Solido zurruna

Errodatzea eta irristatzea aldi berean

Gurpilaren M.Z-ren abiadura finala h altueraren menpe

Saiakuntza

Erreferentziak

Honako orri honetan gurpila aztertuko dugu, maldan behera erortzen ari dela (zilindroa, eraztuna edo esfera). Adibide hau eta aurreko kapitulukoa ezberdinak dira, baina berriz ere aztertuko dugu marruskadura-indarraren jokabidea.

Marruskadura-indarraren ezaugarriak bi esalditan laburbil daitezke:

1. Gurpila biratzen has dadin, marruskadura-indarra beharrezkoa da, baina indar horrek ez du lan netorik egiten, horregatik energia mekanikoa kontserbatzen da.
2. Gurpilak, biratzeaz gain, irristatzen badu, orduan marruskadura-indarrak lan egiten du eta gurpilaren energia mekanikoa gutxituz doa. Gainera, marruskadura-koefizientearen balioa estatikotik zinetikora aldatzen da.

Errodatzea irristatu barik

Dinamikaren ekuazioak

Har dezagun malda inklinatu bat eta ipin dezagun bertan gurpil bat (eraztuna, zilindroa edota esfera). Gurpila biratzen eta desplazatzen hasiko da.

Gurpilak jasaten dituen indarrak hiru dira: Pisua, planetak eragiten diona. Malda inklinatuaren erreakzio normala. Maldaren eta gurpilaren arteko marruskadura-indarra, kontaktuaren puntuan.

Pisua bi osagaitan deskonposa daiteke; bata maldaren paraleloa eta bestea perpendikularra. Hona hemen gurpilaren higiduraren ekuazioak:

Gurpilaren M.Z-ren translazioa maldaren norabidean: mg·sinq  -Fr= mamz Maldaren norabide perpendikularrean, gurpilaren masa-zentroak ez du azeleraziorik, beraz:  mgcosq = N. Gurpilaren errotazioa bere masa-zentroarekiko: Fr·R=Imz ·a Translazioa eta errotazioa erlazionatuta daude (ez badu irristatzen): amz=a R

Esaterako, ezagunak badira malda inklinatuaren angelua, q, eta gurpilaren inertzia-momentua, I_c , orduan kalkula daitezke gurpilaren azelerazioa eta marruskadura-indarra: a_mz eta F_r.

Gurpilaren forma	Inertzia-momentua
Esfera
Eraztuna	mR2
Zilindroa

Idatz dezagun orokorrean inertzia-momentua honela: I_mz=k·mR², eta hemen k, faktore geometriko soila da: 2/5 esferarentzat, 1/2 zilindroarentzat eta 1 eraztunarentzat. Orduan:

Soluzio horiek ezagututa, esaterako, kalkula daiteke zein abiadura izango duen gurpilak maldan behera x distantzia jaitsi ondoren, eta pausagunetik abiatzen bada. Horretarako, higidura zuzen eta uniformeki azeleratuaren ekuazioak aplikatzea besterik ez dago:

Hona hemen gurpilaren M.Z-ren abiadura finala, maldaren amaierara iristen denean:

Hemen h izendatu da gurpilaren hasierako posizioaren altuera, alegia h=x·sinq

Energiaren balantzea

• Errodatzearen energia zinetikoa

Gurpila errodatzen ari den bitartean bere energia zinetikoa bi energia zinetikoren batura da: translaziozkoa gehi errotaziozkoa.

• Gurpilari eragiten dioten indarren lana

Gurpilari eragiten dioten indarren lana kalkulatzeko bi higidura-motak banatuko ditugu, translazioa eta errotazioa:

Hona hemen translazioari dagokion lana, pisuak eta marruskadurak egindakoak: Wt = (mgsinq -Fr)·x= mgh -Fr·x Eta errotazioari dagokion lana, marruskadurak bakarrik: Wr=M·f =Fr·Rf =Fr·x Lan totala bien batura da: W=mgh

Marruskadura-indarrak egindako lana bi zatitan bana daiteke: translazioari dagokiona eta errotazioari dagokiona baina, hemen erakutsi denez, gurpilak irristatzen ez badu, lan biak berdinak dira eta aurkako zeinuak dituzte, beraz marruskaduraren lan totala nulua da. Energiaren balantzean, marruskadura-indarraren lana ez dago kontutan hartu beharrik.

Bestalde, energiaren teoremaren arabera, gurpilari eragiten dioten indarren lan totalak gurpilaren energia zinetikoa aldatzen du (translaziozkoa gehi errotaziozkoa), beraz:

Eta gurpilaren masa-zentroaren abiadura kalkula daiteke (v_mz) gurpila maldaren amaierara iristen den unean:

ikusten denez, emaitza hori eta dinamikaren bidez lortutakoa berdinak dira. Gurpilaren abiaduraren karratua (v²_mz) hasierako h altueraren proportzionala da. Erlazio hori amaierako applet-ean egiazta dezakegu

Errodatzea eta irristatzea aldi berean

Gurpil batek irristatu barik errodatzen duenean, marruskadura-indarra (F_r) ezezaguna da, baina dinamikaren ekuazioetatik kalkula daiteke, aurreko atalean egin dugun bezala:

Eta gurpilak ez duela irristatzen ziurtatzeko honako baldintza bete behar da: F_r£ µ_s·N

Erlazio horretan µ_s marruskadura-koefiziente estatikoa da, gurpilaren eta aldaparen artekoa, izan ere, kontaktuan dauden gainazal bien menpekoa. Eta N malda inklinatuaren erreakzioa: N=mg·cosq .

Gurpilak irristatzen ez duela ziurtatzen duen baldintza honela ere idatz daiteke:

Beraz, gurpilak ez du irristatuko, alde batetik µ_s marruskadura-koefizientea nahikoa handia bada, edota bestetik, maldaren q  inklinazio-angelua nahikoa txikia bada.

Dinamikaren ekuazioak

Irristatzearen baldintza betetzen ez bada (µ_s marruskadura-koefizientea txikiegia delako edota q  inklinazioa handiegia delako), orduan gurpilak, errodatzeaz gain, irristatu egingo du, eta marruskadura-indarra ezaguna izango da: f=µ_k·N.

Hemen, µ_k da, marruskadura koefiziente zinetikoa.

Egoera honetan, gurpilaren dinamikaren ekuazioak honela adierazten dira:

• Masa-zentroaren translazioa, maldaren norabidean:

mg·sinq  -µ_k·mg·cosq = m·a_mz.

• Gurpilaren errotazioa bere zentroaren inguruan:

µ_k·mg·cosq ·R=I_mz·a

Bi ekuazio horietatik a_mz eta a  kalkula daitezke (oraingoan, ez daude erlazionatuta).

Gurpilak irristatzen ez zuenean, bi magnitude horiek erlazionatuta zeuden (a_mz=a ·R) baina irristatzen badu independenteak dira.

Translaziozko azelerazioa ezagututa, kalkula daiteke gurpilaren zentroak izango duen abiadura (v_mz) maldaren amaierara iristen den unean (x distantzia aurreratu edo h altuera jaitsi duenean):

Eta bestalde, azelerazio angeluarra ezagututa, kalkula daiteke gurpilak izango duen abiadura angeluarra (w) angelu jakin bat biratu ondoren, dei diezaiogun f :

Energiaren balantzea

Gurpilaren energia, hasieran, energia potentzial hutsa da (mgh), pausagunetik abiatzen delako. Amaieran aldiz, energia zinetiko hutsa da, baina errotaziozkoa gehi translaziozkoa:

Marruskadura-indarrak egindako lana (f=µ_k·mg·cosq)

• Translazioari dagokiona:

- f·x

• Eta errotazioari dagokiona:

f·R·f

Marruskaduraren lan totala:

Irristatzen badu, marruskadura-indarrak egindako lana ez da nulua (W_r¹0), beraz, gurpilaren energia aldatzen da: W_r=E_f -E_i (hemen E_f  eta E_i energia mekaniko totalak dira, potentziala eta zinetikoaren batura).

Izan ere, irristatzen, marruskadura-indarrak egindako errotaziozko lana (f·R·f) eta gurpilaren errotaziozko energia zinetikoa berdinak ateratzen dira. Hala ere, energiaren balantzearekin lortutako abiadura (v_mz) eta dinamikaren ekuazioekin lortutakoa berdinak dira, gurpilak irristatzen duen kasurako ere.

Gurpilaren M.Z-ren abiadura finala h altueraren menpe

• Gurpilak ez badu irristatzen, bere masa-zentroaren abiadura finala h altueraren menpe honela adierazten da:

alegia, abiadura finalaren karratua h altuerarekiko zuzenki proportzionala da.

• Aldiz, gurpilak irristatzen badu, honela adierazten da:

eta hemen x da, gurpilak ibilitako distantzia, malda inklinatuaren gainean.

Gurpilak irristatzen ote duen erabakitzen duen baldintza honela ere adieraz daiteke:

q_c angelu kritikoa da, eta maldaren q  inklinazioa q_c baino handiagoa bada (q >q_c) orduan gurpilak irristatzen du, eta bestela (q <q_c) gurpilak ez du irristatzen.

Adibidea:

• Gurpila zilindroa da: k=0.5

• Marruskadura-koefizientea μ= μ_s= μ_k=0.15

• Gurpilak maldan behera ibilitako distantzia: x=1 m

Datu horiekin, hona hemen angelu kritikoa: θ_c =24.2º

Ondorengo irudiak erakusten du, ardatz horizontalean, gurpilaren hasierako h altuera (h=x·sinθ) eta ardatz bertikalean, gurpilaren masa-zentroaren abiadura finalaren karratua (v²_mz):

• Zati gorria zuzena da, eta gurpil zilindrikoaren jokabidea adierazten du, gurpilak irristatzen ez duenean (maldaren inklinazioa θ≤θ_c denean)

• Zati urdina kurboa da, eta adierazten du gurpil zilindrikoaren jokabidea, errodatzeaz gain, irristatzen duenean (maldaren inklinazioa θ>θ_c denean).

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Gurpilaren forma edo gorputz-mota (eraztuna, zilindroa edo esfera), masa eta erradioa finkotzat hartuta.
• Bi gainazalen arteko marruskadura-koefizientea.

Berria botoia sakatu.

• Aukeratu maldaren inklinazio-angelua.

• Gurpilak maldan behera ibiltzen duen distantzia finkotzat hartu da: x=1 m

Hasi botoia sakatu.

Gurpila maldan behera mugitzen hasten da eta, beheraino iristen denean, datu bi gordetzen dira: gurpilaren masa-zentroaren hasierako altuera, h, eta abiadura finala, v_mz. Datu bi horiek idatzita agertzen dira ezkerraldeko zutabe zurian.

Esperimentua, zenbait angelu ezberdinekin errepika daiteke, eta datu-bikote guztiak idatzita erakutsiko dira ezkerraldeko zutabe zurian. Orduan, grafikoa botoia sakatuz, honako grafikoa adierazten da:

• Ardatz bertikalean gurpilaren masa-zentroaren abiadura finala.
• Ardatz horizontalean gurpilaren masa-zentroaren hasierako altuera.

Grafiko horretan ikus daiteke, gurpila zein angelutan hasten den irristatzen (angelu kritikoa), alegia, gurpilak ez badu irristatzen, puntu esperimentalak zuzen urdinaren gainean egongo dira (ez irristatzearen baldintza) eta aldiz, gurpilak irristatzen badu puntuak zuzenetik aldenduta egongo dira.

Leihatilaren eskumako aldean, tarta-itxurako diagrama batek energiak adierazten ditu: masa-zentroaren energia potentziala, translazioaren energia zinetikoa, eta gurpilaren errotazioaren energia zinetikoa.

• Gurpilak irristatu barik errodatzen badu, energia potentziala gutxituz doa eta energia zinetikoa handituz (bai translaziozkoa eta baita errotaziozkoa ere). Justu bata gutxitzen dena bestea handitzen da. Translaziozko eta errotaziozko energia zinetikoen proportzioa gurpilaren formaren araberakoa da, alegia inertzia-momentuaren araberakoa.
   
• Gurpilak, errodatzeaz gain, irristatzen badu, orduan energia potentzialaren zati bat, energia zinetiko bilakatzen da, baina beste zati bat marruskadura-indarraren lanaren bitartez galdu eta barreiatzen da.