Sean dos fuentes iguales (altavoces) que vibran con la misma frecuencia f y en fase. La primera fuente está situada en el origen y la segunda fuente está situada una distancia d, tal como se muestra en la figura.

Vamos a estudiar el estado del medio unidimensional (eje X) para x>0 cuando ambas fuentes emiten ondas armónicas de amplitud Ψ₀.

Intervalo 0<x<d

La fuente situada en el origen emite ondas armónicas que viajan a lo largo del eje X hacia la derecha, x>0.

Ψ₁=Ψ₀·sink(x-vt)

Donde k es el número de onda k=2π/λ,  λ es la longitud de onda λ=v/f, v es la velocidad de propagación del sonido en el aire en condiciones normales, alrededor de 340 m/s y f la frecuencia del sonido emitido.

La fuente situada a una distancia d del origen emite ondas armónicas que viajan a lo largo del eje X hacia la izquierda

Ψ₂=-Ψ₀·sink(-d+x+vt)

El estado del medio unidimensional en el intervalo 0<x<d es la superposición Ψ₁+ Ψ₂ de ambos movimientos ondulatorios que viajan en sentidos contrarios.

Utilizando la relación trigonométrica

${\displaystyle \text{sin}A-\text{sin}B=2\text{sin}\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}$

obtenemos

${\displaystyle {\Psi }_1+{\Psi }_2=2{\Psi }_0\cos \left(kx-k\frac{d}{2}\right)\sin \left(k\frac{d}{2}-\omega t\right)}$

Esta expresión no es la ecuación de una onda, cada partícula x del medio describe un MAS de frecuencia angular ω=kv, y amplitud variable

${\displaystyle 2{\Psi }_0\cos \left(kx-k\frac{d}{2}\right)}$

• La amplitud es máxima (en valor absoluto), para los puntos 0<x<d  tales que kx-kd/2=nπ, donde n es un entero

2x-d=nλ

• Como la distancia de la primera fuente al punto P es x

• La distancia de la segunda fuente al punto P es d-x



Cuando la diferencia de caminos 2x-d es un múltiplo entero de la longitud de onda λ, la interferencia se dice que es constructiva, la amplitud es máxima y la intensidad (proporcional al cuadrado de la amplitud) es máxima.

• La amplitud es mínima, cero, para los puntos 0<x<d  tales que kx-kd/2=(n+½)π, donde n es un entero

${\displaystyle 2x-d=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda }$

Cuando la diferencia 2x-d es un múltiplo semientero de la longitud de onda λ, la interferencia se dice que es destructiva, la amplitud es mínima (cero) y la intensidad (proporcional al cuadrado de la amplitud) es mínima.

Intervalo x>d

La fuente situada en el origen emite ondas armónicas que viajan a lo largo del eje X hacia la derecha, x>0.

Ψ₁=Ψ₀·sink(x-vt)=Ψ₀·sin(kx-ωt)

La fuente situada a una distancia d del origen emite ondas armónicas que viajan a lo largo del eje X hacia la derecha

Ψ₂=Ψ₀·sink(-d+x-vt)=Ψ₀·sin(-kd+kx-ωt)

El estado del medio unidimensional en el intervalo x>d es la superposición Ψ₁+ Ψ₂ de ambos movimientos ondulatorios que viajan en el mismo sentido.

• Debido al primer movimiento ondulatorio, un punto x>d del medio describe un MAS de amplitud Ψ₀ y frecuencia angular ω=kv.

• Debido al segundo movimiento ondulatorio, dicho punto x describe un MAS de la misma dirección y de la misma frecuencia angular ω.

El punto x>d del medio describe un MAS que es la composición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia desfasados k·d.

La amplitud del MAS resultante es

${\displaystyle \sqrt{{\Psi }_0^2+{\Psi }_0^2+2{\Psi }_0{\Psi }_0\cos (kd)}=2{\Psi }_0\cos \left(k\frac{d}{2}\right)}$

• La amplitud es máxima (en valor absoluto) 2Ψ₀ cuando kd/2=nπ donde n es un entero

d=nλ

• Como la distancia de la primera fuente al punto P es x

• La distancia de la segunda fuente al punto P es x-d



Cuando la diferencia x-(x-d)=d es un múltiplo entero de la longitud de onda λ, la interferencia se dice que es constructiva, la amplitud es máxima y la intensidad (proporcional al cuadrado de la amplitud es máxima).

• La amplitud es mínima, cero cuando kd/2=(n+½)π donde n es un entero

${\displaystyle d=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda }$

Cuando la separación ente las fuentes d es un múltiplo semientero de la longitud de onda λ, la interferencia se dice que es destructiva, la amplitud es mínima (cero) y la intensidad (proporcional al cuadrado de la amplitud) es mínima.

Ejemplo

Dos fuentes sonoras separadas una distancia de d=0.51 m=51 cm vibran con la misma frecuencia f=1000 Hz y en fase.

La velocidad del sonido en el aire es v=340 m/s

Hallar las posiciones de máxima y mínima intensidad en la línea que une ambas fuentes.

La longitud de onda es λ=v/f=0.34 m=34 cm

Intervalo 0<x<d

La primera fuente está en el origen, la segunda fuente en d, y el detector en x. La diferencia de caminos de las dos fuentes al punto P es

x-(d-x)=2x-d

• Las posiciones de interferencia constructiva, máxima intensidad

2x-d=nλ, n=0, ±1, ±2…
2x-0.51=n·0.34

n=0, x=0.255
n=1, x=0.425
n=-1, x=0.085
n=2, x=0.595>0.51
n=-2, x=-0.085<0

Las posiciones de máxima intensidad en la región 0<x<0.51 son
x=0.085, 0.255, 0.425.

• Posiciones de interferencia destructiva, mínima intensidad

2x-d=(n+½)λ, n=0, ±1, ±2…
2x-0.51=(n+½)·0.34

n=0, x=0.34
n=1, x=0.51
n=-1, x=0.17
n=2, x=0.68>0.51
n=-2, x=0

Las posiciones de mínima intensidad en la región 0<x<0.51 son
x=0.0, 0.17, 0.34, 0.51.

Intervalo x>d

La diferencia de caminos de las dos fuentes al punto P es

x-(x-d)=d

El cociente entre la diferencia de caminos d y la longitud de onda λ es

0.51/0.34=3/2

que es un número semientero, la interferencia en todos los puntos x>0.51 es destructiva, la intensidad es mínima.

Actividades

Se introduce

• La frecuencia f en Hz, actuando en la barra de desplazamiento titulada Frecuencia

• Se desplaza la segunda fuente (en color azul), en el control titulado Posición

• La velocidad del sonido en el aire en condiciones normales de presión y temperatura, se ha fijado en v=340 m/s

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa:

En la parte superior. Las dos fuentes sonoras que vibran con la misma frecuencia y en fase.

Las ondas armónicas producidas por la primera fuente en color rojo. Las ondas armónicas producidas por la segunda fuente (en color azul), una que viaja a lo largo del eje X hacia la izquierda y otra que viaja hacia la derecha.

Más abajo, la superposición Ψ₁+ Ψ₂ de los dos movimientos ondulatorios armónicos, en los intervalos 0<x<d y x>d, en color negro. En color magenta, se dibuja la amplitud del movimiento resultante de las partículas del medio unidimensional.

En la parte inferior, se muestra la intensidad codificada en escala de grises. El color negro indica intensidad mínima (cero) y el color blanco intensidad máxima. Vemos de este modo, como se suceden los máximos y mínimos de intensidad a lo largo del eje X.