Desintegración radioactiva

Un modelo simple de núcleo radioactivo

Un núcleo está formado por protones y neutrones, la agrupación de dos protones y dos neutrones se denomina partícula alfa. La partícula alfa está confinada en el núcleo por las fuerzas de interacción fuerte, su energía E es menor que la altura de la barrera de potencial E0.

La partícula alfa se mueve en el interior del núcleo reflejándose en las paredes de la barrera con cierta frecuencia característica pero sin poderlo abandonar.

Las partículas alfa en cada choque con las paredes del núcleo, tienen cierta probabilidad de abandonarlo y ésta, depende fuertemente de la anchura de la barrera de potencial. Cuando una partícula alfa abandona el núcleo de un elemento radioactivo por efecto túnel, se transforma en otro cuya masa es cuatro unidades menor y está situado dos lugares antes en la Tabla Periódica.

En la figura se muestra la probabilidad de encontrar una partícula de energía E<E0, a una distancia x del origen en el interior de la región prohibida desde el punto de vista de la Mecánica Clásica. Como vimos en el estudio del escalón de potencial, la probabilidad por unidad de longitud viene dada por una función exponencial decreciente.

Por tanto, una partícula no puede penetrar demasiado a la derecha del origen. La probabilidad también disminuye con la masa de la partícula. Partículas como un protón o una partícula alfa tienen muy poca probabilidad de penetrar más allá del origen.

Escalonb.gif (1220 bytes)

Una barrera de potencial consta de dos escalones. Una partícula incidente cuya energía E<E0, no puede encontrarse en la región x>a ya que tendría que pasar a través de una región (la barrera de potencial) en la que su energía cinética es negativa. Desde el punto de vista cuántico tal paso es posible.

En una primera aproximación, podemos decir, que si la partícula penetra una distancia x>a en el escalón de potencial, al cortar el escalón y formar una barrera de anchura a, la partícula atravesará dicha dicha barrera encontrándose en la región x>a, y moviéndose hacia la derecha con una velocidad igual a la incidente (la energía potencial es cero). Decimos que dicha partícula ha atravesado la barrera de potencial por "efecto túnel".

Supongamos que sea T el coeficiente de transmisión de la partícula alfa a través de las paredes del núcleo radioactivo. Y sea P el periodo del movimiento de la partícula alfa en el interior del núcleo. La partícula alfa realiza 2/P intentos por unidad de tiempo de atravesar el núcleo por efecto túnel. La probabilidad en la unidad de tiempo de que se desintegre será λ=2T/P. La probabilidad de que el núcleo se desintegre en el tiempo dt es de λdt.

Si hay N núcleos presentes (siendo N muy grande) entonces en un tiempo dt se desintegrarán N(λdt) núcleos. El número de núcleos radiactivos disminuye a consecuencia de la desintegración

dN=-N(λdt)

integrando y teniendo en cuenta que en el instante t=0, el número inicial de núcleos radioactivos presentes es N0.

N 0 N dN N = 0 t λdt N= N 0 exp(λt)

Actividades

Se introduce

Se pulsa en el botón Nuevo, para que la partícula alfa comience a moverse hacia atrás y hacia adelante dentro del núcleo radioactivo, en cada intento tiene una probabilidad no nula de atravesar la barrera de potencial por efecto túnel.

Observar que no podemos predecir cuando un núcleo radioactivo se desintegra, tan sólo que la probabilidad de desintegración disminuye fuertemente al incrementar la anchura de la barrera de potencial.


La desintegración radioactiva

Los núcleos están compuestos por protones y neutrones, que se mantienen unidos por la denominada fuerza fuerte. Algunos núcleos tienen una combinación de protones y neutrones que no conducen a una configuración estable. Estos núcleos son inestables o radiactivos. Los núcleos inestables tienden a aproximarse a la configuración estable emitiendo ciertas partículas. Los tipos de desintegración radiactiva se clasifican de acuerdo a la clase de partículas emitidas.

Desintegración alfa: El elemento radiactivo de número atómico Z, emite un núcleo de Helio (dos protones y dos neutrones), el número atómico disminuye en dos unidades y el número másico en cuatro unidades, produciéndose un nuevo elemento situado en el lugar Z-2 de la Tabla Periódica.

Desintegración beta: El núcleo del elemento radiactivo emite un electrón, en consecuencia, su número atómico aumenta en una unidad, pero el número másico no se altera. El nuevo elemento producido se encuentra el lugar Z+1 de la Tabla Periódica.

Desintegración gamma: El núcleo del elemento radiactivo emite un fotón de alta energía, la masa y el número atómico no cambian, solamente ocurre un reajuste de los niveles de energía ocupados por los nucleones.

El programa interactivo describe un modelo de sustancia radiactiva A que se desintegra en una sustancia estable B. Se disponen N núcleos radiactivos de la sustancia inestable A. Se introduce la constante de desintegración λ. A medida que transcurre el tiempo se anota el número de núcleos que permanecen sin desintegrar. Posteriormente, se comprobará la ley exponencial decreciente a partir de los datos tomados.

De la observación del proceso de desintegración podemos extraer las siguientes relaciones cualitativas:

Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente. Si N0 es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de un cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes N se ha reducido a

N=N0exp(-λt)

donde λ es una característica de la sustancia radiactiva denominada constante de desintegración.

Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo τ fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación N=N0/2 se obtiene

τ= log2 λ

que relaciona la vida media y la constante de desintegración.

El modelo simple de núcleo radioactivo estudado en el primer apartado nos ha permitido conocer el significado de la constante de desintegración.

La ley de desintegración puede deducirse del siguiente modo: si λ es la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo, la probabilidad de que un núcleo se desintegre en un tiempo dt es λ·dt. Si hay N núcleos presentes, en el tiempo dt podemos esperar que se desintegren (λ dt)N núcleos

dN=-(λdt)N

El signo menos aparece por que N disminuye con el tiempo a consecuencia de la desintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente.

N 0 N dN N = 0 t λdt N= N 0 exp(λt)

N0 es el número inicial de núcleos radioactivos presentes en el instante t=0.

Fenómenos análogos

Un fenómeno análogo a la desintegración radioactiva es la descarga de un condensador a través de una resistencia, y la descarga de un tubo que contiene fluido viscoso a través de un capilar.

Un fenómeno análogo a la carga de un condensador es la producción y posterior desintegración de núcleos radioactivos en un reactor nuclear. El fenómeno análogo en fluidos es la carga y descarga de un tubo-capilar.

Disponiendo varios tubos-capilares uno encima del otro, de modo que el superior descargue en el inferior y el último, en un tubo cerrado estudiamos el comportamiento de una serie de desintegración radioactiva.

Actividades

Análisis de los datos

Datos tomados de la experiencia simulada: en el eje X el tiempo en segundos, en el eje Y, el número de átomos sin desintegrar .

t(s) 0 19.7 41.0 59.3 79.8 102.6 120.9 141.0 162.5 201.4 251.4 301.9 403.4 502.1
N 1000 904 812 740 665 588 532 470 421 343 283 215 137 82

Representamos los datos en un gráfico semilogarítmico

x=[0,19.7,41,59.3,79.8,102.6,120.9,141,162.5,201.4,251.4,301.9,403.4,502.1];
y=[1000,904,812,740,665,588,532,470,421,343,283,215,137,82];
semilogy(x,y,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('N')
title('Desintegración radioactiva')

Alternativamente, en un gráfico normal representamos log(N) en el eje Y

x=[0,19.7,41,59.3,79.8,102.6,120.9,141,162.5,201.4,251.4,301.9,403.4,502.1];
y=[1000,904,812,740,665,588,532,470,421,343,283,215,137,82];
plot(x,log(y),'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('N')
title('Desintegración radioactiva')

Seleccionamos en el menú Tools/Basic Fitting, y activamos la casilla linear (polinomio de grado 1) en el primer panel titulado Plot fits. Observamos en la ventana Figure 1 la recta que mejor ajusta a los datos experimentales. La ecuación de dicha recta se muestra en la ventana gráfica, activando la casilla Show equations.

Ampliamos el cuadro de diálogo pulsando en el botón con la flecha inferior derecha -->. Seleccionamos en el segundo panel titulado Numerical results Fit/linear y nos aparece

y = p1*x + p2 
Coefficients:
  p1 = -0.0049633
  p2 = 6.8855

Finalmente, representamos los datos experimentales y curva exponencial decreciente que ajusta a los datos

x=[0,19.7,41,59.3,79.8,102.6,120.9,141,162.5,201.4,251.4,301.9,403.4,502.1];
y=[1000,904,812,740,665,588,532,470,421,343,283,215,137,82];
hold on
plot(x,y,'ro','markersize',4,'markerfacecolor','r')
z=@(t) exp(6.8855)*exp(-0.0049633*t);
fplot(z,[x(1),x(end)])
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('N')
title('Desintegración radioactiva')