Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa: bala
eta disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta 
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Partikula irristatzaileak nola mugitzen diren

Energia potentzialen kurbak

Saiakuntza

Erreferentzia

Orri honetan ikertzen da laborategiko esperimentu bat, momentu angeluarraren kontserbazioa erakusteko. Esperimentuan hagatxo horizontal bat biraka dabil, ω abiadura angeluar konstanteaz, bere zentrotik pasatzen den ardatz baten inguruan. Hagatxoan zehar partikula bi daude albainduta (zartatuta) eta irristatzen mugitzen dira marruskadurarik gabe. Partikulek m masa dute eta hagatxoaren masa berriz, arbuiagarria da.

Partikulak lotuta daude M masadun bloke batekin, hariez eta poleez, irudiak erakusten duen bezala.

Hasteko, partikulak kokatu egiten dira errotazio-ardatzetik r₀ distantziara, eta multzo osoak biratu egiten du ω₀ abiadura angeluar konstanteaz. Halako batean, partikulak askatu egiten dira eta hagatxoan zehar nola irristatzen duten behatuko dugu.

Momentu angeluarra

Hasieran, momentu angeluarra da, hasierako ω₀ abiadura angeluarra bider inertzia-momentua. Inertzia-momentua kalkulatzeko batu behar dira, hagatxoaren inertzia-momentua (nulutzat hartuko duguna) eta bi partikulen inertzia momentuak, errotazio-ardatzetik r₀ distantziara daudenez:

Partikulak desplazatzen direnean, errotazio-ardatzetik r distantziara, hagatxoaren abiadura angeluarra aldatuko da (ω). Orduan momentu angeluar berria honela adieraz daiteke:

L=mω²r

Partikulek jasaten dituzten indarrak (harien tentsioak) errotazio-ardatzetik pasatzen direnez, momentu nulua dute ardatzarekiko, eta orduan kanpo-indarren momentu erresultantea nulua da. Hortaz, multzoaren momentu angeluarra konstantea izan behar da, beraz, partikulak ardatzetik urruntzen badira ω abiadura angeluarra gutxitu egin behar da eta, aldiz, partikulak ardatzera hurbiltzen badira ω handitu.

Partikula irristatzaileak nola mugitzen diren

Partikula irristatzaileen higidura aztertzeko, erreferentzia-sistema ez inertziala kokatuko dugu hagatxoarekin batera biratzen, ω abiadura angeluarraz. Partikulek jasaten dituzten indar bertikalak (pisua eta erantzun normala) baliogabetzen dira, baina aldiz, indar horizontalak ez. Hona hemen indar horizontalak: Hariak eragiten duen T tentsioa. Indar zentrifugoa: Fc=(m/2)ω2r. Bi indar horien eraginpean, partikula irristatzaileek azelerazioa jasango dute hagatxoaren norabidean: Fc-T = (m/2)·a  eta a=d2r/dt2. Bestalde, M masadun blokea bi hariz eskegita dago eta bertikalki mugitzen da partikulen a azelerazio berarekin, beraz blokea erdibitu dezakegu eta translazioaren ekuazioa honela idatzi: Mg/2-T=(M/2)·a . Hortik hariaren tentsioa bakan daiteke: T=M(g-a)/2 Beraz, partikula irristatzaileetara bueltatuz, Newton-en bigarren legea honela idatz daiteke:

Ekuazio diferentzial hori idazteko, kontutan izan da ω abiadura angeluarra ez dela konstantea, eta adierazi da r-ren menpe (momentu angeluarraren kontserbaziotik). Ekuazio diferentzial horren soluzioa r(t) da eta prozedura numerikoez integra daiteke, hasierako baldintzak inposatuz: t=0 aldiunean partikularen abiadura erradiala nulua da, dr/dt=0, eta bere posizioa, r=r₀.

Badago oreka-posizio bat, r_e, indar horizontal netoa nulua denean:

Energia potentzialaren kurbak

Hasieran, partikulak hagatxoan itsatsita daudenean, multzoaren energia totala hau da:

• Partikulen energia zinetikoa, ω₀·r₀ abiaduraz desplazatzen ari direlako norabide tangentzialean.
• Eskegita dagoen blokearen energia potentziala, M masaduna eta jatorritik r₀ altueran kokatuta dagoena.

Denbora igaro ahala, partikulek irristatzen dute hagatxoan zehar eta, ardatzetik r distantziara daudenean, hagatxoaren abiadura angeluarra hau da: ω=dθ/dt. beraz, partikulek abiadura tangentziala dute v_θ=r(dθ/dt). Gainera, partikulek norabide erradialean ere badute abiadura v_r=dr/dt, eta blokeak ere abiadura hori bera dauka norabide bertikalean. Multzoaren energia totala honela idazten da:

• Lehen terminoa da, blokearen energia zinetikoa.
• Bigarren terminoa da, partikula irristatzaileen energia zinetikoa (norabide erradialekoa eta norabide tangentzialekoa).
• Hirugarren terminoa da, eskegita dagoen blokearen energia potentziala.

Multzoaren momentu angeluarra konstantea dela kontutan izanda, Energia totala berridatz daiteke r-ren menpe eta bere deribatuaren menpe: dr/dt,

E energia hori bitan zatitzen badugu, batetik, norabide erradialeko energia zinetikoa eta bestetik, gainontzeko bi terminoak, orduan gainontzeko bi terminoak energia potentzial gisa kontsidera daitezke eta, partikula bi direnez, bakoitzak dauka energia potentzialaren erdia, edo honelako potentzial erradial baliokidea:

Energia potentziala deribatzen bada posizioarekiko, indar netoa lortzen da (minus zeinuaz), alegia, partikula bakoitzak jasaten duen indar netoa norabide erradialean:

Adierazpen horretan ikusten denez, indar netoak bi termino ditu: bata eskegitako blokeak eragiten duena, eta bestea indar zentrifugoa. Adieraz dezagun grafikoki potentzial erradial baliokidea:

Potentzial erradial baliokidearen grafikoan oinarrituta, V_ef(r) , ondoko arrazonamendua gara daiteke: partikula hasieran r₀ posiziotik abiatzen da eta pausagunetik, dr/dt=0, orduan bere energia totala E zuzen horizontala da. Partikulak, r₀ posizioan jasaten duen indarra negatiboa da (r txikiagoetarantz) eta r_e-rantz desplazatuko da bere abiadura handitzen. Bertara iristean abiadura maximoa izango du (indar nulua) eta jarraitu egingo du r₁-rantz baina abiadura gutxitzen joango da. Justu r₁-raino iristean, gelditu egingo da, eta, indarra positiboa denez, aurkako noranzkoan abiatuko da berriz ere. Mugimendu osoa behin eta berriz errepikatuko da norabide erradialean atzera eta aurrera.

Itzultze posizioak (r₀ eta r₁) kalkulatzen dira honako ekuazioa ebatziz: V_ef(r)=E

Izatez, ekuazio hori kubikoa da, baina erroetako bat r₀ denez, bigarren graduko ekuazio bilakatzen da:

Bigarren graduko ekuazio horren erroetako bat negatiboa da (ez du esangura fisikorik) eta beste erroa positiboa da:

Gainera, potentzial baliokidearen kurbak minimo bat dauka, irudiak erakusten duena. Minimo hori kalkulatzeko, V_ef(r) potentziala deribatu behar da posizio erradialarekiko eta nulua dela inposatu: f(r)= -dV_ef(r)/dr=0. Hona hemen emaitza:

Izan ere, lehen aipatutako oreka-posizioa.

Adibidea

• Partikula irristatzaileen masa: m/2=0.5 kg

• Eskegita dagoen blokearen masa: M=0.5 kg

• Hasierako abiadura angeluarra: ω₀=1.0 rad/s

• Partikulen hasierako posizioa: r₀=0.6 m

Momentu angeluarra:

Multzoaren energia:

Oreka-posizioa:

Itzultze posizioa: (dr/dt=0)

Partikulak itzultze-posizioan daudenean, hagatxoak ω₁ abiadura angeluarra du:

Eta bi partikulek oszilatu egingo dute r₀ eta r₁ posizio erradialen artean.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Eskegita dagoen blokearen masa, M, dagokion kontrolean idatziz.

• Partikulen posizioa hasieran, r₀, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Partikula irristatzaileen masa finkotzat hartu da: m=1 kg, bakoitzak 0.5 kg.

• Hagatxoak hasieran duen abiadura angeluarra finkotzat hartu da: ω₀=1 rad/s.

Berria botoia sakatu.

Hagatxoa biraka hasten da, ω₀=1 rad/s abiadura angeluarraz, partikulak kokatuta daude ardatzetik r₀ distantziara eta blokea eskegita dago r₀ altueran, jatorri bertikalarekiko.

Hasi botoia sakatu.

Partikula irristatzaileak askatu, eta mugitzen hasten dira hagatxoan zehar atzera eta aurrera. Aldi berean, eskegita dagoen blokea gora eta behera mugitzen da. Partikulak jasaten dituen indarrak marraztuta erakusten dira:

• Indar zentrifugoa, gorriz.

• Eskegitako blokearen pisuaren erdia, urdinez.

Programak numerikoki ebazten du higiduraren ekuazio diferentziala, Runge-Kutta prozeduraren bitartez, hau da, denboraren menpe kalkulatzen ditu, partikulen r posizio erradiala eta hagatxoaren w abiadura angeluarra. Gainera, uneoro egiaztatzen du energia kontserbatzen dela, hau da, hasierako energia totala, E₀, uneoro konparatzen du sistemaren aldiuneko E energia totalarekin.

Errorea kuantifikatzeko honako erlazioa kalkulatzen du:

Erlazio hori handi bihurtzen bada (0.01=%1) programa gelditu egiten da. Hori gertatzen da, blokearen masa oso handia denean partikulen masaren aldean, eta beraz blokearen masa gutxitu egin behar da.

Grafikoa laukitxoa aktibatzen bada, programak energia potentzial baliokidea irudikatzen du distantzia erradialaren menpe, V_ef(r). Hasierako balioen arabera, hasierako E₀ energia kalkulatzen du (zuzen horizontal beltza), eta bertan erakusten ditu:

• Zuzenki gorri batez, multzoaren energia potentzial baliokide totala.

• Zuzenki urdin batez, multzoaren energia zinetiko erradiala.

Justu higiduraren bi ertzetan (itzultze-posizioetan) abiadura erradiala nulua da, beraz energia zinetiko erradiala ere bai.

Grafikoaren minimoa, oreka posizioa da, partikulek abiadura erradial maximoa dute eta indar netoa nulua.