Interferencia de ondas producidas por dos fuentes

Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 que oscilan en fase con la misma frecuencia angular ω, y que emiten ondas armónicas.

Cuando emite solamente S1 el punto P describe el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de amplitud A1 y frecuencia angular ω .

Ψ1=A1·sin(kr1-ωt)

Cuando emite solamente S2 el punto P describe el M.A.S. de amplitud A2 y frecuencia angular ω.

Ψ2=A2·sin(kr2-ωt)

Cuando emiten simultáneamente S1 y S2. El punto P describe un M.A.S. que es la composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia. Los casos más importantes son aquellos en los que los M.A.S. están en fase y en oposición de fase.

En fase o interferencia constructiva.

Dos M.A.S están en fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de 2π .Teniendo en cuenta que k=

kr2-kr1 =2nπ     r2-r1 =nλ

La amplitud resultante es la suma de amplitudes A=A1+A2

En oposición de fase o interferencia destructiva.

Dos M.A.S están en oposición de fase cuando la diferencia de fase kr2-kr1 es un múltiplo entero de π .Teniendo en cuenta que k=

kr2-kr1 =(2n+1)π     r2-r1 =(n+½)λ

La amplitud resultante es la diferencia de amplitudes. Si ambas son iguales, el punto P no se mueve.

Amplitud resultante

En el caso general, es necesario sumar vectorialmente las amplitudes para obtener la resultante.

A= A 1 2 + A 2 2 +2 A 1 A 2 cos(k r 2 k r 1 )

Si la separación d de las fuentes S1 y S2 es pequeña comparada con la distancia desde las fuentes hasta la pantalla, podemos despreciar la pequeña diferencia entre r1 y r2 y suponer que las amplitudes A1 y A2 son prácticamente iguales.

A=2 A 1 cos k( r 2 r 1 ) 2

Máximos y mínimos de intensidad

En la figura, vemos la amplitud debida a la interferencia de las ondas emitidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, tal como se vería en una cubeta de ondas cuando nos situamos cerca de las fuentes.

En la figura, vemos la intensidad debida a la interferencia de las ondas producidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d, codificada en escala de grises. El color negro indica mínimo de intensidad y el color blanco máximo de intensidad.

Las curvas que describen los máximos (en color azul) y mínimos (en color rojo) de intensidad es el lugar geométrico de los puntos (x, y) cuya ecuación y=f(x) vamos a determinar

El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de caminos es Δ es r2-r1=Δ.

r2 es la distancia de la fuente S2 al punto P y r1 es la distancia de la fuente S1 al punto P.

Si las coordenadas del punto P son (x, y), y (0, ±d/2) son las posiciones de las fuentes, la ecuación de la curva r2-r1=Δ. es

x 2 + ( y+ d 2 ) 2 =Δ+ x 2 + ( y d 2 ) 2

Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz cuadrada

2yd Δ 2 =2Δ x 2 + ( y d 2 ) 2

Elevando al cuadrado ambos miembros otra vez, obtenemos

4 y 2 Δ 2 4 x 2 d 2 Δ 2 =1

que es la ecuación de una hipérbola

Si la pantalla se encuentra a una distancia x de las fuentes. Las posiciones de los máximos y los mínimos se calculan despejando y de la ecuación de la hipérbola

y=± Δ 2 1+ 4 x 2 d 2 Δ 2

y así, sucesivamente.

La hipérbola se aproxima a una recta, su asíntota, cuando nos alejamos una distancia no demasiado grande de las fuentes.

Despejamos el cociente y/x en la ecuación de la hipérbola

y x = Δ 2 1 x 2 + 4 d 2 Δ 2

La pendiente de la asíntota se calcula en el límite cuando x→∞

tanθ= lim x ( y x )= Δ 2 lim x 1 x 2 + 4 d 2 Δ 2 = Δ d 2 Δ 2

Empleando la relación trigonométrica

sin 2 θ= tan 2 θ 1+ tan 2 θ sinθ= Δ d

Con esta aproximación, la diferencia de caminos r2-r1=Δ≈d·sinθ. Esta última relación, nos permite determinar las direcciones θ para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva.

Si la pantalla está a una distancia x de las fuentes, la posición y de los máximos y mínimos de intensidad se calcula mediante al relación

y=x·tanθ

En la mayor parte de los experimentos, incluso en la cubeta de ondas es difícil apreciar la parte curva de las hipérbolas, lo comprobaremos al final de la página en la simulación de la cubeta de ondas. En un experimento de óptica, la distancia entre las fuentes d=2·10-4 m, la longitud de onda λ=6·10-7 m y la distancia a la pantalla x=2 m.

Ejemplo

  1. La posición de la pantalla se encuentra en x=100

  2. Determinar las posiciones y de los máximos y mínimos de intensidad a lo largo de la pantalla. Utilizamos la fórmula

    y=± Δ 2 1+ 4 x 2 d 2 Δ 2

  3. La posición de la pantalla se encuentra en x=200

  4. Calculamos las direcciones mediante la fórmula d·sinθ=Δ y las posiciones mediante la expresión, y=x·tanθ

    Como vemos, aunque la pantalla sigue estando cerca de las fuentes, la aproximación d·sinθ=Δ, da buenos resultados.

Condiciones de interferencia: constructiva, destructiva

Las condiciones de interferencia son:

Las direcciones θ para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva se calculan

Las posiciones y sobre la pantalla situada a una distancia x de las fuentes, que registran interferencia constructiva y destructiva se calculan mediante y=x·tanθ .

Si el ángulo θ es pequeño, hacemos la aproximación, sinθ ≈tanθ =y/x

La intensidad de un movimiento ondulatorio es proporcional al cuadrado de la amplitud,

A=2 A 1 cos k( r 2 r 1 ) 2 =2 A 1 cos( πd λ sinθ ) I=4 I 0 cos 2 ( πd λ sinθ )

I es la intensidad resultante en el punto P cuando las dos fuentes emiten simultáneamente, e I0 es la intensidad en el punto P debido a una sola de las fuentes.

En la figura, se muestra la gráfica de la intensidad, el máximo es 4I0. y el mínimo 0.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se muestra, a la izquierda, el diagrama de amplitudes resultado de la interferencia de las ondas producidas por las dos fuentes sincrónicas. Esta figura es similar a la que se puede observar en el laboratorio cuando se realiza una experiencia con la cubeta de ondas.

A la derecha, el diagrama de intensidades. La intensidad en cada punto se codifica mediante un color perteneciente a la escala de grises. La intensidad máxima corresponde al blanco y la mínima al color negro.

Se activa la casilla titulada Regla y se pulsa el botón titulado Nuevo

Se superpone sobre el diagrama de intensidades, la representación gráfica de las hipérbolas que describen el lugar geométrico de los puntos P tal que la diferencia de caminos r2-r1 de las fuentes S2 y S1 al punto P es un múltiplo entero de la longitud de onda (en color azul) o de los puntos cuya diferencia de caminos es un múltiplo semientero de la longitud de onda (n+½)λ (en color rojo).

Cambiamos la posición de la regla vertical en el control titulado Pantalla acercándola o alejándola de las fuentes.

Para una posición x, se puede medir mediante la regla vertical, las posiciones de los máximos y mínimos de intensidad a lo largo de la pantalla.


Regla