Consideremos de nuevo las dos partes del problema: la deformación del elemento de volumen que estaba inicialmente en la posición x y su desplazamiento Ψ.

Deformación del elemento de volumen

La masa de gas contenida en el elemento de volumen, es la misma antes y después de la deformación

Si ρ₀ es la densidad del gas antes de pasar la perturbación, la densidad del elemento perturbado es

${\displaystyle \begin{array}{l}\rho S(dx+d\Psi )={\rho }_{0}Sdx\\ \rho =\frac{{\rho }_0}{1+\partial \Psi /\partial x}\rho -{\rho }_0\approx -{\rho }_0\frac{\partial \Psi }{\partial x}\end{array}}$

Hemos de tener en cuenta a efectos de notación (derivada parcial) que Ψ es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo). Que el término que se suma a la unidad en el denominador es muy pequeño por lo que podemos aproximarlo usando el desarrollo del binomio de Newton (1+x)^-1≈1-x cuando x<<1

Ecuación de estado

La presión es una función de la densidad. Dado que la diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p₀ es muy pequeña, hacemos aproximaciones que nos simplifican notablemente el resultado

${\displaystyle p\approx p_0+\left(\rho -{\rho }_0\right){\left(\frac{\partial p}{\partial \rho }\right)}_0}$

La temperatura en una onda sonora no permanece constante. El gas localizado en una región de compresión está levemente más caliente que su temperatura de equilibrio. En las regiones vecinas, el gas está rarificado (el gas se ha expansionado), y su temperatura es ligeramente inferior a la de equilibrio. Medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida y así, sucesivamente.

• A bajas frecuencias, el tiempo disponible entre sucesivas variaciones de la temperatura para que se pueda establecer el equilibrio térmico es grande, sin embargo, la longitud de las regiones es también grande. Por ejemplo, f=100 Hz, el periodo es P=0.01 s, y la longitud de onda es λ=340/100=3.4 m
• A altas frecuencias, el tiempo disponible entre sucesivas variaciones de la temperatura para que se pueda establecer el equilibrio térmico es pequeño, sin embargo, la longitud de las regiones es también pequeña. Por ejemplo, f=10000 Hz, el periodo es P=0.0001 s, y la longitud de onda es λ=340/10000=0.034 m

Newton supuso que la relación entre la presión y el volumen era la ley de Boyle, es decir, que la transformación era isoterma. En los libros de texto, se emplea una transformación adiabática argumentándose que no hay tiempo suficiente para que el calor fluya desde las regiones comprimidas (temperatura más alta) a las expandidas (temperatura más baja). Antes de que esto suceda, medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida y así, sucesivamente. Esta argumentación, equivocadamente, nos sugiere que a altas frecuencias las ondas sonoras son más adiabáticas que a bajas frecuencias.

La solución se encuentra en la teoría de la absorción y dispersión de ondas sonoras elaborada por Kirchhoff, Langevin y otros, la velocidad del sonido depende de la frecuencia. A bajas frecuencias, la velocidad del sonido se aproxima a la deducida suponiendo una transformación adiabática pV^γ=cte y a altas frecuencias, la velocidad del sonido se aproxima a la deducida utilizando la ecuación de la trasformación isoterma pV=cte. (Véase el primer artículo citado en las referencias)

La relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es:

${\displaystyle \begin{array}{l}{p}_0{V}_0^{\gamma }=p{V}^{\gamma }\frac{p_0}{{\rho }_0^{\gamma }}=\frac{p}{{\rho }^{\gamma }}\\ {\left(\frac{\partial p}{\partial \rho }\right)}_0=\frac{\gamma p_0}{{\rho }_0}\end{array}}$

La diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p₀ es

${\displaystyle p=p_0-\frac{\partial \Psi }{\partial x}\gamma p_0}$

Desplazamiento del elemento de volumen

Necesitamos ahora la ecuación del movimiento del volumen elemental que contiene una  masa (densidad por volumen) ρ₀S·dx.

El gas a la izquierda del elemento de volumen lo empuja hacia la derecha con una fuerza pS y el gas que está a la derecha lo empuja hacia la izquierda con una fuerza p'S. Por tanto, la fuerza resultante en la dirección +X es

${\displaystyle dF=(p-p\text{'})S=-Sdp=S\gamma p_0\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial x^2}dx}$

Aplicando la segunda ley de Newton, fuerza igual a masa contenida en el elemento de por aceleración (derivada segunda del desplazamiento).

${\displaystyle dF=\left({\rho }_{0}Sdx\right)\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial t^2}}$

Igualando ambas expresiones de la fuerza tenemos, la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

${\displaystyle \frac{{\partial }^2\Psi }{\partial t^2}=\frac{\gamma p_0}{{\rho }_0}\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial x^2}}$

Se puede demostrar que la presión p y la densidad ρ obedecen a la misma ecuación diferencial que el desplazamiento Ψ, con la misma velocidad de propagación v.

La fórmula de la velocidad de propagación es

${\displaystyle v=\sqrt{\frac{\gamma p_0}{{\rho }_0}}}$

γ es el índice adiabático del gas (1.4 para el aire), ρ₀ es la densidad (1.293 kg/m³) y p₀ la presión normal (1 atm=1.013·10⁵ Pa)

Con estos datos, la velocidad de propagación del sonido en el aire es v=331 m/s.

Fuente: Manual de Física. Koshkin N. I. y Shirkévich M. G.. Editorial Mir, pág 107

Variación de la velocidad del sonido con la temperatura

La velocidad del sonido en un gas no es constante, sino que depende de la temperatura.

${\displaystyle v=\sqrt{\frac{\gamma p_0}{{\rho }_0}}}$

De la ecuación de un gas ideal pV=nRT o bien,

${\displaystyle pV=\frac{m}{M}RT\rho =\frac{m}{V}}$

La fórmula de la velocidad del sonido se expresa en función de la temperatura t del gas en grados centígrados.

${\displaystyle v_s=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}=\sqrt{\frac{\gamma R}{M}(T_0+t)}\approx \sqrt{\frac{\gamma R{T}_0}{M}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\gamma R}{M{T}_0}}t}$

Para obtener esta expresión aproximada, se han tomado los dos primeros términos del desarrollo de (1+t/T₀)^1/2 por el binomio de Newton

Sabiendo que T₀=273.15 K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) y M=28.95·10^-3 kg/mol, tenemos que

v_s≈331.4+0.61·t

donde 331.4 m/s es la velocidad del sonido en el aire a 0ºC.

Para temperaturas cercanas a la ambiente, la velocidad del sonido en el aire varía aproximadamente de forma lineal con la temperatura.

Simulamos un experimento de medida de la velocidad del sonido a diferentes temperaturas. Consta de dos tubos coaxiales, de longitud L, el interior contiene aire y por el exterior circula agua a temperatura t procedente de un termostato. Un altavoz se coloca en el extremo del tubo interior y en el otro extremo un micrófono. El altavoz se conecta a un generador de sonido aleatorio, por ejemplo, a una radio que no sintoniza ninguna emisora concreta. El micrófono se conecta a un ordenador para analizar la señal que llega al extremo opuesto del tubo.

Las ondas estacionarias de un tubo abierto por ambos extremos o de una cuerda de longitud L sujeta por ambos extremos, tienen las siguientes frecuencias

${\displaystyle f_n=\frac{v_s}{2L}nn=\mathrm{1,2,3,...}}$

Midiendo la frecuencia f_n de un determinado armónico n se puede obtener la velocidad del sonido v_s.

El ruido tiene un espectro continuo de frecuencias y el tubo actúa como un filtro que selecciona sus frecuencias de resonancia, tal como se aprecia en la figura.

La señal recibida por el micrófono, se analiza en un ordenador, que determina las frecuencias correspondientes a los máximos de intensidad.

Para determinar la velocidad del sonido en el aire para una temperatura t dada, se representa gráficamente las frecuencias de resonancia f_n en función de n. La pendiente de la recta que mejor ajusta es v_s/(2L). Conocido el valor de L=45 cm, se calcula la velocidad del sonido v_s.

Una vez que disponemos de suficientes pares de datos, (temperatura en grados centígrados, velocidad del sonido), representamos los “datos experimentales” y observamos que se ajustan aproximadamente a la recta

v_s=331.4+0.61·t

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

• Se introduce la temperatura t en grados centígrados, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Temperatura

Se pulsa el botón titulado Espectro

El tubo cerrado por ambos extremos actúa como un filtro que selecciona sus frecuencias de resonancia. En la pantalla del “ordenador”, se representa la intensidad del sonido que llega al micrófono en función de la frecuencia f en el intervalo comprendido entre 0 y 4000 Hz.

Se “mide” la frecuencia f_n de los máximos de intensidad.

Se pulsa el botón titulado Velocidad

Se representa la frecuencia f_n en función del número n de armónico.

Se mide la pendiente de la recta que mejor “ajusta”. Conocida la longitud L=45 cm del tubo, se calcula la velocidad del sonido v_s.

v_s=pendiente·2·0.45 m/s

Referencias

Wu J., Are sound waves isothermal or adiabatic? Am. J. Phys. 58 (7) July 1990, pp. 694-696

Alonso M., Finn E. J. Física. Addison-Wesley Iberoamericana (1995).

Velasco S., Román F.L., González A, White J. A., A computer-assisted experiment for the measurement of the temperature dependence of the speed of sound in air. Am. J. Phys. 72 (2) February 2004, pp. 276-279.