Modos de vibración de una cuerda

  1. La ecuación diferencial del movimiento ondulatorio es

  2. c 2 2 ψ x 2 = 2 ψ t 2

    siendo c la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda y ψ el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t.

  3. Estudiamos una solución de la forma

  4. ψ(x,t)=y(x)·sin(ωt)

    Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.

    La ecuación diferencial se convierte en

    d 2 y d x 2 + ω 2 c 2 y=0

    La solución de esta ecuación diferencial, similar a la de un M.A.S., es

    y=Asin (kx)+Bcos(kx)  con k=ω/c  que es el número de onda

  5. Las condiciones de contorno son:

  6. La cuerda está fija por sus extremos x=0 y x=L

    De la primera condición, tenemos que B=0.

    y de la segunda,

    sin(kL)=0 ó bien, kL=nπ, con n=1, 2, 3,…

    que nos da los distintas frecuencias de vibración de la cuerda

    f n = ω n 2π =v n 2L n=1, 2, 3...

La amplitud de las oscilaciones de los puntos x de la cuerda en el modo normal n es

y n (x)=Asin( nπ L x )

Estas funciones cumplen que

0 L y n 2 (x)·dx = A 2 2 0 L ( 1cos( 2nπ L x ) ) dx= A 2 2 ( x L 2nπ sin( 2nπ L x ) ) 0 L = A 2 2 L

La integral es el área bajo la curva de la figura inferior.

Actividades

Vamos a describir los modos de vibración de una cuerda, con la ayuda de una "experiencia" similar a la que se lleva a cabo en el laboratorio.

Una cuerda horizontal está sujeta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelga un platillo en el que se ponen pesas. Una aguja está sujeta al centro de la membrana de un altavoz y por el otro extremo está sujeta a la cuerda. La aguja empieza a vibrar cuando se conecta el altavoz al generador de ondas .

Tenemos un sistema oscilante, la cuerda y la fuerza oscilante proporcionada por la aguja. Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente, estamos en una situación de resonancia

Nuestra experiencia simulada, difiere de la experiencia en el laboratorio, en que no cambiamos directamente la tensión de la cuerda sino la velocidad de propagación de las ondas.

Una vez establecida la velocidad de propagación, o la la tensión de la cuerda, vamos cambiando la frecuencia de la fuerza oscilante para buscar los distintos modos de oscilación de la cuerda.

Una vez que encontramos la frecuencia del primer modo de vibración, se pueden buscar rápidamente los restantes: la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental, la frecuencia del tercer modo es triple y así, sucesivamente...

Se introduce

Se pulsa en el botón titulado Nuevo.

Para cambiar la escala de la representación gráfica, se actúa en el control titulado Escala.

Como ejercicio, el lector puede hallar los primeros modos de vibración de una cuerda cuando sus velocidades de propagación son sucesivamente 4, 8, etc.

Los nodos, puntos cuya amplitud de oscilación es nula, se señalan mediante flechas de color rojo.


Oscilaciones forzadas

Si la frecuencia angular ωf de la fuerza oscilante producida por la membrana del altavoz coincide con la frecuencia ωn de algún modo de vibración de la cuerda se produce resonancia que incrementa la amplitud de las oscilaciones de los puntos de la cuerda, tal como vemos en la simulación

Se introduce en el control titulado Frecuencia (Hz), 5 y en el control titulado Escala se selecciona un valor grande 50 ó 100, veremos que la cuerda vibra pero con una amplitud muy pequeña comparada a la misma escala con la del modo de vibración próximo, cuya frecuencia es 4

Como hemos demostrado, las frecuencias angulares ωn de los modos de vibración de la cuerda son

ω n = πn L vn=1,2,3...

Donde v es la velocidad de propagación de las ondas transversales y L es la longitud de la cuerda

Sea Aexp(iωft) la fuerza oscilante aplicada a un punto xf de la cuerda que no sea un nodo. El estado y de cada punto x de la cuerda en el instante t viene dado por la siguiente expresión, que proporcionamos sin demostrar (véase la referencia)

y(x,t)= 2A L exp(i ω f t) n=1 sin( nπ x f L )sin( nπ x L ) ω n 2 ω f 2 +2i ω f γ

i es la unidad imaginaria i= 1 y γ es el amortiguamiento

Creamos una función que calcula la suma de los 50 primeros términos, de n=1 a 50. A esta función le pasamos los siguientes datos: posición xf del punto de la cuerda donde se aplica la fuerza oscilante de frecuencia angular ωf. La velocidad de propagación v de las ondas transversales. El punto x de la cuerda cuyo desplazamiento y queremos determinar. Establece un valor arbitrario para el amortiguamiento γ. La función devuelve el número complejo z

function z = onda_estacionaria(x,v,xf,wf)
    gamma=0.2; %amortiguamiento
    z=0;
    for n=1:50
        z=z+2*sin(n*pi*xf)*sin(n*pi*x)/(n^2*pi^2*v^2-wf^2+2*1i*wf*gamma);
    end
end

Creamos un script que establece los valores de la velocidad de propagación v, de la posición xf del punto de la cuerda donde se aplica la fuerza oscilante de frecuencia angular ωf que vamos a modificar. Se representa el estado de la cuerda y (la parte real del producto de los números complejos exp(iωft) por z) en los instantes: 0, P/8 y P/4, siendo P=2π/ωf el periodo de vibración.

v=8; %velocidad de propagación
xf=0.3; %posición de la fuente
wf=4*2*pi; %frecuencia de la fuerza oscilante
%La longitud de a cuerda es L=1
%La amplitud de la fuerza oscilante A=1
 
hold on
for t=[0,pi/(4*wf),pi/(2*wf)];
    y=@(x) real(exp(1i*wf*t)*onda_estacionaria(x,v,xf,wf));
    fplot(y,[0,1])
end
hold off
legend('0','P/8','P/4');
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Vibración de una cuerda')

Si la velocidad de propagación v=8, los modos de vibración de la cuerda se producen para las frecuencias: 4, 8, 12...en una cuerda de longitud L=1. Comparamos la vibración de la cuerda en el modo fundamental, cuando la frecuencia es 4 y cuando es 6

Referencias

V. Migulin. V. Medvedev. E. Mustel. V. Parygin. Basic theory of oscillations. Mir Publishers Moscow. 1983. pp. 335-338.