión')

Como ejercicio adicional, se despeja el coeficiente B y se calcula el coeficiente de reflexión R, verificando que R+T=1

${\displaystyle R=\frac{{\left|B\right|}^2}{{\left|A\right|}^2}}$

Función de onda

Representamos la función de onda para una barrera de potencial de altura E₀=10 y anchura a=1. La energía E=5

a=1; %anchura barrera
V0=10; %altura
E=5; %energía menor que V0
k=sqrt(E);
q=sqrt(V0-E);

A=1;
F=2*1i*k*q*exp(-1i*k*a)*A/(2*1i*k*q*cosh(q*a)-(q^2-k^2)*sinh(q*a));
C=(1+1i*k/q)*F*exp(1i*k*a)*exp(-q*a)/2;
D=(1-1i*k/q)*F*exp(1i*k*a)*exp(q*a)/2;
B=((1-1i*k/q)*F*exp(1i*k*a)*exp(q*a)-(1-1i*k/q)*A)/(1+1i*k/q);

hold on
fplot(@(x) real(A*exp(1i*k*x)+B*exp(-1i*k*x)),[-10,0]) %incidente+reflejada
%fplot(@(x) real(A*exp(1i*k*x)),[-10,0]) %incidente
%fplot(@(x) real(B*exp(-1i*k*x)),[-10,0]) %reflejada
fplot(@(x) real(D*exp(-q*x)+C*exp(q*x)),[0,a])
fplot(@(x) real(F*exp(1i*k*x)),[a,10]) %transmitida
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('\Phi(x)')
title('Función de onda')

Se muestra la función de onda, en la región I (color azul), II (color rojo) y III (color amarillo)

En la barrera de potencial la función de onda tiene la forma Ψ₂(x)=Cexp(qx)+Dexp(-qx). Comprobamos que el coeficiente C es pequeño comparado con D, por lo que la función de onda en esta región es casi una exponencial decreciente con x

>> C,D
C =   0.0113 + 0.0113i
D =   0.9887 - 0.9887i

Separamos la parte incidente de la función de onda de la reflejada, en región I

E>V₀

Para E<V₀, el coeficiente de transmisión T es menor que la unidad. Sin embargo, para E>V₀, T alcanza el valor máximo, para valores concretos del cociente E/V₀.

Resolviendo de nuevo, la ecuación de Schrödinger en las tres regiones

• Región I, x<0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{\psi }_1}{d{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\psi }_1=0\hfill \\ {\psi }_1(x)=A\exp (ikx)+B\exp (-ikx)k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}\hfill \end{array}}$

• Región II, 0<x<a, ahora E>V₀.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{\psi }_2}{d{x}^2}+\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}{\psi }_2=0\hfill \\ {\psi }_2(x)=C\exp (-iqx)+D\exp (iqx)q^2=\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}\hfill \end{array}}$

• Región III, x>a

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{\psi }_3}{d{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\psi }_3=0\hfill \\ {\psi }_3(x)=F\exp (ikx)\hfill \end{array}}$

Las ecuaciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en x=a, relacionan C y D con F, y en x=0, relacionan A y B con C y D, y por tanto, con F

• Aplicamos las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en los puntos x=0

${\displaystyle \begin{array}{l}{\psi }_1(0)={\psi }_2(0),{\frac{d{\psi }_1}{dx}|}_{x=0}={\frac{d{\psi }_2}{dx}|}_{x=0}\\ \{\begin{array}{l}A+B=C+D\\ kA-kB=-qC+qD\end{array}\end{array}}$

• Aplicamos las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en los puntos x=a

${\displaystyle \begin{array}{l}{\psi }_2(a)={\psi }_3(a),{\frac{d{\psi }_2}{dx}|}_{x=a}={\frac{d{\psi }_3}{dx}|}_{x=a}\\ \{\begin{array}{l}C\exp (-iqa)+D\exp (iqa)=F\exp (ika)\\ -qC\exp (qa)+qD\exp (iqa)=kF\exp (ika)\end{array}\end{array}}$

A partir, de las dos primeras ecuaciones despejamos C y D

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}C+D=A+B\\ -C+D=\frac{k}{q}\left(A-B\right)\end{array}\\ 2C=\left(1-\frac{k}{q}\right)A+\left(1+\frac{k}{q}\right)B\\ 2D=\left(1+\frac{k}{q}\right)A+\left(1-\frac{k}{q}\right)B\end{array}}$

A partir, de las otras dos ecuaciones despejamos C y D

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}C{e}^{-iqa}+D{e}^{iqa}=F{e}^{ika}\\ -C{e}^{-iqa}+D{e}^{iqa}=\frac{k}{q}F{e}^{ika}\end{array}\\ 2C=\left(1-\frac{k}{q}\right)F{e}^{ika}{e}^{iqa}\\ 2D=\left(1+\frac{k}{q}\right)F{e}^{ika}{e}^{-iqa}\end{array}}$

Llegamos al sistema de dos ecuaciones y despejamos F

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\left(1-\frac{k}{q}\right)A+\left(1+\frac{k}{q}\right)B=\left(1-\frac{k}{q}\right)F{e}^{ika}{e}^{iqa}\\ \left(1+\frac{k}{q}\right)A+\left(1-\frac{k}{q}\right)B=\left(1+\frac{k}{q}\right)F{e}^{ika}{e}^{-iqa}\end{array}\\ F=\frac{2kq{e}^{-ika}}{2kq\cos (qa)-\left(q^2+k^2\right)i\sin (qa)}A\end{array}}$

Finalmente, obtenemos la siguiente expresión para el coeficiente de transmisión

${\displaystyle T=\frac{J_t}{J_i}=\frac{v|F{|}^2}{v|A{|}^2}=\frac{4k^2{q}^2}{4k^2{q}^2{\cos }^2(qa)+{(k^2+q^2)}^2{\sin }^2(qa)}}$

T toma el valor máximo 1, cuando qa=nπ, siendo n un número entero. Como q es el número de onda, q=2π/λ, se obtiene que

${\displaystyle \lambda =\frac{2a}{n},n=\mathrm{1,} \mathrm{2,} \mathrm{3,} 4 \mathrm{...}}$

que relaciona la longitud de onda λ de la partícula en la barrera de potencial con la anchura a de la misma, para que se obtenga el máximo en el coeficiente de transmisión. Los valores de la energía E, o mejor del cociente E/V₀ ,para los cuales hay un máximo del coeficiente de transmisión se denominan resonancias.

Representamos el coeficiente de transmisión T para una barrera de anchura a=1 y de altura V₀=10

a=1; %anchura barrera
V0=10; %altura
ee=linspace(V0,50,200);
T=zeros(1,length(ee));
i=1;
for E=ee
    k=sqrt(E);
    q=sqrt(E-V0);
    T(i)=4*k^2*q^2/((2*k*q*cos(q*a))^2+(k^2+q^2)^2*sin(q*a)^2);
    i=i+1;
end
plot(ee,T);
E1=(pi/a)^2+V0;
line([E1,E1],[0,1],'lineStyle','--')
E1=(2*pi/a)^2+V0;
line([E1,E1],[0,1],'lineStyle','--')
grid on
ylim([0,1.1])
xlabel('E')
ylabel('T')
title('Coeficiente de transmisión')

Función de onda

Representamos la función de onda para una barrera de potencial de altura E₀=10 y anchura a=1. La energía E=5

a=1; %anchura barrera
V0=10; %altura
E=15; %energía mayor que V0
k=sqrt(E);
q=sqrt(E-V0);

A=1;
F=2*k*q*exp(-1i*k*a)*A/(2*k*q*cos(q*a)-(q^2+k^2)*1i*sin(q*a));
C=(1-k/q)*F*exp(1i*k*a)*exp(1i*q*a)/2;
D=(1+k/q)*F*exp(1i*k*a)*exp(-1i*q*a)/2;
B=((1+k/q)*F*exp(1i*k*a)*exp(-1i*q*a)-(1+k/q)*A)/(1-k/q);

hold on
fplot(@(x) real(A*exp(1i*k*x)+B*exp(-1i*k*x)),[-10,0])
fplot(@(x) real(C*exp(-1i*q*x)+D*exp(1i*q*x)),[0,a])
fplot(@(x) real(F*exp(1i*k*x)),[a,10])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('\Phi(x)')
title('Función de onda')

Se muestra la función de onda, en la región I (color azul), II (color rojo) y III (color amarillo)

Separamos la parte incidente de la función de onda en región I de la reflejada

a=1; %anchura barrera
V0=10; %altura
E=15; %energía mayor que V0
k=sqrt(E);
q=sqrt(E-V0);

A=1;
F=2*k*q*exp(-1i*k*a)*A/(2*k*q*cos(q*a)-(q^2+k^2)*1i*sin(q*a));
C=(1-k/q)*F*exp(1i*k*a)*exp(1i*q*a)/2;
D=(1+k/q)*F*exp(1i*k*a)*exp(-1i*q*a)/2;
B=((1+k/q)*F*exp(1i*k*a)*exp(-1i*q*a)-(1+k/q)*A)/(1-k/q);

hold on
fplot(@(x) real(A*exp(1i*k*x)),[-10,0])
fplot(@(x) real(B*exp(-1i*k*x)),[-10,0])
fplot(@(x) real(C*exp(-1i*q*x)+D*exp(1i*q*x)),[0,a])
fplot(@(x) real(F*exp(1i*k*x)),[a,10])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('\Phi(x)')
title('Función de onda')

Dos barreras de potencial

Consideremos el potencial representado en la figura que consta de dos barreras de potencial de anchura a y altura V₀ separadas una distancia b.

Resolveremos el caso en el que la energía de las partículas E es menor que la del escalón V₀, el caso más interesante desde el punto de vista físico.

E<V₀

• Región I, x<0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{\psi }_1}{d{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\psi }_1=0\hfill \\ {\psi }_1(x)=A_1\exp (ikx)+B_1\exp (-ikx),k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}\hfill \end{array}}$

• Región II, 0<x<a, aquí E<V₀

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2{\psi }_2}{d{x}^2}+\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}{\psi }_2=0\\ {\psi }_2(x)=A_2\exp (qx)+B_2\exp (-qx),q^2=\frac{2m(V_0-E)}{{\hslash }^2}\end{array}}$

• Región III, a<x<a+b

${\displaystyle {\psi }_3(x)=A_3\exp (ikx)+B_3\exp (-ikx)}$

• Región IV, a+b<x<2a+b

${\displaystyle {\psi }_4(x)=A_4\exp (qx)+B_4\exp (-qx)}$

• Región V, x>2a+b

${\displaystyle {\psi }_5(x)=A_5\exp (ikx)}$

Aplicamos las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en los puntos:

• x=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{A}_1+B_1=A_2+B_2\\ ik{A}_1-ik{B}_1=q{A}_2-q{B}_2\end{array}\hfill \\ \{\begin{array}{l}{A}_1+B_1=A_2+B_2\\ A_1-B_1=\frac{q}{ik}\left(A_2-B_2\right)\end{array}\hfill \\ A_1=\frac{1}{2}\left(1-i\beta \right)A_2+\frac{1}{2}\left(1+i\beta \right)B_2\hfill \end{array}}$

• x=a

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{A}_2{e}^{qa}+B_2{e}^{-qa}=A_3{e}^{ika}+B_3{e}^{-ika}\\ q{A}_2{e}^{qa}-q{B}_2{e}^{-qa}=ik{A}_3{e}^{ika}-ik{B}_3{e}^{-ika}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}2A_2{e}^{qa}=A_3{e}^{ika}\left(1+\frac{i}{\beta }\right)+B_3{e}^{-ika}\left(1-\frac{i}{\beta }\right)\\ 2B_2{e}^{qa}=A_3{e}^{ika}\left(1-\frac{i}{\beta }\right)+B_3{e}^{-ika}\left(1+\frac{i}{\beta }\right)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{A}_2=\frac{i}{2\beta }\left\{A_3{e}^{ika}\left(1-i\beta \right)-B_3{e}^{-ika}\left(1+i\beta \right)\right\}{e}^{-qa}\\ B_2=-\frac{i}{2\beta }\left\{A_3{e}^{ika}\left(1+i\beta \right)-B_3{e}^{-ika}\left(1-i\beta \right)\right\}{e}^{qa}\end{array}\\ A_1=\frac{i}{2\beta }\left\{\left(1+{\beta }^2\right)\sinh \left(qa\right)B_3{e}^{-ika}-\left[\left(1-{\beta }^2\right)\sinh \left(qa\right)+2i\beta \cosh \left(qa\right)\right]A_3{e}^{ika}\right\}\end{array}}$

• x=a+b

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{A}_3{e}^{ik(a+b)}+B_3{e}^{-ik(a+b)}=A_4{e}^{q(a+b)}+B_4{e}^{-q(a+b)}\\ ik{A}_3{e}^{ik(a+b)}-ik{B}_3{e}^{-ik(a+b)}=q{A}_4{e}^{q(a+b)}-q{B}_4{e}^{-q(a+b)}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{A}_3{e}^{ika}=\frac{1}{2}\left\{A_4{e}^{q(a+b)}\left(1-i\beta \right)+B_4{e}^{-q(a+b)}\left(1+i\beta \right)\right\}{e}^{-ikb}\\ B_3{e}^{-ika}=\frac{1}{2}\left\{A_4{e}^{q(a+b)}\left(1+i\beta \right)+B_4{e}^{-q(a+b)}\left(1-i\beta \right)\right\}{e}^{ikb}\end{array}\end{array}}$

• x=2a+b

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{A}_4{e}^{q(2a+b)}+B_4{e}^{-q(2a+b)}=A_5{e}^{ik(2a+b)}\\ q{A}_4{e}^{q(2a+b)}-q{B}_4{e}^{-q(2a+b)}=ik{A}_5{e}^{ik(2a+b)}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{A}_4{e}^{q(a+b)}=\frac{i}{2\beta }\left(1-i\beta \right)A_5{e}^{ik(2a+b)-qa}\\ B_4{e}^{-q(a+b)}=-\frac{i}{2\beta }\left(1+i\beta \right)A_5{e}^{ik(2a+b)+qa}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{A}_3{e}^{ika}=-\frac{i}{2\beta }\left\{\left(1-{\beta }^2\right)\sinh \left(qa\right)+2i\beta \cosh \left(qa\right)\right\}{A}_5{e}^{2ika}\\ B_3{e}^{-ika}=-\frac{i}{2\beta }\left(1+{\beta }^2\right)\sinh \left(qa\right)A_5{e}^{2ik(a+b)}\end{array}\end{array}}$

Para calcular el coeficiente de transmisión T=|A₅/A₁|² tenemos que relacionar el coeficiente A₅ con A₁

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_1=\frac{1}{4{\beta }^2}\left\{{\left(1+{\beta }^2\right)}^2{\sinh }^2(qa)e^{2ikb}-{[\left(1-{\beta }^2\right)\sinh (qa)+2i\beta \cosh (qa)]}^2\right\}{A}_5{e}^{2ika}\\ \frac{A_5}{A_1}=\frac{e^{-2ika}}{{\left(\frac{1+{\beta }^2}{2\beta }\right)}^2{\sinh }^2(qa)e^{2ikb}+{[\cosh (qa)+i\frac{{\beta }^2-1}{2\beta }\sinh (qa)]}^2}=,\{\begin{array}{l}\gamma =\frac{1+{\beta }^2}{2\beta }\\ \eta =\frac{{\beta }^2-1}{2\beta }\end{array}\\ \frac{e^{-2ika}}{\left({\gamma }^2\cos (2kb)-{\eta }^2\right){\sinh }^2(qa)+{\cosh }^2(qa)+i\left({\gamma }^2\sin (2kb)\sinh (qa)+2\eta \cosh (qa)\right)\sinh (qa)}\end{array}}$

El coeficiente de transmisión T

${\displaystyle T={\left|\frac{A_5}{A_1}\right|}^2=\frac{1}{u^2+v^2},\{\begin{array}{l}u=\left({\gamma }^2\cos (2kb)-{\eta }^2\right){\sinh }^2(qa)+{\cosh }^2(qa)\\ v=\left({\gamma }^2\sin (2kb)\sinh (qa)+2\eta \cosh (qa)\right)\sinh (qa)\end{array}}$

Representamos el coeficiente de transmisión T para una barrera doble de potencial de anchura a=1, separación b=2 y de altura V₀=5

b=2;  %separación entre barreras
a=1; %anchura barrera
V0=5.0; %altura barrera
E=linspace(0,5,200); %energía
trans=zeros(length(E),1);
for j=1:length(E)
    k=sqrt(E(j));
    q=sqrt(V0-E(j));
    beta=q/k;
    gamma=(1+beta^2)/(2*beta);
    eta=(beta^2-1)/(2*beta);
    u=(gamma^2*cos(2*k*b)-eta^2)*sinh(q*a)^2+cosh(q*a)^2;
    v=(gamma^2*sin(2*k*b)*sinh(q*a)+2*eta*cosh(q*a))*sinh(q*a);
    trans(j)=1/(u^2+v^2);
end
plot(E,trans);
grid on
ylim([0 1.1])
xlabel('E');
ylabel('T_r')
title('Coeficiente de transmisión, N=2')

N barreras de potencial

Estudiaremos ahora el caso en el que hay N barreras de potencial de la misma anchura a y separadas unas de otras la misma cantidad b tal como se aprecia en la figura. Observaremos que se producen picos de resonancia adicionales, dando lugar a un comportamiento complejo del coeficiente de transmisión.

Resolvemos la ecuación de Schrödinger para cada una de las regiones, 1, 2...2N+1

${\displaystyle {\Psi }_j(x)=A_j\exp (i{q}_{j}x)+B_j\exp (-i{q}_{j}x)q_j^2=\frac{2m(E-V_j)}{{\hslash }^2}j=\text{1}\text{, 2}\text{, }\mathrm{...}2N+1}$

Donde q_j es un número complejo real o imaginario dependiendo de que E>V_j o E<V_j.

En las fronteras entre las regiones, aplicamos las condiciones de continuidad. Sea la frontera entre las regiones j-1 y j, cuya abscisa es x_j.

${\displaystyle \begin{array}{l}{A}_j\exp (i{q}_j{x}_j)+B_j\exp (-i{q}_j{x}_j)=A_{j+1}\exp (i{q}_{j+1}{x}_j)+B_{j+1}\exp (-i{q}_{j+1}{x}_j)\\ q_j\left(A_j\exp (i{q}_j{x}_j)-B_j\exp (-i{q}_j{x}_j)\right)=q_{j+1}\left(A_{j+1}\exp (i{q}_{j+1}{x}_j)-B_{j+1}\exp (-i{q}_{j+1}{x}_j)\right)\end{array}}$

que relaciona los coeficientes A_j y B_j con A_j+1 y B_j+1

Teniendo en cuenta que solamente hay partículas trasmitidas en la región 2N+1, resulta que B_2N+1=0. Obtenemos los valores de todos los coeficientes A_j y B_j en términos de A_2N+1 que actúa como factor de escala

El coeficiente de transmisión se define como la proporción de partículas incidentes que se transmiten y se obtiene mediante el cociente.

${\displaystyle T_r=\frac{{\left|A_{2N+1}\right|}^2}{{\left|A_1\right|}^2}}$

En la figura, vemos el comportamiento del coeficiente de transmisión, para N=2 barreras de potencial, de anchura a=1, separación b=2 y altura V₀=5.

b=2;  %separación entre barreras
a=1; %anchura barrera
N=2; %número de barreras
V0=5.0; %altura barrera
x=zeros(2*N,1);
V=zeros(2*N+1,1);
q=zeros(2*N+1,1);

x(1)=-N*(a+b)/2+b/2;
for i=2:2:2*N
    x(i)=x(i-1)+a;
    x(i+1)=x(i)+b;
end
%potenciales
for i=1:2:2*N+1
    V(i)=0.0; 
    if i==2*N+1
        break;
    end
    V(i+1)=V0;
end
f=@(z,q) [exp(1i*q*z) exp(-1i*q*z); q*exp(1i*q*z) -q*exp(-1i*q*z)]; 
g=@(z,q) [exp(-1i*q*z) exp(-1i*q*z)/q; exp(1i*q*z) -exp(1i*q*z)/q]/2;  

E=linspace(0,V0,200);
trans=zeros(length(E),1);
for j=1:length(E)
    for i=1:2*N+1
        q(i)=sqrt(E(j)-V(i));
    end
    A=[1;0];
    for i=2*N:-1:1
        A=g(x(i),q(i))*f(x(i),q(i+1))*A; 
    end
    trans(j)=1/abs(A(1))^2;
end
plot(E,trans);
grid on
ylim([0 1.1])
xlabel('E');
ylabel('T_r')
title('Coeficiente de transmisión, N=2')

La misma figura que hemos obtenido anteriormente, a partir de un cálculo explícito del coeficiente de transmisión T

En la figura, vemos el comportamiento del coeficiente de transmisión, para N=3 barreras de potencial, de anchura a=1, separación b=2 y altura V₀=5.

Referencias

Zbigniew Ficek. Problems and Solutions in Quantum Physics. CRC Press. Problem 9.1, pp. 75-79